Theorem nnm2 6759

Description: Multiply an element of ω by 2_o. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm2	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 +o 𝐴))

Proof of Theorem nnm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6648	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2	1	oveq2i 6061	. 2 ⊢ (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 ·o suc 1o)
3		1onn 6753	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
4		nnmsuc 6710	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (𝐴 ·o suc 1o) = ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴))
5	3, 4	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc 1o) = ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴))
6		nnm1 6758	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
7	6	oveq1d 6065	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴) = (𝐴 +o 𝐴))
8	5, 7	eqtrd 2265	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc 1o) = (𝐴 +o 𝐴))
9	2, 8	eqtrid 2277	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 +o 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  suc csuc 4486  ωcom 4712  (class class class)co 6050  1_oc1o 6640  2_oc2o 6641   +_o coa 6644   ·_o comu 6645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-omul 6652

This theorem is referenced by:  nn2m  6760