Theorem iooshf 9424

Description: Shift the arguments of the open interval function. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iooshf	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ 𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵))))

Proof of Theorem iooshf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddsub 7968	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 − 𝐵)))
2	1	3com13 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 − 𝐵)))
3	2	3expa 1144	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 − 𝐵)))
4	3	adantrr 464	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 − 𝐵)))
5		ltsubadd 7964	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) < 𝐷 ↔ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵)))
6	5	bicomd 140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐷 + 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷))
7	6	3expa 1144	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐷 + 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷))
8	7	adantrl 463	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 < (𝐷 + 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷))
9	4, 8	anbi12d 458	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵)) ↔ (𝐶 < (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷)))
10		readdcl 7522	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 7591	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ*)
12	11	ad2ant2rl 496	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ*)
13		readdcl 7522	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ)
14	13	rexrd 7591	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ*)
15	14	ad2ant2l 493	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ*)
16		rexr 7587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
17	16	ad2antrl 475	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
18		elioo5 9405	. . . 4 ⊢ (((𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵)) ↔ ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵))))
19	12, 15, 17, 18	syl3anc 1175	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵)) ↔ ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵))))
20	19	ancoms 265	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵)) ↔ ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵))))
21		rexr 7587	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
22	21	ad2antrl 475	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
23		rexr 7587	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℝ*)
24	23	ad2antll 476	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
25		resubcl 7800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
26	25	rexrd 7591	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
27	26	adantr 271	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
28		elioo5 9405	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ (𝐶 < (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷)))
29	22, 24, 27, 28	syl3anc 1175	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ (𝐶 < (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷)))
30	9, 20, 29	3bitr4rd 220	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ 𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 925   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  ℝcr 7403   + caddc 7407  ℝ^*cxr 7575   < clt 7576   − cmin 7707  (,)cioo 9360

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510  ax-pre-ltadd 7515

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-sub 7709  df-neg 7710  df-ioo 9364

This theorem is referenced by: (None)