ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phplem3g GIF version

Theorem phplem3g 6526
Description: A natural number is equinumerous to its successor minus any element of the successor. Version of phplem3 6524 with unnecessary hypotheses removed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
phplem3g ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem3g
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2147 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ suc 𝐴𝐵 ∈ suc 𝐴))
21anbi2d 452 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴)))
3 sneq 3442 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → {𝑏} = {𝐵})
43difeq2d 3107 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (suc 𝐴 ∖ {𝑏}) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
54breq2d 3834 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏}) ↔ 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵})))
62, 5imbi12d 232 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏})) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))))
7 eleq1 2147 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
8 suceq 4205 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → suc 𝑎 = suc 𝐴)
98eleq2d 2154 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 ∈ suc 𝑎𝑏 ∈ suc 𝐴))
107, 9anbi12d 457 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑎) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴)))
11 id 19 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴𝑎 = 𝐴)
128difeq1d 3106 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (suc 𝑎 ∖ {𝑏}) = (suc 𝐴 ∖ {𝑏}))
1311, 12breq12d 3835 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≈ (suc 𝑎 ∖ {𝑏}) ↔ 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏})))
1410, 13imbi12d 232 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑎) → 𝑎 ≈ (suc 𝑎 ∖ {𝑏})) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏}))))
15 vex 2618 . . . . . 6 𝑎 ∈ V
16 vex 2618 . . . . . 6 𝑏 ∈ V
1715, 16phplem3 6524 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑎) → 𝑎 ≈ (suc 𝑎 ∖ {𝑏}))
1814, 17vtoclg 2672 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏})))
1918anabsi5 544 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏}))
206, 19vtoclg 2672 . 2 (𝐵 ∈ suc 𝐴 → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵})))
2120anabsi7 546 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wcel 1436  cdif 2985  {csn 3431   class class class wbr 3822  suc csuc 4168  ωcom 4380  cen 6409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-br 3823  df-opab 3877  df-tr 3914  df-id 4096  df-iord 4169  df-on 4171  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-en 6412
This theorem is referenced by:  phplem4dom  6532  phpm  6535  phplem4on  6537
  Copyright terms: Public domain W3C validator