ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addsub GIF version

Theorem addsub 7693
Description: Law for addition and subtraction. (Contributed by NM, 19-Aug-2001.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
addsub ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsub
StepHypRef Expression
1 addcom 7619 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
21oveq1d 5667 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐵 + 𝐴) − 𝐶))
323adant3 963 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐵 + 𝐴) − 𝐶))
4 addsubass 7692 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) − 𝐶) = (𝐵 + (𝐴𝐶)))
543com12 1147 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) − 𝐶) = (𝐵 + (𝐴𝐶)))
6 subcl 7681 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
7 addcom 7619 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐶) ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴𝐶)) = ((𝐴𝐶) + 𝐵))
86, 7sylan2 280 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) → (𝐵 + (𝐴𝐶)) = ((𝐴𝐶) + 𝐵))
983impb 1139 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴𝐶)) = ((𝐴𝐶) + 𝐵))
1093com12 1147 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴𝐶)) = ((𝐴𝐶) + 𝐵))
113, 5, 103eqtrd 2124 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴𝐶) + 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438  (class class class)co 5652  cc 7348   + caddc 7353  cmin 7653
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-setind 4353  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-sub 7655
This theorem is referenced by:  subadd23  7694  2addsub  7696  nnpcan  7705  subsub  7712  npncan3  7720  addsub4  7725  addsubi  7774  addsubd  7814  muleqadd  8137  nnaddm1cl  8811  expubnd  10012  omeo  11176
  Copyright terms: Public domain W3C validator