Theorem opprmulfvalg 13164

Description: Value of the multiplication operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
opprval.3	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprmulfval.4	⊢ ∙ = (.r‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
opprmulfvalg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ∙ = tpos · )

Proof of Theorem opprmulfvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprmulfval.4	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘𝑂)
2		opprval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		opprval.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		opprval.3	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
5	2, 3, 4	opprvalg 13163	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩))
6	5	fveq2d 5517	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑂) = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
7		mulrslid 12581	. . . . . . 7 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
8	7	slotex 12480	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
9	3, 8	eqeltrid 2264	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · ∈ V)
10		tposexg 6255	. . . . 5 ⊢ ( · ∈ V → tpos · ∈ V)
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → tpos · ∈ V)
12	7	setsslid 12504	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ tpos · ∈ V) → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
13	11, 12	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
14	6, 13	eqtr4d 2213	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑂) = tpos · )
15	1, 14	eqtrid 2222	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ∙ = tpos · )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737  ⟨cop 3595  ‘cfv 5214  (class class class)co 5871  tpos ctpos 6241  ndxcnx 12450   sSet csts 12451  Basecbs 12453  ._rcmulr 12528  opp_rcoppr 13161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1re 7901  ax-addrcl 7904

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-fv 5222  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-tpos 6242  df-inn 8915  df-2 8973  df-3 8974  df-ndx 12456  df-slot 12457  df-sets 12460  df-mulr 12541  df-oppr 13162

This theorem is referenced by:  opprmulg  13165