Theorem ressplusgd 13036

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusgd.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴))
ressplusgd.2	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
ressplusgd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ressplusgd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressplusgd	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		eqid 2206	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		plusgslid 13019	. . 3 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
4		basendxnplusgndx 13032	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2462	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6		ressplusgd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
7		ressplusgd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	resseqnbasd 12980	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
9		ressplusgd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
10		ressplusgd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴))
11	10	fveq2d 5593	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐻) = (+g‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
12	8, 9, 11	3eqtr4d 2249	1 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  ndxcnx 12904  Basecbs 12907   ↾_s cress 12908  +_gcplusg 12984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-iress 12915  df-plusg 12997

This theorem is referenced by:  gsumress  13302  issubmnd  13349  ress0g  13350  resmhm  13394  resmhm2  13395  resmhm2b  13396  grpressid  13468  submmulg  13577  subg0  13591  subginv  13592  subgcl  13595  subgsub  13597  subgmulg  13599  issubg2m  13600  nmznsg  13624  resghm  13671  subgabl  13743  subcmnd  13744  ablressid  13746  rngressid  13791  ringidss  13866  ringressid  13900  opprsubgg  13921  unitgrp  13953  unitlinv  13963  unitrinv  13964  invrpropdg  13986  rhmunitinv  14015  issubrng2  14047  subrngpropd  14053  subrgugrp  14077  issubrg2  14078  subrgpropd  14090  islss3  14216  sralmod  14287  rnglidlrng  14335  zringplusg  14434  expghmap  14444  mplplusgg  14540