Theorem addmodid 10403

Description: The sum of a positive integer and a nonnegative integer less than the positive integer is equal to the nonnegative integer modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addmodid	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Proof of Theorem addmodid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 8963	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
3	2	mulid2d 8006	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (1 · 𝑀) = 𝑀)
4	3	eqcomd 2195	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 = (1 · 𝑀))
5	4	oveq1d 5911	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (𝑀 + 𝐴) = ((1 · 𝑀) + 𝐴))
6	5	oveq1d 5911	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
7		1zzd 9310	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
8		nnq 9663	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
9	8	3ad2ant2 1021	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℚ)
10		simp1 999	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 9403	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℤ)
12		zq 9656	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℚ)
14		nn0re 9215	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant1 1020	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	10	nn0ge0d 9262	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 0 ≤ 𝐴)
17		simp3 1001	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 < 𝑀)
18		0re 7987	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		nnre 8956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
20	19	rexrd 8037	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ*)
21	20	3ad2ant2 1021	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ*)
22		elico2 9967	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)))
23	18, 21, 22	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)))
24	15, 16, 17, 23	mpbir3and 1182	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ (0[,)𝑀))
25		mulqaddmodid 10395	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ (0[,)𝑀))) → (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
26	7, 9, 13, 24, 25	syl22anc 1250	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
27	6, 26	eqtrd 2222	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5896  ℝcr 7840  0cc0 7841  1c1 7842   + caddc 7844   · cmul 7846  ℝ^*cxr 8021   < clt 8022   ≤ cle 8023  ℕcn 8949  ℕ₀cn0 9206  ℤcz 9283  ℚcq 9649  [,)cico 9920   mod cmo 10353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284  df-q 9650  df-rp 9684  df-ico 9924  df-fl 10301  df-mod 10354

This theorem is referenced by:  addmodidr  10404