Theorem icoshftf1o 9960

Description: Shifting a closed-below, open-above interval is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
icoshftf1o.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↦ (𝑥 + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
icoshftf1o	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐹:(𝐴[,)𝐵)–1-1-onto→((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem icoshftf1o

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icoshft 9959	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑥 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
2	1	ralrimiv 2547	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)(𝑥 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)))
3		readdcl 7912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
4	3	3adant2 1016	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
5		readdcl 7912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
6	5	3adant1 1015	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
7		renegcl 8192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
8	7	3ad2ant3 1020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐶 ∈ ℝ)
9		icoshft 9959	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) → (𝑦 + -𝐶) ∈ (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶))))
10	4, 6, 8, 9	syl3anc 1238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) → (𝑦 + -𝐶) ∈ (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶))))
11	10	imp 124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (𝑦 + -𝐶) ∈ (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶)))
12	6	rexrd 7981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
13		icossre 9923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ)
14	4, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ)
15	14	sselda 3153	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℝ)
16	15	recnd 7960	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℂ)
17		simpl3 1002	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
18	17	recnd 7960	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	16, 18	negsubd 8248	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (𝑦 + -𝐶) = (𝑦 − 𝐶))
20	4	recnd 7960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
21		simp3 999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
22	21	recnd 7960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	20, 22	negsubd 8248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) = ((𝐴 + 𝐶) − 𝐶))
24		simp1 997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	24	recnd 7960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25, 22	pncand 8243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) − 𝐶) = 𝐴)
27	23, 26	eqtrd 2208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) = 𝐴)
28	6	recnd 7960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
29	28, 22	negsubd 8248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) = ((𝐵 + 𝐶) − 𝐶))
30		simp2 998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	30	recnd 7960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
32	31, 22	pncand 8243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐶) = 𝐵)
33	29, 32	eqtrd 2208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) = 𝐵)
34	27, 33	oveq12d 5883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶)) = (𝐴[,)𝐵))
35	34	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶)) = (𝐴[,)𝐵))
36	11, 19, 35	3eltr3d 2258	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) ∈ (𝐴[,)𝐵))
37		reueq 2934	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 − 𝐶) ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑥 = (𝑦 − 𝐶))
38	36, 37	sylib 122	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑥 = (𝑦 − 𝐶))
39	15	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
40	39	recnd 7960	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℂ)
41		simpll3 1038	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
42	41	recnd 7960	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
43		simpl1 1000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐴 ∈ ℝ)
44		simpl2 1001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ)
45	44	rexrd 7981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
46		icossre 9923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
47	43, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
48	47	sselda 3153	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
49	48	recnd 7960	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
50	40, 42, 49	subadd2d 8261	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑦 − 𝐶) = 𝑥 ↔ (𝑥 + 𝐶) = 𝑦))
51		eqcom 2177	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝐶) ↔ (𝑦 − 𝐶) = 𝑥)
52		eqcom 2177	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑥 + 𝐶) ↔ (𝑥 + 𝐶) = 𝑦)
53	50, 51, 52	3bitr4g 223	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 − 𝐶) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 𝐶)))
54	53	reubidva 2657	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑥 = (𝑦 − 𝐶) ↔ ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑦 = (𝑥 + 𝐶)))
55	38, 54	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑦 = (𝑥 + 𝐶))
56	55	ralrimiva 2548	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑦 = (𝑥 + 𝐶))
57		icoshftf1o.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↦ (𝑥 + 𝐶))
58	57	f1ompt 5659	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴[,)𝐵)–1-1-onto→((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ↔ (∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)(𝑥 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑦 = (𝑥 + 𝐶)))
59	2, 56, 58	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐹:(𝐴[,)𝐵)–1-1-onto→((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ∀wral 2453  ∃!wreu 2455   ⊆ wss 3127   ↦ cmpt 4059  –1-1-onto→wf1o 5207  (class class class)co 5865  ℝcr 7785   + caddc 7789  ℝ^*cxr 7965   − cmin 8102  -cneg 8103  [,)cico 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-ico 9863

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