Theorem pcxcl 12883

Description: Extended real closure of the general prime count function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcxcl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem pcxcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pc0 12876	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
2		pnfxr 8231	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	1, 2	eqeltrdi 2322	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*)
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*)
5		oveq2 6025	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt 0))
6	5	eleq1d 2300	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ* ↔ (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*))
7	4, 6	syl5ibrcom 157	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑁 = 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*))
8		df-ne 2403	. . 3 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
9		pcqcl 12878	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
10	9	zred 9601	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 8228	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*)
12	11	expr 375	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*))
13	8, 12	biimtrrid 153	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (¬ 𝑁 = 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*))
14		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℚ)
15		0z 9489	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
16		zq 9859	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℚ
18		qdceq 10503	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → DECID 𝑁 = 0)
19		exmiddc 843	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
20	18, 19	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
21	14, 17, 20	sylancl 413	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
22	7, 13, 21	mpjaod 725	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  (class class class)co 6017  0cc0 8031  +∞cpnf 8210  ℝ^*cxr 8212  ℤcz 9478  ℚcq 9852  ℙcprime 12678   pCnt cpc 12856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-en 6909  df-sup 7182  df-inf 7183  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-fl 10529  df-mod 10584  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-dvds 12348  df-gcd 12524  df-prm 12679  df-pc 12857

This theorem is referenced by:  pcdvdstr  12899  pcgcd1  12900  pc2dvds  12902  pc11  12903  pcadd  12912  pcadd2  12913