Theorem pcxcl 12239

Description: Extended real closure of the general prime count function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcxcl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem pcxcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pc0 12232	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
2		pnfxr 7947	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	1, 2	eqeltrdi 2256	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*)
4	3	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*)
5		oveq2 5849	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt 0))
6	5	eleq1d 2234	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ* ↔ (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*))
7	4, 6	syl5ibrcom 156	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑁 = 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*))
8		df-ne 2336	. . 3 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
9		pcqcl 12234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
10	9	zred 9309	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 7944	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*)
12	11	expr 373	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*))
13	8, 12	syl5bir 152	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (¬ 𝑁 = 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*))
14		simpr 109	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℚ)
15		0z 9198	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
16		zq 9560	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℚ
18		qdceq 10178	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → DECID 𝑁 = 0)
19		exmiddc 826	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
20	18, 19	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
21	14, 17, 20	sylancl 410	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
22	7, 13, 21	mpjaod 708	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2335  (class class class)co 5841  0cc0 7749  +∞cpnf 7926  ℝ^*cxr 7928  ℤcz 9187  ℚcq 9553  ℙcprime 12035   pCnt cpc 12212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-1o 6380  df-2o 6381  df-er 6497  df-en 6703  df-sup 6945  df-inf 6946  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-q 9554  df-rp 9586  df-fz 9941  df-fzo 10074  df-fl 10201  df-mod 10254  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937  df-dvds 11724  df-gcd 11872  df-prm 12036  df-pc 12213

This theorem is referenced by:  pcdvdstr  12254  pcgcd1  12255  pc2dvds  12257  pc11  12258  pcadd  12267