Theorem ressplusgd 13536

Description: +_g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusgd.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴))
ressplusgd.2	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
ressplusgd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ressplusgd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressplusgd	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐻))

Proof of Theorem ressplusgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		plusgslid 13519	. . 3 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
4		basendxnplusgndx 13532	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2505	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6		ressplusgd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
7		ressplusgd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	resseqnbasd 13480	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
9		ressplusgd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
10		ressplusgd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴))
11	10	fveq2d 5699	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐻) = (+g‘(𝐺 ↾s 𝐴)))
12	8, 9, 11	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ndxcnx 13401  Basecbs 13404   ↾_s cress 13405  +_gcplusg 13484

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-iress 13412  df-plusg 13497

This theorem is used by:  gzsumress  13765  issubmnd  13808  ress0g  13809  resmhm  13847  resmhm2  13848  resmhm2b  13849  grpressid  13919  submmulg  14022  subg0  14036  subginv  14037  subgcl  14040  subgsub  14042  subgmulg  14044  issubg2m  14045  nmznsg  14069  resghm  14116  resscntz  14160  cmnsubm  14196  subgabl  14220  subcmnd  14221  ablressid  14223  rngressid  14337  ringidss  14418  ringressid  14452  opprsubgg  14474  unitgrp  14507  unitlinv  14517  unitrinv  14518  invrpropdg  14540  rhmunitinv  14569  issubrng2  14602  subrngpropd  14608  subrgugrp  14632  issubrg2  14633  subrgpropd  14645  islss3  14800  sralmod  14871  rnglidlrng  14919  zringplusg  15016  expghmap  15026  mplplusgg  15185