pcaddlem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pcaddlem 13062

Description: Lemma for pcadd 13063. The original numbers 𝐴 and 𝐵 have been decomposed using the prime count function as (𝑃↑𝑀) · (𝑅 / 𝑆) where 𝑅, 𝑆 are both not divisible by 𝑃 and 𝑀 = (𝑃 pCnt 𝐴), and similarly for 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pcaddlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
pcaddlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑃↑𝑀) · (𝑅 / 𝑆)))
pcaddlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((𝑃↑𝑁) · (𝑇 / 𝑈)))
pcaddlem.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
pcaddlem.5	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑅))
pcaddlem.6	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑆))
pcaddlem.7	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑇))
pcaddlem.8	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑈))

**Assertion**
Ref	Expression
pcaddlem	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))

**Proof of Theorem pcaddlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcaddlem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
2		eluzel2 9876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	zred 9718	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
5	4	rexrd 8339	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ^*)
6		pnfge 10141	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ^* → 𝑀 ≤ +∞)
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ +∞)
8		pcaddlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
9		pc0 13027	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
11	7, 10	breqtrrd 4142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt 0))
12	11	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt 0))
13		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → (𝐴 + 𝐵) = 0)
14	13	oveq2d 6074	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) = (𝑃 pCnt 0))
15	12, 14	breqtrrd 4142	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
16	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
17		prmnn 12832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
18	8, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
19	18	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
20	18	nnap0d 9300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 # 0)
21		eluzelz 9881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
22	1, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
23	22, 3	zsubcld 9723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
24	19, 20, 23	expclzapd 11065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℂ)
25		pcaddlem.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑇))
26	25	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 9719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
28		pcaddlem.8	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑈))
29	28	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ)
30	29	nncnd 9268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
31	29	nnap0d 9300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 # 0)
32	24, 27, 30, 31	divassapd 9117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) / 𝑈) = ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))
33	32	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) / 𝑈)) = ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
34		pcaddlem.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑅))
35	34	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
36	35	zcnd 9719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
37	24, 27	mulcld 8310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) ∈ ℂ)
38		pcaddlem.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑆))
39	38	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
40	39	nncnd 9268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
41	39	nnap0d 9300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 # 0)
42	40, 41	jca 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑆 # 0))
43	30, 31	jca 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 # 0))
44		divadddivap 9018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℂ ∧ ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) ∈ ℂ) ∧ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑆 # 0) ∧ (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 # 0))) → ((𝑅 / 𝑆) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) / 𝑈)) = (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)))
45	36, 37, 42, 43, 44	syl22anc 1275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) / 𝑈)) = (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)))
46	33, 45	eqtr3d 2269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)))
47	46	oveq2d 6074	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))))
48	47	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))))
49	8	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
50	29	nnzd 9717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℤ)
51	35, 50	zmulcld 9724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑈) ∈ ℤ)
52		uznn0sub 9904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀)
53	1, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀)
54	18, 53	nnexpcld 11082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℕ)
55	54	nnzd 9717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℤ)
56	55, 26	zmulcld 9724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) ∈ ℤ)
57	39	nnzd 9717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
58	56, 57	zmulcld 9724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆) ∈ ℤ)
59	51, 58	zaddcld 9722	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ)
60	59	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ)
61	19, 20, 3	expclzapd 11065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑀) ∈ ℂ)
62	61	mul01d 8683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑀) · 0) = 0)
63		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = ((𝑃↑𝑀) · 0))
64	63	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → (((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = 0 ↔ ((𝑃↑𝑀) · 0) = 0))
65	62, 64	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = 0))
66	65	necon3d 2458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ≠ 0 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0))
67	36, 40, 41	divclapd 9081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℂ)
68	27, 30, 31	divclapd 9081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℂ)
69	24, 68	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℂ)
70	61, 67, 69	adddid 8314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (((𝑃↑𝑀) · (𝑅 / 𝑆)) + ((𝑃↑𝑀) · ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))))
71		pcaddlem.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑃↑𝑀) · (𝑅 / 𝑆)))
72		pcaddlem.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((𝑃↑𝑁) · (𝑇 / 𝑈)))
73	3	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
74	22	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
75	73, 74	pncan3d 8603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)) = 𝑁)
76	75	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁 − 𝑀))) = (𝑃↑𝑁))
77		expaddzap 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁 − 𝑀))) = ((𝑃↑𝑀) · (𝑃↑(𝑁 − 𝑀))))
78	19, 20, 3, 23, 77	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁 − 𝑀))) = ((𝑃↑𝑀) · (𝑃↑(𝑁 − 𝑀))))
79	76, 78	eqtr3d 2269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) = ((𝑃↑𝑀) · (𝑃↑(𝑁 − 𝑀))))
80	79	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) · (𝑇 / 𝑈)) = (((𝑃↑𝑀) · (𝑃↑(𝑁 − 𝑀))) · (𝑇 / 𝑈)))
81	61, 24, 68	mulassd 8313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑𝑀) · (𝑃↑(𝑁 − 𝑀))) · (𝑇 / 𝑈)) = ((𝑃↑𝑀) · ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
82	72, 80, 81	3eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((𝑃↑𝑀) · ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
83	71, 82	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (((𝑃↑𝑀) · (𝑅 / 𝑆)) + ((𝑃↑𝑀) · ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))))
84	70, 83	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝐴 + 𝐵))
85	84	neeq1d 2432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ≠ 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0))
86	46	neeq1d 2432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0 ↔ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0))
87	66, 85, 86	3imtr3d 202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0))
88	39, 29	nnmulcld 9303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ)
