Theorem suplociccreex 14373

Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals in a closed interval has a supremum. A similar theorem is axsuploc 8043 but that one is for the entire real line rather than a closed interval. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
suplocicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
suplocicc.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
suplocicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
suplocicc.m	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
suplocicc.l	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
suplociccreex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem suplociccreex

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocicc.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
2		suplocicc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		suplocicc.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		iccssre 9968	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
6	1, 5	sstrd 3177	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		suplocicc.m	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
8		peano2re 8106	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + 1) ∈ ℝ)
9	3, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 1) ∈ ℝ)
10	6	sselda 3167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
11	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
12	9	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐶 + 1) ∈ ℝ)
13	2	rexrd 8020	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
14	13	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	3	rexrd 8020	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
16	15	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
17	1	sselda 3167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶))
18		iccleub 9944	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑦 ≤ 𝐶)
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1248	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≤ 𝐶)
20	11	ltp1d 8900	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐶 < (𝐶 + 1))
21	10, 11, 12, 19, 20	lelttrd 8095	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 < (𝐶 + 1))
22	21	ralrimiva 2560	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝐶 + 1))
23		brralrspcev 4073	. . 3 ⊢ (((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝐶 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)
24	9, 22, 23	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)
25	7	ad5antr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
26		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
27		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) → 𝑢 ∈ ℝ)
28	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ ℝ)
29	2	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	29	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	6	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
32	31, 26	sseldd 3168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
33		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑢 < 𝐵)
34	13	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
35	15	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
36	1	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
37	36, 26	sseldd 3168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
38		iccgelb 9945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝑥)
39	34, 35, 37, 38	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑥)
40	28, 30, 32, 33, 39	ltletrd 8393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑢 < 𝑥)
41		breq2 4019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑢 < 𝑧 ↔ 𝑢 < 𝑥))
42	41	rspcev 2853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧)
43	26, 40, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧)
44	43	orcd 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑣))
45	25, 44	exlimddv 1908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝑢 < 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑣))
46		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝑢 < 𝑣)
47		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝑢 < 𝐶)
48		simp-5r 544	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝑢 ∈ ℝ)
49		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝑣 ∈ ℝ)
50	3	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝐶 ∈ ℝ)
51		ltmininf 11256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑢 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ (𝑢 < 𝑣 ∧ 𝑢 < 𝐶)))
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (𝑢 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ (𝑢 < 𝑣 ∧ 𝑢 < 𝐶)))
53	46, 47, 52	mpbir2and 945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝑢 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ))
54		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝐵 < 𝑣)
55		suplocicc.bc	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
56	55	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝐵 < 𝐶)
57	2	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝐵 ∈ ℝ)
58		ltmininf 11256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ (𝐵 < 𝑣 ∧ 𝐵 < 𝐶)))
59	57, 49, 50, 58	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (𝐵 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ (𝐵 < 𝑣 ∧ 𝐵 < 𝐶)))
60	54, 56, 59	mpbir2and 945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝐵 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ))
61		mincl 11252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
62	49, 50, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
63		maxltsup 11240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ (𝑢 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∧ 𝐵 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ))))
64	48, 57, 62, 63	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ↔ (𝑢 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∧ 𝐵 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ))))
65	53, 60, 64	mpbir2and 945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ))
66		breq2 4019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) → (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦 ↔ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )))
67		breq2 4019	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )))
68	67	ralbidv 2487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )))
69	68	orbi2d 791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) → ((∃𝑧 ∈ 𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ))))
70	66, 69	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) → ((sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )))))
71		breq1 4018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦))
72		breq1 4018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) → (𝑥 < 𝑧 ↔ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧))
73	72	rexbidv 2488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧))
74	73	orbi1d 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) → ((∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
75	71, 74	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) → ((𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
76	75	ralbidv 2487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
77		suplocicc.l	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
78	77	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → ∀𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
79		maxcl 11232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
80	48, 57, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
81		maxle2 11234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ))
82	48, 57, 81	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝐵 ≤ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ))
83		maxltsup 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝑢 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))
84	48, 57, 50, 83	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝑢 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))
85	47, 56, 84	mpbir2and 945	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶)
86	80, 50, 85	ltled 8089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
87		elicc2 9951	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∧ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
88	57, 50, 87	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∧ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
89	80, 82, 86, 88	mpbir3and 1181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))
90	76, 78, 89	rspcdva 2858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
91	57, 62, 60	ltled 8089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → 𝐵 ≤ inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ))
92		min2inf 11254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
93	49, 50, 92	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
