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Theorem suplociccreex 13169
Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals in a closed interval has a supremum. A similar theorem is axsuploc 7963 but that one is for the entire real line rather than a closed interval. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
suplocicc.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
suplocicc.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
suplocicc.bc (𝜑𝐵 < 𝐶)
suplocicc.3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
suplocicc.m (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
suplocicc.l (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
suplociccreex (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem suplociccreex
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suplocicc.3 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
2 suplocicc.1 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 suplocicc.2 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 iccssre 9883 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
52, 3, 4syl2anc 409 . . 3 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
61, 5sstrd 3148 . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
7 suplocicc.m . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
8 peano2re 8026 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + 1) ∈ ℝ)
93, 8syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝐶 + 1) ∈ ℝ)
106sselda 3138 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
113adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
129adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐶 + 1) ∈ ℝ)
132rexrd 7940 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1413adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
153rexrd 7940 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
1615adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
171sselda 3138 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶))
18 iccleub 9859 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑦𝐶)
1914, 16, 17, 18syl3anc 1227 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐶)
2011ltp1d 8817 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐶 < (𝐶 + 1))
2110, 11, 12, 19, 20lelttrd 8015 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 < (𝐶 + 1))
2221ralrimiva 2537 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝐶 + 1))
23 brralrspcev 4035 . . 3 (((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝐶 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
249, 22, 23syl2anc 409 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
257ad5antr 488 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) → ∃𝑥 𝑥𝐴)
26 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
27 simp-4r 532 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) → 𝑢 ∈ ℝ)
2827ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑢 ∈ ℝ)
292ad4antr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
3029ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
316ad6antr 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3231, 26sseldd 3139 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
33 simplr 520 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑢 < 𝐵)
3413ad6antr 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3515ad6antr 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
361ad6antr 490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
3736, 26sseldd 3139 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
38 iccgelb 9860 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐵𝑥)
3934, 35, 37, 38syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝑥)
4028, 30, 32, 33, 39ltletrd 8313 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑢 < 𝑥)
41 breq2 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → (𝑢 < 𝑧𝑢 < 𝑥))
4241rspcev 2826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑢 < 𝑥) → ∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧)
4326, 40, 42syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧)
4443orcd 723 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑣))
4525, 44exlimddv 1885 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑣))
46 simpllr 524 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝑢 < 𝑣)
47 simplr 520 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝑢 < 𝐶)
48 simp-5r 534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝑢 ∈ ℝ)
49 simp-4r 532 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝑣 ∈ ℝ)
503ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝐶 ∈ ℝ)
51 ltmininf 11166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑢 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ (𝑢 < 𝑣𝑢 < 𝐶)))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (𝑢 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ (𝑢 < 𝑣𝑢 < 𝐶)))
5346, 47, 52mpbir2and 933 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝑢 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ))
54 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝐵 < 𝑣)
55 suplocicc.bc . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 < 𝐶)
5655ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝐵 < 𝐶)
572ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝐵 ∈ ℝ)
58 ltmininf 11166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ (𝐵 < 𝑣𝐵 < 𝐶)))
5957, 49, 50, 58syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (𝐵 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ (𝐵 < 𝑣𝐵 < 𝐶)))
6054, 56, 59mpbir2and 933 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝐵 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ))
61 mincl 11162 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6249, 50, 61syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
63 maxltsup 11150 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ (𝑢 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∧ 𝐵 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ))))
6448, 57, 62, 63syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ (𝑢 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∧ 𝐵 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ))))
6553, 60, 64mpbir2and 933 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ))
66 breq2 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) → (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦 ↔ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )))
67 breq2 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) → (𝑧 < 𝑦𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )))
