Theorem phplem3g 6859

Description: A natural number is equinumerous to its successor minus any element of the successor. Version of phplem3 6857 with unnecessary hypotheses removed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phplem3g	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem3g

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
2	1	anbi2d 464	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴)))
3		sneq 3605	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → {𝑏} = {𝐵})
4	3	difeq2d 3255	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (suc 𝐴 ∖ {𝑏}) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
5	4	breq2d 4017	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏}) ↔ 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵})))
6	2, 5	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏})) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))))
7		eleq1 2240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
8		suceq 4404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → suc 𝑎 = suc 𝐴)
9	8	eleq2d 2247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 ∈ suc 𝑎 ↔ 𝑏 ∈ suc 𝐴))
10	7, 9	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑎) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴)))
11		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
12	8	difeq1d 3254	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (suc 𝑎 ∖ {𝑏}) = (suc 𝐴 ∖ {𝑏}))
13	11, 12	breq12d 4018	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≈ (suc 𝑎 ∖ {𝑏}) ↔ 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏})))
14	10, 13	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑎) → 𝑎 ≈ (suc 𝑎 ∖ {𝑏})) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏}))))
15		vex 2742	. . . . . 6 ⊢ 𝑎 ∈ V
16		vex 2742	. . . . . 6 ⊢ 𝑏 ∈ V
17	15, 16	phplem3 6857	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑎) → 𝑎 ≈ (suc 𝑎 ∖ {𝑏}))
18	14, 17	vtoclg 2799	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏})))
19	18	anabsi5 579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏}))
20	6, 19	vtoclg 2799	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ suc 𝐴 → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵})))
21	20	anabsi7 581	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∖ cdif 3128  {csn 3594   class class class wbr 4005  suc csuc 4367  ωcom 4591   ≈ cen 6741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-en 6744

This theorem is referenced by:  phplem4dom  6865  phpm  6868  phplem4on  6870