ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phplem4 GIF version

Theorem phplem4 6848
Description: Lemma for Pigeonhole Principle. Equinumerosity of successors implies equinumerosity of the original natural numbers. (Contributed by NM, 28-May-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phplem2.1 𝐴 ∈ V
phplem2.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
phplem4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≈ suc 𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem phplem4
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6740 . 2 (suc 𝐴 ≈ suc 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵)
2 f1of1 5455 . . . . . . . . . 10 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵)
32adantl 277 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵)
4 phplem2.2 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ V
54sucex 4494 . . . . . . . . 9 suc 𝐵 ∈ V
6 sssucid 4411 . . . . . . . . . 10 𝐴 ⊆ suc 𝐴
7 phplem2.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ V
8 f1imaen2g 6786 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ suc 𝐴𝐴 ∈ V)) → (𝑓𝐴) ≈ 𝐴)
96, 7, 8mpanr12 439 . . . . . . . . 9 ((𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ∈ V) → (𝑓𝐴) ≈ 𝐴)
103, 5, 9sylancl 413 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → (𝑓𝐴) ≈ 𝐴)
1110ensymd 6776 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → 𝐴 ≈ (𝑓𝐴))
12 nnord 4607 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
13 orddif 4542 . . . . . . . . . 10 (Ord 𝐴𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
1412, 13syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
1514imaeq2d 4965 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝑓𝐴) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
16 f1ofn 5457 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵𝑓 Fn suc 𝐴)
177sucid 4413 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ suc 𝐴
18 fnsnfv 5570 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 Fn suc 𝐴𝐴 ∈ suc 𝐴) → {(𝑓𝐴)} = (𝑓 “ {𝐴}))
1916, 17, 18sylancl 413 . . . . . . . . . 10 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → {(𝑓𝐴)} = (𝑓 “ {𝐴}))
2019difeq2d 3253 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓𝐴)}) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
21 imadmrn 4975 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 “ dom 𝑓) = ran 𝑓
2221eqcomi 2181 . . . . . . . . . . 11 ran 𝑓 = (𝑓 “ dom 𝑓)
23 f1ofo 5463 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵𝑓:suc 𝐴onto→suc 𝐵)
24 forn 5436 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:suc 𝐴onto→suc 𝐵 → ran 𝑓 = suc 𝐵)
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → ran 𝑓 = suc 𝐵)
26 f1odm 5460 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → dom 𝑓 = suc 𝐴)
2726imaeq2d 4965 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → (𝑓 “ dom 𝑓) = (𝑓 “ suc 𝐴))
2822, 25, 273eqtr3a 2234 . . . . . . . . . 10 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → suc 𝐵 = (𝑓 “ suc 𝐴))
2928difeq1d 3252 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓𝐴)}))
30 dff1o3 5462 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 ↔ (𝑓:suc 𝐴onto→suc 𝐵 ∧ Fun 𝑓))
3130simprbi 275 . . . . . . . . . 10 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → Fun 𝑓)
32 imadif 5291 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝑓 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
3331, 32syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
3420, 29, 333eqtr4rd 2221 . . . . . . . 8 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
3515, 34sylan9eq 2230 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → (𝑓𝐴) = (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
3611, 35breqtrd 4026 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → 𝐴 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
37 fnfvelrn 5643 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 Fn suc 𝐴𝐴 ∈ suc 𝐴) → (𝑓𝐴) ∈ ran 𝑓)
3816, 17, 37sylancl 413 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → (𝑓𝐴) ∈ ran 𝑓)
3924eleq2d 2247 . . . . . . . . . 10 (𝑓:suc 𝐴onto→suc 𝐵 → ((𝑓𝐴) ∈ ran 𝑓 ↔ (𝑓𝐴) ∈ suc 𝐵))
4023, 39syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → ((𝑓𝐴) ∈ ran 𝑓 ↔ (𝑓𝐴) ∈ suc 𝐵))
4138, 40mpbid 147 . . . . . . . 8 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → (𝑓𝐴) ∈ suc 𝐵)
42 vex 2740 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
4342, 7fvex 5530 . . . . . . . . 9 (𝑓𝐴) ∈ V
444, 43phplem3 6847 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ω ∧ (𝑓𝐴) ∈ suc 𝐵) → 𝐵 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
4541, 44sylan2 286 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → 𝐵 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
4645ensymd 6776 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐵)
47 entr 6777 . . . . . 6 ((𝐴 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ∧ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐵) → 𝐴𝐵)
4836, 46, 47syl2an 289 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵)) → 𝐴𝐵)
4948anandirs 593 . . . 4 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → 𝐴𝐵)
5049ex 115 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵𝐴𝐵))
5150exlimdv 1819 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (∃𝑓 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵𝐴𝐵))
521, 51biimtrid 152 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≈ suc 𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  Vcvv 2737  cdif 3126  wss 3129  {csn 3591   class class class wbr 4000  Ord word 4358  suc csuc 4361  ωcom 4585  ccnv 4621  dom cdm 4622  ran crn 4623  cima 4625  Fun wfun 5205   Fn wfn 5206  1-1wf1 5208  ontowfo 5209  1-1-ontowf1o 5210  cfv 5211  cen 6731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-er 6528  df-en 6734
This theorem is referenced by:  nneneq  6850  php5  6851
  Copyright terms: Public domain W3C validator