Theorem ressplusgd 12879

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusgd.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴))
ressplusgd.2	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
ressplusgd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ressplusgd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressplusgd	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2204	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		eqid 2204	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		plusgslid 12863	. . 3 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
4		basendxnplusgndx 12875	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2460	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6		ressplusgd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
7		ressplusgd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	resseqnbasd 12824	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
9		ressplusgd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
10		ressplusgd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴))
11	10	fveq2d 5574	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐻) = (+g‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
12	8, 9, 11	3eqtr4d 2247	1 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  ndxcnx 12748  Basecbs 12751   ↾_s cress 12752  +_gcplusg 12828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094  df-inn 9019  df-2 9077  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-sets 12758  df-iress 12759  df-plusg 12841

This theorem is referenced by:  gsumress  13145  issubmnd  13192  ress0g  13193  resmhm  13237  resmhm2  13238  resmhm2b  13239  grpressid  13311  submmulg  13420  subg0  13434  subginv  13435  subgcl  13438  subgsub  13440  subgmulg  13442  issubg2m  13443  nmznsg  13467  resghm  13514  subgabl  13586  subcmnd  13587  ablressid  13589  rngressid  13634  ringidss  13709  ringressid  13743  opprsubgg  13764  unitgrp  13796  unitlinv  13806  unitrinv  13807  invrpropdg  13829  rhmunitinv  13858  issubrng2  13890  subrngpropd  13896  subrgugrp  13920  issubrg2  13921  subrgpropd  13933  islss3  14059  sralmod  14130  rnglidlrng  14178  zringplusg  14277  expghmap  14287  mplplusgg  14383