89	88	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℂ)
90	40, 30, 41, 31	mulap0d 8949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) # 0)
91	89, 90	div0apd 9078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 / (𝑆 · 𝑈)) = 0)
92		oveq1 6065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = (0 / (𝑆 · 𝑈)))
93	92	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → ((((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = 0 ↔ (0 / (𝑆 · 𝑈)) = 0))
94	91, 93	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = 0))
95	94	necon3d 2458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0))
96	87, 95	syld 45	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0))
97	96	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0)
98	88	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ)
99		pcdiv 13025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ ∧ ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0) ∧ (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))))
100	49, 60, 97, 98, 99	syl121anc 1279	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))))
101	39	nnne0d 9299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 0)
102	29	nnne0d 9299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
103		pcmul 13024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ (𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)))
104	8, 57, 101, 50, 102, 103	syl122anc 1283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)))
105	38	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑆)
106		pceq0 13045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑆) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑆))
107	8, 39, 106	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑆))
108	105, 107	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑆) = 0)
109	28	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑈)
110		pceq0 13045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑈 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑈) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑈))
111	8, 29, 110	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑈) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑈))
112	109, 111	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑈) = 0)
113	108, 112	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)) = (0 + 0))
114		00id 8430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 0) = 0
115	113, 114	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)) = 0)
116	104, 115	eqtrd 2267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = 0)
117	116	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0))
118	117	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0))
119		pczcl 13021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ ∧ ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℕ₀)
120	49, 60, 97, 119	syl12anc 1272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℕ₀)
121	120	nn0cnd 9572	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℂ)
122	121	subid1d 8589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
123	118, 122	eqtrd 2267	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
124	48, 100, 123	3eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
125	124, 120	eqeltrd 2311	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ∈ ℕ₀)
126		nn0addge1 9559	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ∈ ℕ₀) → 𝑀 ≤ (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
127	16, 125, 126	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ≤ (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
128		nnq 9983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
129	18, 128	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℚ)
130	18	nnne0d 9299	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
131		qexpclz 10946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℚ)
132	129, 130, 3, 131	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑀) ∈ ℚ)
133	132	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℚ)
134	19, 20, 3	expap0d 11066	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑀) # 0)
135		0z 9605	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
136		zq 9976	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
137	135, 136	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℚ)
138		qapne 9989	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃↑𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → ((𝑃↑𝑀) # 0 ↔ (𝑃↑𝑀) ≠ 0))
139	132, 137, 138	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑀) # 0 ↔ (𝑃↑𝑀) ≠ 0))
140	134, 139	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑀) ≠ 0)
141	140	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃↑𝑀) ≠ 0)
142		znq 9974	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ)
143	35, 39, 142	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ)
144		qexpclz 10946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℚ)
145	129, 130, 23, 144	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℚ)
146		znq 9974	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ ℕ) → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ)
147	26, 29, 146	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ)
148		qmulcl 9987	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℚ ∧ (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ) → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ)
149	145, 147, 148	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ)
150		qaddcl 9985	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ ∧ ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
151	143, 149, 150	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
152	151	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
153	85, 66	sylbird 170	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0))
154	153	imp 124	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0)
155		pcqmul 13026	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑃↑𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝑃↑𝑀) ≠ 0) ∧ (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ ∧ ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
156	49, 133, 141, 152, 154, 155	syl122anc 1283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
157	84	oveq2d 6074	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
158	157	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
159		pcid 13047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑀)) = 𝑀)
160	8, 3, 159	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑀)) = 𝑀)
161	160	oveq1d 6073	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
162	161	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
163	156, 158, 162	3eqtr3d 2275	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
164	127, 163	breqtrrd 4142	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
165		qmulcl 9987	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃↑𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ) → ((𝑃↑𝑀) · (𝑅 / 𝑆)) ∈ ℚ)
166	132, 143, 165	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑀) · (𝑅 / 𝑆)) ∈ ℚ)
167	71, 166	eqeltrd 2311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
168		qexpclz 10946	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℚ)
169	129, 130, 22, 168	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) ∈ ℚ)
170		qmulcl 9987	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃↑𝑁) ∈ ℚ ∧ (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ) → ((𝑃↑𝑁) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ)
171	169, 147, 170	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ)
172	72, 171	eqeltrd 2311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
173		qaddcl 9985	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
174	167, 172, 173	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
175		qdceq 10628	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → DECID (𝐴 + 𝐵) = 0)
176	174, 137, 175	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID (𝐴 + 𝐵) = 0)
177		dcne 2425	. . 3 ⊢ (DECID (𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0))
178	176, 177	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0))
179	15, 164, 178	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 716 DECID wdc 842 = wceq 1398 ∈ wcel 2205 ≠ wne 2414 class class class wbr 4114 ‘cfv 5357 (class class class)co 6058 ℂcc 8141 ℝcr 8142 0cc0 8143 + caddc 8146 · cmul 8148 +∞cpnf 8321 ℝ^*cxr 8323 ≤ cle 8325 − cmin 8460 # cap 8872 / cdiv 8963 ℕcn 9254 ℕ₀cn0 9513 ℤcz 9594 ℤ_≥cuz 9871 ℚcq 9969 ↑cexp 10924 ∥ cdvds 12498 ℙcprime 12829 pCnt cpc 13007

