Theorem nnm2 6284

Description: Multiply an element of ω by 2_𝑜 (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm2	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 2𝑜) = (𝐴 +𝑜 𝐴))

Proof of Theorem nnm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6182	. . 3 ⊢ 2𝑜 = suc 1𝑜
2	1	oveq2i 5663	. 2 ⊢ (𝐴 ·𝑜 2𝑜) = (𝐴 ·𝑜 suc 1𝑜)
3		1onn 6279	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
4		nnmsuc 6238	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (𝐴 ·𝑜 suc 1𝑜) = ((𝐴 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 𝐴))
5	3, 4	mpan2 416	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 suc 1𝑜) = ((𝐴 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 𝐴))
6		nnm1 6283	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 1𝑜) = 𝐴)
7	6	oveq1d 5667	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 𝐴) = (𝐴 +𝑜 𝐴))
8	5, 7	eqtrd 2120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 suc 1𝑜) = (𝐴 +𝑜 𝐴))
9	2, 8	syl5eq 2132	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 2𝑜) = (𝐴 +𝑜 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1289   ∈ wcel 1438  suc csuc 4192  ωcom 4405  (class class class)co 5652  1_𝑜c1o 6174  2_𝑜c2o 6175   +_𝑜 coa 6178   ·_𝑜 comu 6179

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-2o 6182  df-oadd 6185  df-omul 6186

This theorem is referenced by:  nn2m  6285