Theorem addsub 8170

Description: Law for addition and subtraction. (Contributed by NM, 19-Aug-2001.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
addsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcom 8096	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
2	1	oveq1d 5892	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐵 + 𝐴) − 𝐶))
3	2	3adant3 1017	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐵 + 𝐴) − 𝐶))
4		addsubass 8169	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) − 𝐶) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐶)))
5	4	3com12 1207	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) − 𝐶) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐶)))
6		subcl 8158	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
7		addcom 8096	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
8	6, 7	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
9	8	3impb 1199	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
10	9	3com12 1207	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
11	3, 5, 10	3eqtrd 2214	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5877  ℂcc 7811   + caddc 7816   − cmin 8130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sub 8132

This theorem is referenced by:  subadd23  8171  2addsub  8173  nnpcan  8182  subsub  8189  npncan3  8197  addsub4  8202  addsubi  8251  addsubd  8291  muleqadd  8627  nnaddm1cl  9316  expubnd  10579  omeo  11905