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4230 ax-sep 4233 ax-nul 4241 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-iinf 4715 ax-cnex 8234 ax-resscn 8235 ax-1cn 8236 ax-1re 8237 ax-icn 8238 ax-addcl 8239 ax-addrcl 8240 ax-mulcl 8241 ax-mulrcl 8242 ax-addcom 8243 ax-mulcom 8244 ax-addass 8245 ax-mulass 8246 ax-distr 8247 ax-i2m1 8248 ax-0lt1 8249 ax-1rid 8250 ax-0id 8251 ax-rnegex 8252 ax-precex 8253 ax-cnre 8254 ax-pre-ltirr 8255 ax-pre-ltwlin 8256 ax-pre-lttrn 8257 ax-pre-apti 8258 ax-pre-ltadd 8259 ax-pre-mulgt0 8260 ax-pre-mulext 8261 ax-arch 8262 ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-nul 3513 df-if 3625 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-int 3955 df-iun 3998 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-tr 4214 df-id 4419 df-po 4422 df-iso 4423 df-iord 4492 df-on 4494 df-ilim 4495 df-suc 4497 df-iom 4718 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-f1 5362 df-fo 5363 df-f1o 5364 df-fv 5365 df-isom 5366 df-riota 6011 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-1st 6347 df-2nd 6348 df-recs 6549 df-frec 6635 df-1o 6660 df-2o 6661 df-er 6780 df-en 6989 df-sup 7288 df-inf 7289 df-pnf 8326 df-mnf 8327 df-xr 8328 df-ltxr 8329 df-le 8330 df-sub 8462 df-neg 8463 df-reap 8866 df-ap 8873 df-div 8964 df-inn 9255 df-2 9313 df-3 9314 df-4 9315 df-n0 9514 df-z 9595 df-uz 9872 df-q 9970 df-rp 10005 df-fz 10362 df-fzo 10499 df-fl 10654 df-mod 10709 df-seqfrec 10834 df-exp 10925 df-cj 11552 df-re 11553 df-im 11554 df-rsqrt 11708 df-abs 11709 df-dvds 12499 df-gcd 12675 df-prm 12830 df-pc 13008

This theorem is referenced by: pcadd 13063

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