Theorem 2arymaptf1 48691

Description: The mapping of binary (endo)functions is a one-to-one function into the set of binary operations. (Contributed by AV, 22-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arymaptf.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Assertion

Ref	Expression
2arymaptf1	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ,𝑦,𝑋   ℎ,𝑉,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,ℎ)

Proof of Theorem 2arymaptf1

Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑔 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2arymaptf.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
2	1	2arymaptf 48690	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
3	1	2arymaptfv 48689	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
4	3	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → (𝐻‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
5	1	2arymaptfv 48689	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝑔) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
6	5	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → (𝐻‘𝑔) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
7	4, 6	eqeq12d 2747	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))))
8		fvex 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ∈ V
9	8	rgen2w 3052	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ∈ V
10		mpo2eqb 7478	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ∈ V → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
11	9, 10	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
12		2aryfvalel 48685	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋))
13		2aryfvalel 48685	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋))
14	12, 13	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)) ↔ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋)))
15		ffn 6651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 → 𝑓 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) → 𝑓 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
17	16	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑓 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
18		ffn 6651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 → 𝑔 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) → 𝑔 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
20	19	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑔 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
21		elmapi 8773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → 𝑧:{0, 1}⟶𝑋)
22		0ne1 12196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≠ 1
23		c0ex 11106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
24		1ex 11108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
25	23, 24	fprb 7128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ≠ 1 → (𝑧:{0, 1}⟶𝑋 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
26	22, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧:{0, 1}⟶𝑋 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
27	21, 26	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
28		opeq2 4826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ⟨0, 𝑥⟩ = ⟨0, 𝑎⟩)
29	28	preq1d 4692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩})
30	29	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
31	29	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
32	30, 31	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
33		opeq2 4826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)
34	33	preq2d 4693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
35	34	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
36	34	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
37	35, 36	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
38	32, 37	rspc2va 3589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
39	38	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
40	39	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
41	40	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
43		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → (𝑓‘𝑧) = (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
44		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → (𝑔‘𝑧) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
45	43, 44	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → ((𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) → ((𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
47	42, 46	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧)))
48	47	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧))))
49	48	rexlimivv 3174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧)))
50	27, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧)))
51	50	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧))
52	17, 20, 51	eqfnfvd 6967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑓 = 𝑔)
53	52	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → 𝑓 = 𝑔)))
54	14, 53	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → 𝑓 = 𝑔)))
55	54	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → 𝑓 = 𝑔))
56	11, 55	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑓 = 𝑔))
57	7, 56	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
58	57	ralrimivva 3175	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ∀𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋)∀𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
59		dff13 7188	. 2 ⊢ (𝐻:(2-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋)∀𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
60	2, 58, 59	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436  {cpr 4578  ⟨cop 4582   ↦ cmpt 5172   × cxp 5614   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  –1-1→wf1 6478  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348   ↑_m cmap 8750  0cc0 11006  1c1 11007  2c2 12180  -aryF cnaryf 48664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-naryf 48665

This theorem is referenced by:  2arymaptf1o  48693