ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnm1nn0 GIF version

Theorem nnm1nn0 9041
Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm1nn0 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nnm1nn0
StepHypRef Expression
1 nn1m1nn 8761 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2 oveq1 5788 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
3 1m1e0 8812 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
42, 3eqtrdi 2189 . . . . 5 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
54orim1i 750 . . . 4 ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
61, 5syl 14 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
76orcomd 719 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
8 elnn0 9002 . 2 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
97, 8sylibr 133 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 698   = wceq 1332  wcel 1481  (class class class)co 5781  0cc0 7643  1c1 7644  cmin 7956  cn 8743  0cn0 9000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-sub 7958  df-inn 8744  df-n0 9001
This theorem is referenced by:  elnn0nn  9042  nnaddm1cl  9138  nn0n0n1ge2  9144  fseq1m1p1  9905  nn0ennn  10236  expm1t  10351  expgt1  10361  bcn1  10535  bcm1k  10537  bcn2m1  10546  resqrexlemnm  10821  resqrexlemcvg  10822  resqrexlemga  10826  binomlem  11283  arisum  11298  arisum2  11299  cvgratnnlemnexp  11324  cvgratnnlemfm  11329  mertenslem2  11336  iddvdsexp  11551  dvdsfac  11592  oexpneg  11608  phibnd  11927  phiprmpw  11932  dvexp  12881
  Copyright terms: Public domain W3C validator