Theorem ressmulrg 12605

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulrg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mulrslid 12592	. 2 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
4		basendxnmulrndx 12594	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 2432	. 2 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ 𝑊)
7		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑉)
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	resseqnbasd 12534	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ndxcnx 12461  Basecbs 12464   ↾_s cress 12465  ._rcmulr 12539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-iress 12472  df-mulr 12552

This theorem is referenced by:  mgpress  13146  ringressid  13243  rdivmuldivd  13318  subrg1  13357  subrgmcl  13359  subrgdvds  13361  subrguss  13362  subrginv  13363  subrgdv  13364  subrgunit  13365  subrgugrp  13366  issubrg2  13367  subrgpropd  13374  zringmulr  13574