Theorem nnm1nn0 9609

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 9325	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2		oveq1 6092	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
3		1m1e0 9376	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2287	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
5	4	orim1i 772	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
6	1, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
7	6	orcomd 741	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
8		elnn0 9570	. 2 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
9	7, 8	sylibr 134	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  0cc0 8180  1c1 8181   − cmin 8499  ℕcn 9307  ℕ₀cn0 9568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8501  df-inn 9308  df-n0 9569

This theorem is used by:  elnn0nn  9610  nnaddm1cl  9711  nn0n0n1ge2  9720  fseq1m1p1  10513  nn0ennn  10885  expm1t  11019  expgt1  11029  nn0ltexp2  11163  bcn1  11212  bcm1k  11214  bcn2m1  11224  resqrexlemnm  11800  resqrexlemcvg  11801  resqrexlemga  11805  binomlem  12269  arisum  12284  arisum2  12285  cvgratnnlemnexp  12310  cvgratnnlemfm  12315  mertenslem2  12322  iddvdsexp  12601  dvdsfac  12646  oexpneg  12663  bitsfzolem  12740  phibnd  13018  phiprmpw  13023  prmdiv  13036  oddprm  13061  fldivp1  13150  prmpwdvds  13157  4sqlem12  13204  4sqlem19  13211  1259lem5  13269  gzsumwsubmcl  13854  gzsumwmhm  13856  dvexp  15903  dvply1  15957  wilthlem1  16193  1sgm2ppw  16250  chtublem  16256  perfect1  16259  perfect  16262  bcmono  16265  lgslem1  16285  lgsquadlem1  16362  lgsquad2lem2  16367  m1lgs  16370  clwwlkccatlem  16807