Theorem 2arymaptf1 48574

Description: The mapping of binary (endo)functions is a one-to-one function into the set of binary operations. (Contributed by AV, 22-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arymaptf.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Assertion

Ref	Expression
2arymaptf1	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ,𝑦,𝑋   ℎ,𝑉,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,ℎ)

Proof of Theorem 2arymaptf1

Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑔 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2arymaptf.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
2	1	2arymaptf 48573	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
3	1	2arymaptfv 48572	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
4	3	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → (𝐻‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
5	1	2arymaptfv 48572	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝑔) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
6	5	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → (𝐻‘𝑔) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
7	4, 6	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))))
8		fvex 6919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ∈ V
9	8	rgen2w 3066	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ∈ V
10		mpo2eqb 7565	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ∈ V → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
11	9, 10	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
12		2aryfvalel 48568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋))
13		2aryfvalel 48568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋))
14	12, 13	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)) ↔ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋)))
15		ffn 6736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 → 𝑓 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) → 𝑓 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
17	16	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑓 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
18		ffn 6736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 → 𝑔 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) → 𝑔 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
20	19	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑔 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
21		elmapi 8889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → 𝑧:{0, 1}⟶𝑋)
22		0ne1 12337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≠ 1
23		c0ex 11255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
24		1ex 11257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
25	23, 24	fprb 7214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ≠ 1 → (𝑧:{0, 1}⟶𝑋 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
26	22, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧:{0, 1}⟶𝑋 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
27	21, 26	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
28		opeq2 4874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ⟨0, 𝑥⟩ = ⟨0, 𝑎⟩)
29	28	preq1d 4739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩})
30	29	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
31	29	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
32	30, 31	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
33		opeq2 4874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)
34	33	preq2d 4740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
35	34	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
36	34	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
37	35, 36	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
38	32, 37	rspc2va 3634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
39	38	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
40	39	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
41	40	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
43		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → (𝑓‘𝑧) = (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
44		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → (𝑔‘𝑧) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
45	43, 44	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → ((𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) → ((𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
47	42, 46	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧)))
48	47	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧))))
49	48	rexlimivv 3201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧)))
50	27, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧)))
51	50	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧))
52	17, 20, 51	eqfnfvd 7054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑓 = 𝑔)
53	52	3exp 1120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → 𝑓 = 𝑔)))
54	14, 53	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → 𝑓 = 𝑔)))
55	54	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → 𝑓 = 𝑔))
56	11, 55	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑓 = 𝑔))
57	7, 56	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
58	57	ralrimivva 3202	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ∀𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋)∀𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
59		dff13 7275	. 2 ⊢ (𝐻:(2-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋)∀𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
60	2, 58, 59	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480  {cpr 4628  ⟨cop 4632   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  –1-1→wf1 6558  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ↑_m cmap 8866  0cc0 11155  1c1 11156  2c2 12321  -aryF cnaryf 48547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-naryf 48548

This theorem is referenced by:  2arymaptf1o  48576