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Theorem pcaddlem 12321
Description: Lemma for pcadd 12322. The original numbers 𝐴 and 𝐵 have been decomposed using the prime count function as (𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆) where 𝑅, 𝑆 are both not divisible by 𝑃 and 𝑀 = (𝑃 pCnt 𝐴), and similarly for 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcaddlem.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pcaddlem.2 (𝜑𝐴 = ((𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆)))
pcaddlem.3 (𝜑𝐵 = ((𝑃𝑁) · (𝑇 / 𝑈)))
pcaddlem.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
pcaddlem.5 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑅))
pcaddlem.6 (𝜑 → (𝑆 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃𝑆))
pcaddlem.7 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑇))
pcaddlem.8 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃𝑈))
Assertion
Ref Expression
pcaddlem (𝜑𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem pcaddlem
StepHypRef Expression
1 pcaddlem.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 9522 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
43zred 9364 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
54rexrd 7997 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
6 pnfge 9776 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℝ*𝑀 ≤ +∞)
75, 6syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≤ +∞)
8 pcaddlem.1 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
9 pc0 12287 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
108, 9syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
117, 10breqtrrd 4028 . . . 4 (𝜑𝑀 ≤ (𝑃 pCnt 0))
1211adantr 276 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt 0))
13 simpr 110 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → (𝐴 + 𝐵) = 0)
1413oveq2d 5885 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) = (𝑃 pCnt 0))
1512, 14breqtrrd 4028 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
164adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
17 prmnn 12093 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
188, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
1918nncnd 8922 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
2018nnap0d 8954 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 # 0)
21 eluzelz 9526 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
221, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2322, 3zsubcld 9369 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
2419, 20, 23expclzapd 10644 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℂ)
25 pcaddlem.7 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑇))
2625simpld 112 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
2726zcnd 9365 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
28 pcaddlem.8 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃𝑈))
2928simpld 112 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℕ)
3029nncnd 8922 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
3129nnap0d 8954 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 # 0)
3224, 27, 30, 31divassapd 8772 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) / 𝑈) = ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))
3332oveq2d 5885 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) / 𝑈)) = ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
34 pcaddlem.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑅))
3534simpld 112 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
3635zcnd 9365 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
3724, 27mulcld 7968 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) ∈ ℂ)
38 pcaddlem.6 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃𝑆))
3938simpld 112 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
4039nncnd 8922 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
4139nnap0d 8954 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 # 0)
4240, 41jca 306 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑆 # 0))
4330, 31jca 306 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 # 0))
44 divadddivap 8673 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℂ ∧ ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) ∈ ℂ) ∧ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑆 # 0) ∧ (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 # 0))) → ((𝑅 / 𝑆) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) / 𝑈)) = (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)))
4536, 37, 42, 43, 44syl22anc 1239 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) / 𝑈)) = (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)))
4633, 45eqtr3d 2212 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)))
4746oveq2d 5885 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))))
4847adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))))
498adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
5029nnzd 9363 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ ℤ)
5135, 50zmulcld 9370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 · 𝑈) ∈ ℤ)
52 uznn0sub 9548 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
531, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
5418, 53nnexpcld 10661 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℕ)
5554nnzd 9363 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℤ)
5655, 26zmulcld 9370 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) ∈ ℤ)
5739nnzd 9363 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
5856, 57zmulcld 9370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆) ∈ ℤ)
5951, 58zaddcld 9368 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ)
6059adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ)
6119, 20, 3expclzapd 10644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
6261mul01d 8340 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃𝑀) · 0) = 0)
63 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = ((𝑃𝑀) · 0))
6463eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → (((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = 0 ↔ ((𝑃𝑀) · 0) = 0))
6562, 64syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = 0))
6665necon3d 2391 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ≠ 0 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0))
6736, 40, 41divclapd 8736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℂ)
6827, 30, 31divclapd 8736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℂ)
6924, 68mulcld 7968 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℂ)
7061, 67, 69adddid 7972 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (((𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆)) + ((𝑃𝑀) · ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))))
71 pcaddlem.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 = ((𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆)))
72 pcaddlem.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 = ((𝑃𝑁) · (𝑇 / 𝑈)))
733zcnd 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
7422zcnd 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
7573, 74pncan3d 8261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 + (𝑁𝑀)) = 𝑁)
7675oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁𝑀))) = (𝑃𝑁))
77 expaddzap 10550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁𝑀))) = ((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))))
7819, 20, 3, 23, 77syl22anc 1239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁𝑀))) = ((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))))
7976, 78eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃𝑁) = ((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))))
8079oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑃𝑁) · (𝑇 / 𝑈)) = (((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))) · (𝑇 / 𝑈)))
8161, 24, 68mulassd 7971 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))) · (𝑇 / 𝑈)) = ((𝑃𝑀) · ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
8272, 80, 813eqtrd 2214 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 = ((𝑃𝑀) · ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
8371, 82oveq12d 5887 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (((𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆)) + ((𝑃𝑀) · ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))))
8470, 83eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝐴 + 𝐵))
8584neeq1d 2365 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ≠ 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0))
8646neeq1d 2365 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0 ↔ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0))
8766, 85, 863imtr3d 202 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0))
8839, 29nnmulcld 8957 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ)
8988nncnd 8922 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℂ)
