Theorem addmodid 9986

Description: The sum of a positive integer and a nonnegative integer less than the positive integer is equal to the nonnegative integer modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addmodid	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Proof of Theorem addmodid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 8592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
3	2	mulid2d 7656	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (1 · 𝑀) = 𝑀)
4	3	eqcomd 2105	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 = (1 · 𝑀))
5	4	oveq1d 5721	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (𝑀 + 𝐴) = ((1 · 𝑀) + 𝐴))
6	5	oveq1d 5721	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
7		1zzd 8933	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
8		nnq 9275	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
9	8	3ad2ant2 971	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℚ)
10		simp1 949	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 9023	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℤ)
12		zq 9268	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℚ)
14		nn0re 8838	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant1 970	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	10	nn0ge0d 8885	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 0 ≤ 𝐴)
17		simp3 951	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 < 𝑀)
18		0re 7638	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		nnre 8585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
20	19	rexrd 7687	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ*)
21	20	3ad2ant2 971	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ*)
22		elico2 9561	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)))
23	18, 21, 22	sylancr 408	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)))
24	15, 16, 17, 23	mpbir3and 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ (0[,)𝑀))
25		mulqaddmodid 9978	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ (0[,)𝑀))) → (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
26	7, 9, 13, 24, 25	syl22anc 1185	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
27	6, 26	eqtrd 2132	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∧ w3a 930   = wceq 1299   ∈ wcel 1448   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706  ℝcr 7499  0cc0 7500  1c1 7501   + caddc 7503   · cmul 7505  ℝ^*cxr 7671   < clt 7672   ≤ cle 7673  ℕcn 8578  ℕ₀cn0 8829  ℤcz 8906  ℚcq 9261  [,)cico 9514   mod cmo 9936

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-q 9262  df-rp 9292  df-ico 9518  df-fl 9884  df-mod 9937

This theorem is referenced by:  addmodidr  9987