Theorem iooshf 9765

Description: Shift the arguments of the open interval function. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iooshf	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ 𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵))))

Proof of Theorem iooshf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddsub 8222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 − 𝐵)))
2	1	3com13 1187	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 − 𝐵)))
3	2	3expa 1182	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 − 𝐵)))
4	3	adantrr 471	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 − 𝐵)))
5		ltsubadd 8218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) < 𝐷 ↔ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵)))
6	5	bicomd 140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐷 + 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷))
7	6	3expa 1182	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐷 + 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷))
8	7	adantrl 470	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 < (𝐷 + 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷))
9	4, 8	anbi12d 465	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵)) ↔ (𝐶 < (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷)))
10		readdcl 7770	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 7839	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ*)
12	11	ad2ant2rl 503	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ*)
13		readdcl 7770	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ)
14	13	rexrd 7839	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ*)
15	14	ad2ant2l 500	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ*)
16		rexr 7835	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
17	16	ad2antrl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
18		elioo5 9746	. . . 4 ⊢ (((𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐷 + 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵)) ↔ ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵))))
19	12, 15, 17, 18	syl3anc 1217	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵)) ↔ ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵))))
20	19	ancoms 266	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵)) ↔ ((𝐶 + 𝐵) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐷 + 𝐵))))
21		rexr 7835	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
22	21	ad2antrl 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
23		rexr 7835	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℝ*)
24	23	ad2antll 483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
25		resubcl 8050	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
26	25	rexrd 7839	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
27	26	adantr 274	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
28		elioo5 9746	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ (𝐶 < (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷)))
29	22, 24, 27, 28	syl3anc 1217	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ (𝐶 < (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐷)))
30	9, 20, 29	3bitr4rd 220	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ 𝐴 ∈ ((𝐶 + 𝐵)(,)(𝐷 + 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  ℝcr 7643   + caddc 7647  ℝ^*cxr 7823   < clt 7824   − cmin 7957  (,)cioo 9701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-sub 7959  df-neg 7960  df-ioo 9705

This theorem is referenced by:  sinq34lt0t  12960