Theorem addmodid 10554

Description: The sum of a positive integer and a nonnegative integer less than the positive integer is equal to the nonnegative integer modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addmodid	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Proof of Theorem addmodid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 9085	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
3	2	mulid2d 8126	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (1 · 𝑀) = 𝑀)
4	3	eqcomd 2213	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 = (1 · 𝑀))
5	4	oveq1d 5982	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (𝑀 + 𝐴) = ((1 · 𝑀) + 𝐴))
6	5	oveq1d 5982	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
7		1zzd 9434	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
8		nnq 9789	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
9	8	3ad2ant2 1022	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℚ)
10		simp1 1000	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 9528	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℤ)
12		zq 9782	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℚ)
14		nn0re 9339	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant1 1021	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	10	nn0ge0d 9386	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 0 ≤ 𝐴)
17		simp3 1002	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 < 𝑀)
18		0re 8107	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		nnre 9078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
20	19	rexrd 8157	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ*)
21	20	3ad2ant2 1022	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ*)
22		elico2 10094	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)))
23	18, 21, 22	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)))
24	15, 16, 17, 23	mpbir3and 1183	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ (0[,)𝑀))
25		mulqaddmodid 10546	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ (0[,)𝑀))) → (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
26	7, 9, 13, 24, 25	syl22anc 1251	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
27	6, 26	eqtrd 2240	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967  ℝcr 7959  0cc0 7960  1c1 7961   + caddc 7963   · cmul 7965  ℝ^*cxr 8141   < clt 8142   ≤ cle 8143  ℕcn 9071  ℕ₀cn0 9330  ℤcz 9407  ℚcq 9775  [,)cico 10047   mod cmo 10504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-q 9776  df-rp 9811  df-ico 10051  df-fl 10450  df-mod 10505

This theorem is referenced by:  addmodidr  10555