Theorem addmodid 10763

Description: The sum of a positive integer and a nonnegative integer less than the positive integer is equal to the nonnegative integer modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addmodid	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Proof of Theorem addmodid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 9273	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
3	2	mullidd 8310	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (1 · 𝑀) = 𝑀)
4	3	eqcomd 2240	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 = (1 · 𝑀))
5	4	oveq1d 6075	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (𝑀 + 𝐴) = ((1 · 𝑀) + 𝐴))
6	5	oveq1d 6075	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
7		1zzd 9626	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
8		nnq 9988	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
9	8	3ad2ant2 1046	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℚ)
10		simp1 1024	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 9721	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℤ)
12		zq 9981	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℚ)
14		nn0re 9527	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant1 1045	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	10	nn0ge0d 9578	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 0 ≤ 𝐴)
17		simp3 1026	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 < 𝑀)
18		0re 8292	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		nnre 9266	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
20	19	rexrd 8341	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ*)
21	20	3ad2ant2 1046	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ*)
22		elico2 10294	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)))
23	18, 21, 22	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)))
24	15, 16, 17, 23	mpbir3and 1207	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ (0[,)𝑀))
25		mulqaddmodid 10755	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ (0[,)𝑀))) → (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
26	7, 9, 13, 24, 25	syl22anc 1275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
27	6, 26	eqtrd 2267	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4115  (class class class)co 6060  ℝcr 8144  0cc0 8145  1c1 8146   + caddc 8148   · cmul 8150  ℝ^*cxr 8325   < clt 8326   ≤ cle 8327  ℕcn 9259  ℕ₀cn0 9518  ℤcz 9599  ℚcq 9974  [,)cico 10247   mod cmo 10713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-pre-mulext 8263  ax-arch 8264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-ap 8876  df-div 8969  df-inn 9260  df-n0 9519  df-z 9600  df-q 9975  df-rp 10010  df-ico 10251  df-fl 10659  df-mod 10714

This theorem is referenced by:  addmodidr  10764