9040, 30, 41, 31mulap0d 8604 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) # 0)
9189, 90div0apd 8733 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 / (𝑆 · 𝑈)) = 0)
92 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = (0 / (𝑆 · 𝑈)))
9392eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → ((((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = 0 ↔ (0 / (𝑆 · 𝑈)) = 0))
9491, 93syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = 0))
9594necon3d 2391 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0))
9687, 95syld 45 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0))
9796imp 124 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0)
9888adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ)
99 pcdiv 12285 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ ∧ ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0) ∧ (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))))
10049, 60, 97, 98, 99syl121anc 1243 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))))
10139nnne0d 8953 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ≠ 0)
10229nnne0d 8953 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ≠ 0)
103 pcmul 12284 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ (𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)))
1048, 57, 101, 50, 102, 103syl122anc 1247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)))
10538simprd 114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑃𝑆)
106 pceq0 12304 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑆) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑆))
1078, 39, 106syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑆))
108105, 107mpbird 167 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑆) = 0)
10928simprd 114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑃𝑈)
110 pceq0 12304 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑈 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑈) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑈))
1118, 29, 110syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑈) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑈))
112109, 111mpbird 167 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑈) = 0)
113108, 112oveq12d 5887 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)) = (0 + 0))
114 00id 8088 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
115113, 114eqtrdi 2226 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)) = 0)
116104, 115eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = 0)
117116oveq2d 5885 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0))
118117adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0))
119 pczcl 12281 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ ∧ ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℕ0)
12049, 60, 97, 119syl12anc 1236 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℕ0)
121120nn0cnd 9220 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℂ)
122121subid1d 8247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
123118, 122eqtrd 2210 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
12448, 100, 1233eqtrd 2214 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
125124, 120eqeltrd 2254 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ∈ ℕ0)
126 nn0addge1 9211 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
12716, 125, 126syl2anc 411 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ≤ (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
128 nnq 9622 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
12918, 128syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℚ)
13018nnne0d 8953 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ≠ 0)
131 qexpclz 10527 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃𝑀) ∈ ℚ)
132129, 130, 3, 131syl3anc 1238 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℚ)
133132adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃𝑀) ∈ ℚ)
13419, 20, 3expap0d 10645 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃𝑀) # 0)
135 0z 9253 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
136 zq 9615 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
137135, 136mp1i 10 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℚ)
138 qapne 9628 . . . . . . . 8 (((𝑃𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → ((𝑃𝑀) # 0 ↔ (𝑃𝑀) ≠ 0))
139132, 137, 138syl2anc 411 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃𝑀) # 0 ↔ (𝑃𝑀) ≠ 0))
140134, 139mpbid 147 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝑀) ≠ 0)
141140adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃𝑀) ≠ 0)
142 znq 9613 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ)
14335, 39, 142syl2anc 411 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ)
144 qexpclz 10527 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ) → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℚ)
145129, 130, 23, 144syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℚ)
146 znq 9613 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ ℕ) → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ)
14726, 29, 146syl2anc 411 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ)
148 qmulcl 9626 . . . . . . . 8 (((𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℚ ∧ (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ) → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ)
149145, 147, 148syl2anc 411 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ)
150 qaddcl 9624 . . . . . . 7 (((𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ ∧ ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
151143, 149, 150syl2anc 411 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
152151adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
15385, 66sylbird 170 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0))
154153imp 124 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0)
155 pcqmul 12286 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑃𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝑃𝑀) ≠ 0) ∧ (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ ∧ ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = ((𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
15649, 133, 141, 152, 154, 155syl122anc 1247 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = ((𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
15784oveq2d 5885 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
158157adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
159 pcid 12306 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) = 𝑀)
1608, 3, 159syl2anc 411 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) = 𝑀)
161160oveq1d 5884 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
162161adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
163156, 158, 1623eqtr3d 2218 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
164127, 163breqtrrd 4028 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
165 qmulcl 9626 . . . . . . 7 (((𝑃𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ) → ((𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆)) ∈ ℚ)
166132, 143, 165syl2anc 411 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆)) ∈ ℚ)
16771, 166eqeltrd 2254 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
168 qexpclz 10527 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃𝑁) ∈ ℚ)
169129, 130, 22, 168syl3anc 1238 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℚ)
170 qmulcl 9626 . . . . . . 7 (((𝑃𝑁) ∈ ℚ ∧ (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ) → ((𝑃𝑁) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ)
171169, 147, 170syl2anc 411 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝑁) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ)
17272, 171eqeltrd 2254 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
173 qaddcl 9624 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
174167, 172, 173syl2anc 411 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
175 qdceq 10233 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → DECID (𝐴 + 𝐵) = 0)
176174, 137, 175syl2anc 411 . . 3 (𝜑DECID (𝐴 + 𝐵) = 0)
177 dcne 2358 . . 3 (DECID (𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0))
178176, 177sylib 122 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0))
17915, 164, 178mpjaodan 798 1 (𝜑𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802   + caddc 7805   · cmul 7807  +∞cpnf 7979  *cxr 7981  cle 7983  cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  cn 8908  0cn0 9165  cz 9242  cuz 9517  cq 9608  cexp 10505  cdvds 11778  cprime 12090   pCnt cpc 12267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-en 6735  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091  df-pc 12268
This theorem is referenced by:  pcadd  12322
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