Theorem pcdvdsb 12886

Description: 𝑃↑𝐴 divides 𝑁 if and only if 𝐴 is at most the count of 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcdvdsb	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁))

Proof of Theorem pcdvdsb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant3 1044	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	rexrd 8222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		pnfge 10017	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ +∞)
6		pc0 12870	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
7	6	3ad2ant1 1042	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
8	5, 7	breqtrrd 4114	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 0))
9		prmnn 12675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10		nnexpcl 10807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐴) ∈ ℕ)
11	9, 10	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐴) ∈ ℕ)
12	11	3adant2 1040	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐴) ∈ ℕ)
13	12	nnzd 9594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐴) ∈ ℤ)
14		dvds0 12360	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃↑𝐴) ∈ ℤ → (𝑃↑𝐴) ∥ 0)
15	13, 14	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐴) ∥ 0)
16	8, 15	2thd 175	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 0) ↔ (𝑃↑𝐴) ∥ 0))
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 0) ↔ (𝑃↑𝐴) ∥ 0))
18		oveq2 6021	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt 0))
19	18	breq2d 4098	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 0)))
20		breq2 4090	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑𝐴) ∥ 0))
21	19, 20	bibi12d 235	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁) ↔ (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 0) ↔ (𝑃↑𝐴) ∥ 0)))
22	21	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁) ↔ (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 0) ↔ (𝑃↑𝐴) ∥ 0)))
23	17, 22	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁))
24		simpl3 1026	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
25	24	nn0zd 9593	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
26		simpl1 1024	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
27		simpl2 1025	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
28		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ≠ 0)
29		pczcl 12864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
30	26, 27, 28, 29	syl12anc 1269	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
31	30	nn0zd 9593	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
32		eluz 9762	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁)))
33	25, 31, 32	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁)))
34	26, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℕ)
35	34	nnzd 9594	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℤ)
36		dvdsexp 12415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
37	36	3expia 1229	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
38	35, 24, 37	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
39	33, 38	sylbird 170	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) → (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
40		pczdvds 12880	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
41	26, 27, 28, 40	syl12anc 1269	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
42	13	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑃↑𝐴) ∈ ℤ)
43	34, 30	nnexpcld 10950	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ)
44	43	nnzd 9594	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
45		dvdstr 12382	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃↑𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁) → (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁))
46	42, 44, 27, 45	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁) → (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁))
47	41, 46	mpan2d 428	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) → (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁))
48	39, 47	syld 45	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) → (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁))
49		zdcle 9549	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁))
50	25, 31, 49	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → DECID 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁))
51		nn0z 9492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
52		nn0z 9492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
53		zltnle 9518	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁)))
54	51, 52, 53	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁)))
55		nn0ltp1le 9535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) < 𝐴 ↔ ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ≤ 𝐴))
56	54, 55	bitr3d 190	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ≤ 𝐴))
57	30, 24, 56	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (¬ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ≤ 𝐴))
58		peano2nn0 9435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
59	30, 58	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
60	59	nn0zd 9593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
61		eluz 9762	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ↔ ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ≤ 𝐴))
62	60, 25, 61	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ↔ ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ≤ 𝐴))
63		dvdsexp 12415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘((𝑃 pCnt 𝑁) + 1))) → (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃↑𝐴))
64	63	3expia 1229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) → (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃↑𝐴)))
65	35, 59, 64	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) → (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃↑𝐴)))
66	62, 65	sylbird 170	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ≤ 𝐴 → (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃↑𝐴)))
67		pczndvds 12882	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ 𝑁)
68	26, 27, 28, 67	syl12anc 1269	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ¬ (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ 𝑁)
69	34, 59	nnexpcld 10950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
70	69	nnzd 9594	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∈ ℤ)
71		dvdstr 12382	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃↑𝐴) ∧ (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁) → (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ 𝑁))
72	70, 42, 27, 71	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃↑𝐴) ∧ (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁) → (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ 𝑁))
73	68, 72	mtod 667	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ¬ ((𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃↑𝐴) ∧ (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁))
74		imnan 694	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃↑𝐴) → ¬ (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁) ↔ ¬ ((𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃↑𝐴) ∧ (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁))
75	73, 74	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃↑𝐴) → ¬ (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁))
76	66, 75	syld 45	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ≤ 𝐴 → ¬ (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁))
77	57, 76	sylbid 150	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (¬ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) → ¬ (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁))
78		condc 858	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) → ((¬ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) → ¬ (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁) → ((𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁 → 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁))))
79	50, 77, 78	sylc 62	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁 → 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁)))
80	48, 79	impbid 129	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁))
81		simp2 1022	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
82		0zd 9484	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
83		zdceq 9548	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
84	81, 82, 83	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → DECID 𝑁 = 0)
85		dcne 2411	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
86	84, 85	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
87	23, 80, 86	mpjaodan 803	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃↑𝐴) ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℝcr 8024  0cc0 8025  1c1 8026   + caddc 8028  +∞cpnf 8204  ℝ^*cxr 8206   < clt 8207   ≤ cle 8208  ℕcn 9136  ℕ₀cn0 9395  ℤcz 9472  ℤ_≥cuz 9748  ↑cexp 10793   ∥ cdvds 12341  ℙcprime 12672   pCnt cpc 12850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-sup 7177  df-inf 7178  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-fl 10523  df-mod 10578  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-dvds 12342  df-gcd 12518  df-prm 12673  df-pc 12851

This theorem is referenced by:  pcelnn  12887  pcidlem  12889  pcdvdstr  12893  pcgcd1  12894  pcfac  12916  pockthlem  12922  pockthg  12923