6867ralbidv 2464 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) → (∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )))
6968orbi2d 780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) → ((∃𝑧𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (∃𝑧𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ))))
7066, 69imbi12d 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) → ((sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) → (∃𝑧𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )))))
71 breq1 3980 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦))
72 breq1 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) → (𝑥 < 𝑧 ↔ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧))
7372rexbidv 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧))
7473orbi1d 781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) → ((∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (∃𝑧𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
7571, 74imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) → ((𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
7675ralbidv 2464 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
77 suplocicc.l . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
7877ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → ∀𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
79 maxcl 11142 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8048, 57, 79syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
81 maxle2 11144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ))
8248, 57, 81syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝐵 ≤ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ))
83 maxltsup 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝑢 < 𝐶𝐵 < 𝐶)))
8448, 57, 50, 83syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝑢 < 𝐶𝐵 < 𝐶)))
8547, 56, 84mpbir2and 933 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶)
8680, 50, 85ltled 8009 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
87 elicc2 9866 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∧ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
8857, 50, 87syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∧ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
8980, 82, 86, 88mpbir3and 1169 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))
9076, 78, 89rspcdva 2831 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
9157, 62, 60ltled 8009 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝐵 ≤ inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ))
92 min2inf 11164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
9349, 50, 92syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
94 elicc2 9866 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∧ inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
9557, 50, 94syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∧ inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
9662, 91, 93, 95mpbir3and 1169 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))
9770, 90, 96rspcdva 2831 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) → (∃𝑧𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ))))
9865, 97mpd 13 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (∃𝑧𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )))
9948ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧) → 𝑢 ∈ ℝ)
100 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝑢 ∈ ℝ)
1012ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
102100, 101, 79syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
103102ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧) → sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1046ad6antr 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
105 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
106104, 105sseldd 3139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
107106adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
10857ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧) → 𝐵 ∈ ℝ)
109 maxle1 11143 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑢 ≤ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ))
11099, 108, 109syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧) → 𝑢 ≤ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ))
111 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧) → sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧)
11299, 103, 107, 110, 111lelttrd 8015 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧) → 𝑢 < 𝑧)
113112ex 114 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) → (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧𝑢 < 𝑧))
114113reximdva 2566 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (∃𝑧𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 → ∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧))
115106adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )) → 𝑧 ∈ ℝ)
11662ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )) → inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
11749ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )) → 𝑣 ∈ ℝ)
118 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )) → 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ))
119 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝑣 ∈ ℝ)
1203ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
121 min1inf 11163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ≤ 𝑣)
122119, 120, 121syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ≤ 𝑣)
123122ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )) → inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ≤ 𝑣)
124115, 116, 117, 118, 123ltletrd 8313 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )) → 𝑧 < 𝑣)
125124ex 114 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) → 𝑧 < 𝑣))
126125ralimdva 2531 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (∀𝑧𝐴 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) → ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑣))
127114, 126orim12d 776 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → ((∃𝑧𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )) → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑣)))
12898, 127mpd 13 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑣))
129 simplr 520 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) → 𝑢 < 𝑣)
130 simpllr 524 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) → 𝑣 ∈ ℝ)
131 axltwlin 7958 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑢 < 𝑣 → (𝑢 < 𝐵𝐵 < 𝑣)))
