Theorem phplem3g 6912

Description: A natural number is equinumerous to its successor minus any element of the successor. Version of phplem3 6910 with unnecessary hypotheses removed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phplem3g	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem3g

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2256	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
2	1	anbi2d 464	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴)))
3		sneq 3629	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → {𝑏} = {𝐵})
4	3	difeq2d 3277	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (suc 𝐴 ∖ {𝑏}) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
5	4	breq2d 4041	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏}) ↔ 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵})))
6	2, 5	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏})) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))))
7		eleq1 2256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
8		suceq 4433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → suc 𝑎 = suc 𝐴)
9	8	eleq2d 2263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 ∈ suc 𝑎 ↔ 𝑏 ∈ suc 𝐴))
10	7, 9	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑎) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴)))
11		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
12	8	difeq1d 3276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (suc 𝑎 ∖ {𝑏}) = (suc 𝐴 ∖ {𝑏}))
13	11, 12	breq12d 4042	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≈ (suc 𝑎 ∖ {𝑏}) ↔ 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏})))
14	10, 13	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑎) → 𝑎 ≈ (suc 𝑎 ∖ {𝑏})) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏}))))
15		vex 2763	. . . . . 6 ⊢ 𝑎 ∈ V
16		vex 2763	. . . . . 6 ⊢ 𝑏 ∈ V
17	15, 16	phplem3 6910	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑎) → 𝑎 ≈ (suc 𝑎 ∖ {𝑏}))
18	14, 17	vtoclg 2820	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏})))
19	18	anabsi5 579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏}))
20	6, 19	vtoclg 2820	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ suc 𝐴 → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵})))
21	20	anabsi7 581	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∖ cdif 3150  {csn 3618   class class class wbr 4029  suc csuc 4396  ωcom 4622   ≈ cen 6792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-en 6795

This theorem is referenced by:  phplem4dom  6918  phpm  6921  phplem4on  6923