ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iooshf GIF version

Theorem iooshf 9742
Description: Shift the arguments of the open interval function. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
iooshf (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ 𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵))))

Proof of Theorem iooshf
StepHypRef Expression
1 ltaddsub 8205 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴𝐶 < (𝐴𝐵)))
213com13 1186 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴𝐶 < (𝐴𝐵)))
323expa 1181 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴𝐶 < (𝐴𝐵)))
43adantrr 470 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴𝐶 < (𝐴𝐵)))
5 ltsubadd 8201 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵) < 𝐷𝐴 < (𝐷 + 𝐵)))
65bicomd 140 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐷 + 𝐵) ↔ (𝐴𝐵) < 𝐷))
763expa 1181 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐷 + 𝐵) ↔ (𝐴𝐵) < 𝐷))
87adantrl 469 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 < (𝐷 + 𝐵) ↔ (𝐴𝐵) < 𝐷))
94, 8anbi12d 464 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐶 + 𝐵) < 𝐴𝐴 < (𝐷 + 𝐵)) ↔ (𝐶 < (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) < 𝐷)))
10 readdcl 7753 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
1110rexrd 7822 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ*)
1211ad2ant2rl 502 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ*)
13 readdcl 7753 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ)
1413rexrd 7822 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ*)
1514ad2ant2l 499 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ*)
16 rexr 7818 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
1716ad2antrl 481 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
18 elioo5 9723 . . . 4 (((𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵)) ↔ ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴𝐴 < (𝐷 + 𝐵))))
1912, 15, 17, 18syl3anc 1216 . . 3 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵)) ↔ ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴𝐴 < (𝐷 + 𝐵))))
2019ancoms 266 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵)) ↔ ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴𝐴 < (𝐷 + 𝐵))))
21 rexr 7818 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
2221ad2antrl 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
23 rexr 7818 . . . 4 (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℝ*)
2423ad2antll 482 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
25 resubcl 8033 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
2625rexrd 7822 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ*)
2726adantr 274 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ*)
28 elioo5 9723 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ (𝐶 < (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) < 𝐷)))
2922, 24, 27, 28syl3anc 1216 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ (𝐶 < (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) < 𝐷)))
309, 20, 293bitr4rd 220 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ 𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962  wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cr 7626   + caddc 7630  *cxr 7806   < clt 7807  cmin 7940  (,)cioo 9678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-sub 7942  df-neg 7943  df-ioo 9682
This theorem is referenced by:  sinq34lt0t  12922
  Copyright terms: Public domain W3C validator