ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addmodid GIF version

Theorem addmodid 9707
Description: The sum of a positive integer and a nonnegative integer less than the positive integer is equal to the nonnegative integer modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
addmodid ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Proof of Theorem addmodid
StepHypRef Expression
1 simp2 942 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
21nncnd 8371 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
32mulid2d 7450 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (1 · 𝑀) = 𝑀)
43eqcomd 2090 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 = (1 · 𝑀))
54oveq1d 5628 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (𝑀 + 𝐴) = ((1 · 𝑀) + 𝐴))
65oveq1d 5628 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
7 1zzd 8710 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
8 nnq 9050 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
983ad2ant2 963 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℚ)
10 simp1 941 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℕ0)
1110nn0zd 8799 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℤ)
12 zq 9043 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
1311, 12syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℚ)
14 nn0re 8615 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
15143ad2ant1 962 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
1610nn0ge0d 8662 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 0 ≤ 𝐴)
17 simp3 943 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 < 𝑀)
18 0re 7432 . . . . 5 0 ∈ ℝ
19 nnre 8364 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
2019rexrd 7481 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ*)
21203ad2ant2 963 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ*)
22 elico2 9287 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)))
2318, 21, 22sylancr 405 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)))
2415, 16, 17, 23mpbir3and 1124 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ (0[,)𝑀))
25 mulqaddmodid 9699 . . 3 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ (0[,)𝑀))) → (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
267, 9, 13, 24, 25syl22anc 1173 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
276, 26eqtrd 2117 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 103  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3820  (class class class)co 5613  cr 7293  0cc0 7294  1c1 7295   + caddc 7297   · cmul 7299  *cxr 7465   < clt 7466  cle 7467  cn 8357  0cn0 8606  cz 8683  cq 9036  [,)cico 9240   mod cmo 9657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407  ax-arch 7408
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-n0 8607  df-z 8684  df-q 9037  df-rp 9067  df-ico 9244  df-fl 9605  df-mod 9658
This theorem is referenced by:  addmodidr  9708
  Copyright terms: Public domain W3C validator