ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulqaddmodid GIF version

Theorem mulqaddmodid 10377
Description: The sum of a positive rational number less than an upper bound and the product of an integer and the upper bound is the positive rational number modulo the upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulqaddmodid (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = ๐ด)

Proof of Theorem mulqaddmodid
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
21zcnd 9389 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3 qre 9638 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
43ad2antlr 489 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
54recnd 7999 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
62, 5mulcld 7991 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
7 simprr 531 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))
8 0red 7971 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
94rexrd 8020 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„*)
10 elico2 9950 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)))
118, 9, 10syl2anc 411 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ (๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)))
127, 11mpbid 147 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€))
1312simp1d 1010 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1413recnd 7999 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
156, 14addcomd 8121 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘€) + ๐ด) = (๐ด + (๐‘ ยท ๐‘€)))
1615oveq1d 5903 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = ((๐ด + (๐‘ ยท ๐‘€)) mod ๐‘€))
17 simprl 529 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
18 simplr 528 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„š)
1912simp2d 1011 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
2012simp3d 1012 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ๐ด < ๐‘€)
218, 13, 4, 19, 20lelttrd 8095 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ 0 < ๐‘€)
22 modqcyc 10372 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐‘€)) mod ๐‘€) = (๐ด mod ๐‘€))
2317, 1, 18, 21, 22syl22anc 1249 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐‘€)) mod ๐‘€) = (๐ด mod ๐‘€))
24 modqid 10362 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = ๐ด)
2517, 18, 19, 20, 24syl22anc 1249 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = ๐ด)
2616, 23, 253eqtrd 2224 1 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = ๐ด)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„cr 7823  0cc0 7824   + caddc 7827   ยท cmul 7829  โ„*cxr 8004   < clt 8005   โ‰ค cle 8006  โ„คcz 9266  โ„šcq 9632  [,)cico 9903   mod cmo 10335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-q 9633  df-rp 9667  df-ico 9907  df-fl 10283  df-mod 10336
This theorem is referenced by:  modqmuladd  10379  addmodid  10385
  Copyright terms: Public domain W3C validator