ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulqaddmodid GIF version

Theorem mulqaddmodid 10384
Description: The sum of a positive rational number less than an upper bound and the product of an integer and the upper bound is the positive rational number modulo the upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulqaddmodid (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = ๐ด)

Proof of Theorem mulqaddmodid
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
21zcnd 9396 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3 qre 9645 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
43ad2antlr 489 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
54recnd 8006 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
62, 5mulcld 7998 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
7 simprr 531 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))
8 0red 7978 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
94rexrd 8027 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„*)
10 elico2 9957 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)))
118, 9, 10syl2anc 411 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ (๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)))
127, 11mpbid 147 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€))
1312simp1d 1011 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1413recnd 8006 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
156, 14addcomd 8128 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘€) + ๐ด) = (๐ด + (๐‘ ยท ๐‘€)))
1615oveq1d 5907 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = ((๐ด + (๐‘ ยท ๐‘€)) mod ๐‘€))
17 simprl 529 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
18 simplr 528 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„š)
1912simp2d 1012 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
2012simp3d 1013 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐ด < ๐‘€)
218, 13, 4, 19, 20lelttrd 8102 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ 0 < ๐‘€)
22 modqcyc 10379 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐‘€)) mod ๐‘€) = (๐ด mod ๐‘€))
2317, 1, 18, 21, 22syl22anc 1250 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐‘€)) mod ๐‘€) = (๐ด mod ๐‘€))
24 modqid 10369 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = ๐ด)
2517, 18, 19, 20, 24syl22anc 1250 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = ๐ด)
2616, 23, 253eqtrd 2226 1 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = ๐ด)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 980   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892  โ„cr 7830  0cc0 7831   + caddc 7834   ยท cmul 7836  โ„*cxr 8011   < clt 8012   โ‰ค cle 8013  โ„คcz 9273  โ„šcq 9639  [,)cico 9910   mod cmo 10342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-mulrcl 7930  ax-addcom 7931  ax-mulcom 7932  ax-addass 7933  ax-mulass 7934  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-1rid 7938  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-precex 7941  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-apti 7946  ax-pre-ltadd 7947  ax-pre-mulgt0 7948  ax-pre-mulext 7949  ax-arch 7950
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-reap 8552  df-ap 8559  df-div 8650  df-inn 8940  df-n0 9197  df-z 9274  df-q 9640  df-rp 9674  df-ico 9914  df-fl 10290  df-mod 10343
This theorem is referenced by:  modqmuladd  10386  addmodid  10392
  Copyright terms: Public domain W3C validator