ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blss2ps GIF version

Theorem blss2ps 12502
Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
blss2ps (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))

Proof of Theorem blss2ps
StepHypRef Expression
1 simpl1 969 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2 simpl2 970 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝑃𝑋)
3 simpl3 971 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝑄𝑋)
4 simpr1 972 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝑅 ∈ ℝ)
54rexrd 7783 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6 simpr2 973 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ)
76rexrd 7783 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ*)
86, 4resubcld 8111 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑆𝑅) ∈ ℝ)
9 simpr3 974 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))
10 psmetlecl 12430 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ ((𝑆𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
111, 2, 3, 8, 9, 10syl122anc 1210 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
12 rexsub 9604 . . . 4 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = (𝑆𝑅))
136, 4, 12syl2anc 408 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = (𝑆𝑅))
149, 13breqtrrd 3926 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
151, 2, 3, 5, 7, 11, 14xblss2ps 12500 1 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆𝑅))) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465  wss 3041   class class class wbr 3899  cfv 5093  (class class class)co 5742  cr 7587  cle 7769  cmin 7901  -𝑒cxne 9524   +𝑒 cxad 9525  PsMetcpsmet 12075  ballcbl 12078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 801  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-map 6512  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-2 8747  df-xneg 9527  df-xadd 9528  df-psmet 12083  df-bl 12086
This theorem is referenced by:  blssps  12523
  Copyright terms: Public domain W3C validator