Theorem nnm2 6670

Description: Multiply an element of ω by 2_o. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm2	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 +o 𝐴))

Proof of Theorem nnm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6561	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2	1	oveq2i 6011	. 2 ⊢ (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 ·o suc 1o)
3		1onn 6664	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
4		nnmsuc 6621	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (𝐴 ·o suc 1o) = ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴))
5	3, 4	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc 1o) = ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴))
6		nnm1 6669	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
7	6	oveq1d 6015	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴) = (𝐴 +o 𝐴))
8	5, 7	eqtrd 2262	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc 1o) = (𝐴 +o 𝐴))
9	2, 8	eqtrid 2274	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 +o 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  suc csuc 4455  ωcom 4681  (class class class)co 6000  1_oc1o 6553  2_oc2o 6554   +_o coa 6557   ·_o comu 6558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-1o 6560  df-2o 6561  df-oadd 6564  df-omul 6565

This theorem is referenced by:  nn2m  6671