13227, 130, 29, 131syl3anc 1227 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) → (𝑢 < 𝑣 → (𝑢 < 𝐵𝐵 < 𝑣)))
133129, 132mpd 13 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) → (𝑢 < 𝐵𝐵 < 𝑣))
13445, 128, 133mpjaodan 788 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑣))
1356ad5antr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
136 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
137135, 136sseldd 3139 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
1383ad5antr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
139 simp-4r 532 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑣 ∈ ℝ)
14013ad5antr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14115ad5antr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
1421ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
143142, 136sseldd 3139 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ (𝐵[,]𝐶))
144 iccleub 9859 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑧 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑧𝐶)
145140, 141, 143, 144syl3anc 1227 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐶)
146 simplr 520 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐶 < 𝑣)
147137, 138, 139, 145, 146lelttrd 8015 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 < 𝑣)
148147ralrimiva 2537 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) → ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑣)
149148olcd 724 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑣))
150 axltwlin 7958 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑢 < 𝑣 → (𝑢 < 𝐶𝐶 < 𝑣)))
151100, 119, 120, 150syl3anc 1227 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 < 𝑣 → (𝑢 < 𝐶𝐶 < 𝑣)))
152151imp 123 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) → (𝑢 < 𝐶𝐶 < 𝑣))
153134, 149, 152mpjaodan 788 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑣))
154153ex 114 . . . . . 6 (((𝜑𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 < 𝑣 → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑣)))
155154ralrimiva 2537 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ ℝ) → ∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 < 𝑣 → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑣)))
156155ralrimiva 2537 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 < 𝑣 → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑣)))
157 breq2 3981 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑦 → (𝑢 < 𝑣𝑢 < 𝑦))
158 breq2 3981 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑣𝑧 < 𝑦))
159158ralbidv 2464 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑦 → (∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑣 ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
160159orbi2d 780 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑦 → ((∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑣) ↔ (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
161157, 160imbi12d 233 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑢 < 𝑣 → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑣)) ↔ (𝑢 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
162161cbvralv 2690 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 < 𝑣 → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑣)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑢 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
163162ralbii 2470 . . . 4 (∀𝑢 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 < 𝑣 → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑢 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
164156, 163sylib 121 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑢 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
165 breq1 3980 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 < 𝑦𝑥 < 𝑦))
166 breq1 3980 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 < 𝑧𝑥 < 𝑧))
167166rexbidv 2465 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑥 → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧))
168167orbi1d 781 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑥 → ((∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
169165, 168imbi12d 233 . . . . 5 (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
170169ralbidv 2464 . . . 4 (𝑢 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑢 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
171170cbvralv 2690 . . 3 (∀𝑢 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑢 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
172164, 171sylib 121 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
173 axsuploc 7963 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
1746, 7, 24, 172, 173syl22anc 1228 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698  w3a 967   = wceq 1342  wex 1479  wcel 2135  wral 2442  wrex 2443  wss 3112  {cpr 3572   class class class wbr 3977  (class class class)co 5837  supcsup 6939  infcinf 6940  cr 7744  1c1 7746   + caddc 7748  *cxr 7924   < clt 7925  cle 7926  [,]cicc 9819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4092  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-iinf 4560  ax-cnex 7836  ax-resscn 7837  ax-1cn 7838  ax-1re 7839  ax-icn 7840  ax-addcl 7841  ax-addrcl 7842  ax-mulcl 7843  ax-mulrcl 7844  ax-addcom 7845  ax-mulcom 7846  ax-addass 7847  ax-mulass 7848  ax-distr 7849  ax-i2m1 7850  ax-0lt1 7851  ax-1rid 7852  ax-0id 7853  ax-rnegex 7854  ax-precex 7855  ax-cnre 7856  ax-pre-ltirr 7857  ax-pre-ltwlin 7858  ax-pre-lttrn 7859  ax-pre-apti 7860  ax-pre-ltadd 7861  ax-pre-mulgt0 7862  ax-pre-mulext 7863  ax-arch 7864  ax-caucvg 7865  ax-pre-suploc 7866
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-if 3517  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-iun 3863  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-tr 4076  df-id 4266  df-po 4269  df-iso 4270  df-iord 4339  df-on 4341  df-ilim 4342  df-suc 4344  df-iom 4563  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-isom 5192  df-riota 5793  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-1st 6101  df-2nd 6102  df-recs 6265  df-frec 6351  df-sup 6941  df-inf 6942  df-pnf 7927  df-mnf 7928  df-xr 7929  df-ltxr 7930  df-le 7931  df-sub 8063  df-neg 8064  df-reap 8465  df-ap 8472  df-div 8561  df-inn 8850  df-2 8908  df-3 8909  df-4 8910  df-n0 9107  df-z 9184  df-uz 9459  df-rp 9582  df-icc 9823  df-seqfrec 10372  df-exp 10446  df-cj 10774  df-re 10775  df-im 10776  df-rsqrt 10930  df-abs 10931
This theorem is referenced by:  suplociccex  13170
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