Theorem phplem3g 6965

Description: A natural number is equinumerous to its successor minus any element of the successor. Version of phplem3 6963 with unnecessary hypotheses removed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phplem3g	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem3g

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2269	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
2	1	anbi2d 464	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴)))
3		sneq 3646	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → {𝑏} = {𝐵})
4	3	difeq2d 3293	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (suc 𝐴 ∖ {𝑏}) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
5	4	breq2d 4060	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏}) ↔ 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵})))
6	2, 5	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏})) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))))
7		eleq1 2269	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
8		suceq 4454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → suc 𝑎 = suc 𝐴)
9	8	eleq2d 2276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 ∈ suc 𝑎 ↔ 𝑏 ∈ suc 𝐴))
10	7, 9	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑎) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴)))
11		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
12	8	difeq1d 3292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (suc 𝑎 ∖ {𝑏}) = (suc 𝐴 ∖ {𝑏}))
13	11, 12	breq12d 4061	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≈ (suc 𝑎 ∖ {𝑏}) ↔ 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏})))
14	10, 13	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑎) → 𝑎 ≈ (suc 𝑎 ∖ {𝑏})) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏}))))
15		vex 2776	. . . . . 6 ⊢ 𝑎 ∈ V
16		vex 2776	. . . . . 6 ⊢ 𝑏 ∈ V
17	15, 16	phplem3 6963	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑎) → 𝑎 ≈ (suc 𝑎 ∖ {𝑏}))
18	14, 17	vtoclg 2835	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏})))
19	18	anabsi5 579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏}))
20	6, 19	vtoclg 2835	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ suc 𝐴 → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵})))
21	20	anabsi7 581	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ∖ cdif 3165  {csn 3635   class class class wbr 4048  suc csuc 4417  ωcom 4643   ≈ cen 6835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-tr 4148  df-id 4345  df-iord 4418  df-on 4420  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-en 6838

This theorem is referenced by:  phplem4dom  6971  phpm  6974  phplem4on  6976