Theorem xpnnen 13263

Description: The Cartesian product of the set of positive integers with itself is equinumerous to the set of positive integers. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xpnnen	⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ

Proof of Theorem xpnnen

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
3	1, 2	oddpwdc 12930	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥)):({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} × ℕ0)–1-1-onto→ℕ
4		f1ocnv 5647	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥)):({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} × ℕ0)–1-1-onto→ℕ → ◡(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥)):ℕ–1-1-onto→({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} × ℕ0))
5		nnex 9289	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
6	5	f1oen 7035	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥)):ℕ–1-1-onto→({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} × ℕ0) → ℕ ≈ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} × ℕ0))
7	3, 4, 6	mp2b 8	. 2 ⊢ ℕ ≈ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} × ℕ0)
8		oddennn 13261	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ
9		nn0ennn 10848	. . 3 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
10		xpen 7135	. . 3 ⊢ (({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ ∧ ℕ0 ≈ ℕ) → ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} × ℕ0) ≈ (ℕ × ℕ))
11	8, 9, 10	mp2an 430	. 2 ⊢ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} × ℕ0) ≈ (ℕ × ℕ)
12	7, 11	entr2i 7064	1 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ

Syntax hints:  ¬ wn 3  {crab 2532   class class class wbr 4125   × cxp 4767  ^◡ccnv 4768  –1-1-onto→wf1o 5371  (class class class)co 6075   ∈ cmpo 6077   ≈ cen 7010   · cmul 8174  ℕcn 9283  2c2 9334  ℕ₀cn0 9542  ↑cexp 10953   ∥ cdvds 12532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-er 6797  df-en 7013  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-dvds 12533

This theorem is referenced by:  xpomen  13264  qnnen  13300