Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2arymaptf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2arymaptf1 47339
Description: The mapping of binary (endo)functions is a one-to-one function into the set of binary operations. (Contributed by AV, 22-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
2arymaptf.h 𝐻 = ( ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
Assertion
Ref Expression
2arymaptf1 (𝑋𝑉𝐻:(2-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,,𝑦,𝑋   ,𝑉,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,)

Proof of Theorem 2arymaptf1
Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑔 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2arymaptf.h . . 3 𝐻 = ( ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
212arymaptf 47338 . 2 (𝑋𝑉𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
312arymaptfv 47337 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻𝑓) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
43ad2antrl 727 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → (𝐻𝑓) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
512arymaptfv 47337 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻𝑔) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
65ad2antll 728 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → (𝐻𝑔) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
74, 6eqeq12d 2749 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝐻𝑓) = (𝐻𝑔) ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))))
8 fvex 6905 . . . . . . 7 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ∈ V
98rgen2w 3067 . . . . . 6 𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ∈ V
10 mpo2eqb 7541 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ∈ V → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
119, 10mp1i 13 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
12 2aryfvalel 47333 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉 → (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝑓:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋))
13 2aryfvalel 47333 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉 → (𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝑔:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋))
1412, 13anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → ((𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)) ↔ (𝑓:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋)))
15 ffn 6718 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋𝑓 Fn (𝑋m {0, 1}))
1615adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋) → 𝑓 Fn (𝑋m {0, 1}))
17163ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑓 Fn (𝑋m {0, 1}))
18 ffn 6718 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋𝑔 Fn (𝑋m {0, 1}))
1918adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋) → 𝑔 Fn (𝑋m {0, 1}))
20193ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑔 Fn (𝑋m {0, 1}))
21 elmapi 8843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑋m {0, 1}) → 𝑧:{0, 1}⟶𝑋)
22 0ne1 12283 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≠ 1
23 c0ex 11208 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
24 1ex 11210 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
2523, 24fprb 7195 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ≠ 1 → (𝑧:{0, 1}⟶𝑋 ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
2622, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧:{0, 1}⟶𝑋 ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
2721, 26sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝑋m {0, 1}) → ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
28 opeq2 4875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑎 → ⟨0, 𝑥⟩ = ⟨0, 𝑎⟩)
2928preq1d 4744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑎 → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩})
3029fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑎 → (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
3129fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑎 → (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
3230, 31eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑎 → ((𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
33 opeq2 4875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑏 → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)
3433preq2d 4745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑏 → {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
3534fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑏 → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
3634fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑏 → (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
3735, 36eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑏 → ((𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
3832, 37rspc2va 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎𝑋𝑏𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
3938expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → ((𝑎𝑋𝑏𝑋) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
40393ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → ((𝑎𝑋𝑏𝑋) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
4140com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑋𝑏𝑋) → ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
4241adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎𝑋𝑏𝑋) ∧ 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) → ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
43 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → (𝑓𝑧) = (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
44 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → (𝑔𝑧) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
4543, 44eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → ((𝑓𝑧) = (𝑔𝑧) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
4645adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎𝑋𝑏𝑋) ∧ 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) → ((𝑓𝑧) = (𝑔𝑧) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
4742, 46sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎𝑋𝑏𝑋) ∧ 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) → ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓𝑧) = (𝑔𝑧)))
4847ex 414 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑋𝑏𝑋) → (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓𝑧) = (𝑔𝑧))))
4948rexlimivv 3200 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓𝑧) = (𝑔𝑧)))
5027, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑋m {0, 1}) → ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓𝑧) = (𝑔𝑧)))
5150impcom 409 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋m {0, 1})) → (𝑓𝑧) = (𝑔𝑧))
5217, 20, 51eqfnfvd 7036 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑓 = 𝑔)
53523exp 1120 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → ((𝑓:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → 𝑓 = 𝑔)))
5414, 53sylbid 239 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → ((𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → 𝑓 = 𝑔)))
5554imp 408 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → 𝑓 = 𝑔))
5611, 55sylbid 239 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑓 = 𝑔))
577, 56sylbid 239 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝐻𝑓) = (𝐻𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
5857ralrimivva 3201 . 2 (𝑋𝑉 → ∀𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋)∀𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)((𝐻𝑓) = (𝐻𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
59 dff13 7254 . 2 (𝐻:(2-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋m (𝑋 × 𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋)∀𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)((𝐻𝑓) = (𝐻𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
602, 58, 59sylanbrc 584 1 (𝑋𝑉𝐻:(2-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  {cpr 4631  cop 4635  cmpt 5232   × cxp 5675   Fn wfn 6539  wf 6540  1-1wf1 6541  cfv 6544  (class class class)co 7409  cmpo 7411  m cmap 8820  0cc0 11110  1c1 11111  2c2 12267  -aryF cnaryf 47312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-naryf 47313
This theorem is referenced by:  2arymaptf1o  47341
  Copyright terms: Public domain W3C validator