Theorem 2arymaptf1 47426

Description: The mapping of binary (endo)functions is a one-to-one function into the set of binary operations. (Contributed by AV, 22-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arymaptf.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Assertion

Ref	Expression
2arymaptf1	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ,𝑦,𝑋   ℎ,𝑉,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,ℎ)

Proof of Theorem 2arymaptf1

Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑔 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2arymaptf.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
2	1	2arymaptf 47425	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
3	1	2arymaptfv 47424	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
4	3	ad2antrl 724	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → (𝐻‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
5	1	2arymaptfv 47424	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝑔) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
6	5	ad2antll 725	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → (𝐻‘𝑔) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
7	4, 6	eqeq12d 2746	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))))
8		fvex 6903	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ∈ V
9	8	rgen2w 3064	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ∈ V
10		mpo2eqb 7543	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ∈ V → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
11	9, 10	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
12		2aryfvalel 47420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋))
13		2aryfvalel 47420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋))
14	12, 13	anbi12d 629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)) ↔ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋)))
15		ffn 6716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 → 𝑓 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
16	15	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) → 𝑓 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
17	16	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑓 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
18		ffn 6716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 → 𝑔 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
19	18	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) → 𝑔 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
20	19	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑔 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
21		elmapi 8845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → 𝑧:{0, 1}⟶𝑋)
22		0ne1 12287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≠ 1
23		c0ex 11212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
24		1ex 11214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
25	23, 24	fprb 7196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ≠ 1 → (𝑧:{0, 1}⟶𝑋 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
26	22, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧:{0, 1}⟶𝑋 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
27	21, 26	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
28		opeq2 4873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ⟨0, 𝑥⟩ = ⟨0, 𝑎⟩)
29	28	preq1d 4742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩})
30	29	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
31	29	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
32	30, 31	eqeq12d 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
33		opeq2 4873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)
34	33	preq2d 4743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
35	34	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
36	34	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
37	35, 36	eqeq12d 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
38	32, 37	rspc2va 3622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
39	38	expcom 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
40	39	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
41	40	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
42	41	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
43		fveq2 6890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → (𝑓‘𝑧) = (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
44		fveq2 6890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → (𝑔‘𝑧) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
45	43, 44	eqeq12d 2746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → ((𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
46	45	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) → ((𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
47	42, 46	sylibrd 258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧)))
48	47	ex 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧))))
49	48	rexlimivv 3197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧)))
50	27, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧)))
51	50	impcom 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧))
52	17, 20, 51	eqfnfvd 7034	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑓 = 𝑔)
53	52	3exp 1117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → 𝑓 = 𝑔)))
54	14, 53	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → 𝑓 = 𝑔)))
55	54	imp 405	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → 𝑓 = 𝑔))
56	11, 55	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑓 = 𝑔))
57	7, 56	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
58	57	ralrimivva 3198	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ∀𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋)∀𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
59		dff13 7256	. 2 ⊢ (𝐻:(2-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋)∀𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
60	2, 58, 59	sylanbrc 581	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3472  {cpr 4629  ⟨cop 4633   ↦ cmpt 5230   × cxp 5673   Fn wfn 6537  ⟶wf 6538  –1-1→wf1 6539  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ↑_m cmap 8822  0cc0 11112  1c1 11113  2c2 12271  -aryF cnaryf 47399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-naryf 47400

This theorem is referenced by:  2arymaptf1o  47428