Theorem ressmulrg 12849

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulrg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulrslid 12836	. 2 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
4		basendxnmulrndx 12838	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 2452	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ 𝑊)
7		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑉)
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	resseqnbasd 12778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ndxcnx 12702  Basecbs 12705   ↾_s cress 12706  ._rcmulr 12783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-ltxr 8085  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-iress 12713  df-mulr 12796

This theorem is referenced by:  mgpress  13565  rngressid  13588  ringressid  13697  rdivmuldivd  13778  subrngmcl  13843  issubrng2  13844  subrngpropd  13850  subrg1  13865  subrgmcl  13867  subrgdvds  13869  subrguss  13870  subrginv  13871  subrgdv  13872  subrgunit  13873  subrgugrp  13874  issubrg2  13875  subrgpropd  13887  sralmod  14084  rnglidlmmgm  14130  rnglidlmsgrp  14131  rnglidlrng  14132  zringmulr  14233