Theorem icoshftf1o 10323

Description: Shifting a closed-below, open-above interval is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
icoshftf1o.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↦ (𝑥 + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
icoshftf1o	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐹:(𝐴[,)𝐵)–1-1-onto→((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem icoshftf1o

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icoshft 10322	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑥 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
2	1	ralrimiv 2614	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)(𝑥 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)))
3		readdcl 8252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
4	3	3adant2 1043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
5		readdcl 8252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
6	5	3adant1 1042	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
7		renegcl 8533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
8	7	3ad2ant3 1047	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐶 ∈ ℝ)
9		icoshft 10322	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) → (𝑦 + -𝐶) ∈ (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶))))
10	4, 6, 8, 9	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) → (𝑦 + -𝐶) ∈ (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶))))
11	10	imp 124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (𝑦 + -𝐶) ∈ (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶)))
12	6	rexrd 8322	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
13		icossre 10286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ)
14	4, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ)
15	14	sselda 3237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℝ)
16	15	recnd 8301	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℂ)
17		simpl3 1029	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
18	17	recnd 8301	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	16, 18	negsubd 8589	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (𝑦 + -𝐶) = (𝑦 − 𝐶))
20	4	recnd 8301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
21		simp3 1026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
22	21	recnd 8301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	20, 22	negsubd 8589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) = ((𝐴 + 𝐶) − 𝐶))
24		simp1 1024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	24	recnd 8301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25, 22	pncand 8584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) − 𝐶) = 𝐴)
27	23, 26	eqtrd 2265	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) = 𝐴)
28	6	recnd 8301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
29	28, 22	negsubd 8589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) = ((𝐵 + 𝐶) − 𝐶))
30		simp2 1025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	30	recnd 8301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
32	31, 22	pncand 8584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐶) = 𝐵)
33	29, 32	eqtrd 2265	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) = 𝐵)
34	27, 33	oveq12d 6067	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶)) = (𝐴[,)𝐵))
35	34	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶)) = (𝐴[,)𝐵))
36	11, 19, 35	3eltr3d 2315	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) ∈ (𝐴[,)𝐵))
37		reueq 3015	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 − 𝐶) ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑥 = (𝑦 − 𝐶))
38	36, 37	sylib 122	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑥 = (𝑦 − 𝐶))
39	15	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
40	39	recnd 8301	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℂ)
41		simpll3 1065	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
42	41	recnd 8301	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
43		simpl1 1027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐴 ∈ ℝ)
44		simpl2 1028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ)
45	44	rexrd 8322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
46		icossre 10286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
47	43, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
48	47	sselda 3237	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
49	48	recnd 8301	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
50	40, 42, 49	subadd2d 8602	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑦 − 𝐶) = 𝑥 ↔ (𝑥 + 𝐶) = 𝑦))
51		eqcom 2234	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝐶) ↔ (𝑦 − 𝐶) = 𝑥)
52		eqcom 2234	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑥 + 𝐶) ↔ (𝑥 + 𝐶) = 𝑦)
53	50, 51, 52	3bitr4g 223	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 − 𝐶) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 𝐶)))
54	53	reubidva 2727	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑥 = (𝑦 − 𝐶) ↔ ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑦 = (𝑥 + 𝐶)))
55	38, 54	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑦 = (𝑥 + 𝐶))
56	55	ralrimiva 2615	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑦 = (𝑥 + 𝐶))
57		icoshftf1o.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↦ (𝑥 + 𝐶))
58	57	f1ompt 5827	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴[,)𝐵)–1-1-onto→((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ↔ (∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)(𝑥 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑦 = (𝑥 + 𝐶)))
59	2, 56, 58	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐹:(𝐴[,)𝐵)–1-1-onto→((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃!wreu 2522   ⊆ wss 3210   ↦ cmpt 4170  –1-1-onto→wf1o 5350  (class class class)co 6049  ℝcr 8125   + caddc 8129  ℝ^*cxr 8306   − cmin 8443  -cneg 8444  [,)cico 10222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-ico 10226

This theorem is referenced by: (None)