Theorem xblm 12777

Description: A ball is inhabited iff the radius is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xblm	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 0 < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝑅   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋

Proof of Theorem xblm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbl 12751	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
2		xmetge0 12725	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
3	2	3expa 1185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
4	3	3adantl3 1140	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
5		0xr 7907	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6		xmetcl 12712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
7	6	3expa 1185	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
8	7	3adantl3 1140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
9		simpl3 987	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
10		xrlelttr 9692	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) → 0 < 𝑅))
11	5, 8, 9, 10	mp3an2i 1324	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) → 0 < 𝑅))
12	4, 11	mpand 426	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 → 0 < 𝑅))
13	12	expimpd 361	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) → 0 < 𝑅))
14	1, 13	sylbid 149	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → 0 < 𝑅))
15	14	exlimdv 1799	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → 0 < 𝑅))
16		simpl2 986	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝑅) → 𝑃 ∈ 𝑋)
17		simpl1 985	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
18		simpl3 987	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
19		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝑅) → 0 < 𝑅)
20		xblcntr 12774	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
21	17, 16, 18, 19, 20	syl112anc 1224	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝑅) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
22		eleq1 2220	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)))
23	22	spcegv 2800	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)))
24	16, 21, 23	sylc 62	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝑅) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
25	24	ex 114	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑅 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)))
26	15, 25	impbid 128	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 0 < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963  ∃wex 1472   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818  0cc0 7715  ℝ^*cxr 7894   < clt 7895   ≤ cle 7896  ∞Metcxmet 12340  ballcbl 12342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-map 6588  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-2 8875  df-xadd 9662  df-psmet 12347  df-xmet 12348  df-bl 12350

This theorem is referenced by:  blssioo  12905