Theorem xpnnen 13078

Description: The Cartesian product of the set of positive integers with itself is equinumerous to the set of positive integers. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xpnnen	⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ

Proof of Theorem xpnnen

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
3	1, 2	oddpwdc 12809	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥)):({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} × ℕ0)–1-1-onto→ℕ
4		f1ocnv 5605	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥)):({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} × ℕ0)–1-1-onto→ℕ → ◡(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥)):ℕ–1-1-onto→({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} × ℕ0))
5		nnex 9191	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
6	5	f1oen 6975	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥)):ℕ–1-1-onto→({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} × ℕ0) → ℕ ≈ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} × ℕ0))
7	3, 4, 6	mp2b 8	. 2 ⊢ ℕ ≈ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} × ℕ0)
8		oddennn 13076	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ
9		nn0ennn 10741	. . 3 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
10		xpen 7074	. . 3 ⊢ (({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ ∧ ℕ0 ≈ ℕ) → ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} × ℕ0) ≈ (ℕ × ℕ))
11	8, 9, 10	mp2an 426	. 2 ⊢ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} × ℕ0) ≈ (ℕ × ℕ)
12	7, 11	entr2i 7004	1 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ

Syntax hints:  ¬ wn 3  {crab 2515   class class class wbr 4093   × cxp 4729  ^◡ccnv 4730  –1-1-onto→wf1o 5332  (class class class)co 6028   ∈ cmpo 6030   ≈ cen 6950   · cmul 8080  ℕcn 9185  2c2 9236  ℕ₀cn0 9444  ↑cexp 10846   ∥ cdvds 12411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-er 6745  df-en 6953  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-fz 10289  df-fl 10576  df-mod 10631  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-dvds 12412

This theorem is referenced by:  xpomen  13079  qnnen  13115