94		elicc2 9951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∧ inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
95	57, 50, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∧ inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
96	62, 91, 93, 95	mpbir3and 1181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))
97	70, 90, 96	rspcdva 2858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ))))
98	65, 97	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )))
99	48	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧) → 𝑢 ∈ ℝ)
100		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝑢 ∈ ℝ)
101	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
102	100, 101, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
103	102	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧) → sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
104	6	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
105		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
106	104, 105	sseldd 3168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
107	106	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
108	57	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧) → 𝐵 ∈ ℝ)
109		maxle1 11233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑢 ≤ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ))
110	99, 108, 109	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧) → 𝑢 ≤ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ))
111		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧) → sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧)
112	99, 103, 107, 110, 111	lelttrd 8095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧) → 𝑢 < 𝑧)
113	112	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 → 𝑢 < 𝑧))
114	113	reximdva 2589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧))
115	106	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )) → 𝑧 ∈ ℝ)
116	62	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )) → inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
117	49	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )) → 𝑣 ∈ ℝ)
118		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )) → 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ))
119		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝑣 ∈ ℝ)
120	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
121		min1inf 11253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ≤ 𝑣)
122	119, 120, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ≤ 𝑣)
123	122	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )) → inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) ≤ 𝑣)
124	115, 116, 117, 118, 123	ltletrd 8393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )) → 𝑧 < 𝑣)
125	124	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) → 𝑧 < 𝑣))
126	125	ralimdva 2554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < ) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑣))
127	114, 126	orim12d 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → ((∃𝑧 ∈ 𝐴 sup({𝑢, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < inf({𝑣, 𝐶}, ℝ, < )) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑣)))
128	98, 127	mpd 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝑣) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑣))
129		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) → 𝑢 < 𝑣)
130		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) → 𝑣 ∈ ℝ)
131		axltwlin 8038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑢 < 𝑣 → (𝑢 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝑣)))
132	27, 130, 29, 131	syl3anc 1248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) → (𝑢 < 𝑣 → (𝑢 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝑣)))
133	129, 132	mpd 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) → (𝑢 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝑣))
134	45, 128, 133	mpjaodan 799	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝑢 < 𝐶) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑣))
135	6	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
136		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
137	135, 136	sseldd 3168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
138	3	ad5antr 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
139		simp-4r 542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ ℝ)
140	13	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
141	15	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
142	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
143	142, 136	sseldd 3168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝐵[,]𝐶))
144		iccleub 9944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑧 ≤ 𝐶)
145	140, 141, 143, 144	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐶)
146		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 < 𝑣)
147	137, 138, 139, 145, 146	lelttrd 8095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 < 𝑣)
148	147	ralrimiva 2560	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑣)
149	148	olcd 735	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) ∧ 𝐶 < 𝑣) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑣))
150		axltwlin 8038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑢 < 𝑣 → (𝑢 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝑣)))
151	100, 119, 120, 150	syl3anc 1248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 < 𝑣 → (𝑢 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝑣)))
152	151	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) → (𝑢 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝑣))
153	134, 149, 152	mpjaodan 799	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑢 < 𝑣) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑣))
154	153	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 < 𝑣 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑣)))
155	154	ralrimiva 2560	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → ∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 < 𝑣 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑣)))
156	155	ralrimiva 2560	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 < 𝑣 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑣)))
157		breq2 4019	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑢 < 𝑣 ↔ 𝑢 < 𝑦))
158		breq2 4019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑣 ↔ 𝑧 < 𝑦))
159	158	ralbidv 2487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑣 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
160	159	orbi2d 791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑣) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
161	157, 160	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝑢 < 𝑣 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑣)) ↔ (𝑢 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
162	161	cbvralv 2715	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 < 𝑣 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑣)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑢 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
163	162	ralbii 2493	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ ℝ (𝑢 < 𝑣 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑢 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
164	156, 163	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑢 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
165		breq1 4018	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑦))
166		breq1 4018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 < 𝑧 ↔ 𝑥 < 𝑧))
167	166	rexbidv 2488	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))
168	167	orbi1d 792	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
169	165, 168	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
170	169	ralbidv 2487	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑢 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
171	170	cbvralv 2715	. . 3 ⊢ (∀𝑢 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑢 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑢 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
172	164, 171	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
173		axsuploc 8043	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
174	6, 7, 24, 172, 173	syl22anc 1249	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 979   = wceq 1363  ∃wex 1502   ∈ wcel 2158  ∀wral 2465  ∃wrex 2466   ⊆ wss 3141  {cpr 3605   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  supcsup 6994  infcinf 6995  ℝcr 7823  1c1 7825   + caddc 7827  ℝ^*cxr 8004   < clt 8005   ≤ cle 8006  [,]cicc 9904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944  ax-pre-suploc 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-sup 6996  df-inf 6997  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-rp 9667  df-icc 9908  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021

This theorem is referenced by:  suplociccex  14374