Theorem ressplusgd 13541

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusgd.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴))
ressplusgd.2	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
ressplusgd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ressplusgd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressplusgd	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		plusgslid 13524	. . 3 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
4		basendxnplusgndx 13537	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2505	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6		ressplusgd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
7		ressplusgd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	resseqnbasd 13485	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
9		ressplusgd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
10		ressplusgd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴))
11	10	fveq2d 5702	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐻) = (+g‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
12	8, 9, 11	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ndxcnx 13406  Basecbs 13409   ↾_s cress 13410  +_gcplusg 13489

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-sets 13416  df-iress 13417  df-plusg 13502

This theorem is used by:  gzsumress  13770  issubmnd  13813  ress0g  13814  resmhm  13852  resmhm2  13853  resmhm2b  13854  grpressid  13924  submmulg  14027  subg0  14041  subginv  14042  subgcl  14045  subgsub  14047  subgmulg  14049  issubg2m  14050  nmznsg  14074  resghm  14121  resscntz  14165  cmnsubm  14201  subgabl  14225  subcmnd  14226  ablressid  14228  rngressid  14359  ringidss  14440  ringressid  14476  opprsubgg  14498  unitgrp  14531  unitlinv  14541  unitrinv  14542  invrpropdg  14564  rhmunitinv  14593  issubrng2  14626  subrngpropd  14632  subrgugrp  14656  issubrg2  14657  subrgpropd  14669  islss3  14824  sralmod  14895  rnglidlrng  14943  zringplusg  15040  expghmap  15050  mplplusgg  15236