Theorem pcxcl 12576

Description: Extended real closure of the general prime count function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcxcl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem pcxcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pc0 12569	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
2		pnfxr 8124	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	1, 2	eqeltrdi 2295	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*)
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*)
5		oveq2 5951	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt 0))
6	5	eleq1d 2273	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ* ↔ (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*))
7	4, 6	syl5ibrcom 157	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑁 = 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*))
8		df-ne 2376	. . 3 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
9		pcqcl 12571	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
10	9	zred 9494	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 8121	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*)
12	11	expr 375	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*))
13	8, 12	biimtrrid 153	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (¬ 𝑁 = 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*))
14		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℚ)
15		0z 9382	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
16		zq 9746	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℚ
18		qdceq 10385	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → DECID 𝑁 = 0)
19		exmiddc 837	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
20	18, 19	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
21	14, 17, 20	sylancl 413	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
22	7, 13, 21	mpjaod 719	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375  (class class class)co 5943  0cc0 7924  +∞cpnf 8103  ℝ^*cxr 8105  ℤcz 9371  ℚcq 9739  ℙcprime 12371   pCnt cpc 12549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-1o 6501  df-2o 6502  df-er 6619  df-en 6827  df-sup 7085  df-inf 7086  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-fl 10411  df-mod 10466  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-dvds 12041  df-gcd 12217  df-prm 12372  df-pc 12550

This theorem is referenced by:  pcdvdstr  12592  pcgcd1  12593  pc2dvds  12595  pc11  12596  pcadd  12605  pcadd2  12606