Theorem nnm1nn0 9146

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 8866	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2		oveq1 5843	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
3		1m1e0 8917	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2213	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
5	4	orim1i 750	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
6	1, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
7	6	orcomd 719	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
8		elnn0 9107	. 2 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
9	7, 8	sylibr 133	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 698   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  (class class class)co 5836  0cc0 7744  1c1 7745   − cmin 8060  ℕcn 8848  ℕ₀cn0 9105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-sub 8062  df-inn 8849  df-n0 9106

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9147  nnaddm1cl  9243  nn0n0n1ge2  9252  fseq1m1p1  10020  nn0ennn  10358  expm1t  10473  expgt1  10483  nn0ltexp2  10612  bcn1  10660  bcm1k  10662  bcn2m1  10671  resqrexlemnm  10946  resqrexlemcvg  10947  resqrexlemga  10951  binomlem  11410  arisum  11425  arisum2  11426  cvgratnnlemnexp  11451  cvgratnnlemfm  11456  mertenslem2  11463  iddvdsexp  11741  dvdsfac  11783  oexpneg  11799  phibnd  12126  phiprmpw  12131  prmdiv  12144  oddprm  12168  fldivp1  12255  dvexp  13216