Theorem 2arymaptf1 49416

Description: The mapping of binary (endo)functions is a one-to-one function into the set of binary operations. (Contributed by AV, 22-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arymaptf.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Assertion

Ref	Expression
2arymaptf1	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ,𝑦,𝑋   ℎ,𝑉,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,ℎ)

Proof of Theorem 2arymaptf1

Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑔 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2arymaptf.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
2	1	2arymaptf 49415	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
3	1	2arymaptfv 49414	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
4	3	ad2antrl 740	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → (𝐻‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
5	1	2arymaptfv 49414	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝑔) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
6	5	ad2antll 741	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → (𝐻‘𝑔) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
7	4, 6	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))))
8		fvex 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ∈ V
9	8	rgen2w 3084	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ∈ V
10		mpo2eqb 7544	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ∈ V → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
11	9, 10	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
12		2aryfvalel 49410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋))
13		2aryfvalel 49410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋))
14	12, 13	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)) ↔ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋)))
15		ffn 6707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 → 𝑓 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
16	15	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) → 𝑓 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
17	16	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑓 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
18		ffn 6707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 → 𝑔 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
19	18	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) → 𝑔 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
20	19	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑔 Fn (𝑋 ↑m {0, 1}))
21		elmapi 8847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → 𝑧:{0, 1}⟶𝑋)
22		0ne1 12313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≠ 1
23		c0ex 11201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
24		1ex 11204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
25	23, 24	fprb 7194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ≠ 1 → (𝑧:{0, 1}⟶𝑋 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
26	22, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧:{0, 1}⟶𝑋 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
27	21, 26	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
28		opeq2 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ⟨0, 𝑥⟩ = ⟨0, 𝑎⟩)
29	28	preq1d 4706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩})
30	29	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
31	29	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
32	30, 31	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
33		opeq2 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ⟨1, 𝑦⟩ = ⟨1, 𝑏⟩)
34	33	preq2d 4707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})
35	34	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
36	34	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
37	35, 36	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
38	32, 37	rspc2va 3594	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
39	38	expcom 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
40	39	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
41	40	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
42	41	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
43		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → (𝑓‘𝑧) = (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
44		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → (𝑔‘𝑧) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}))
45	43, 44	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → ((𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
46	45	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) → ((𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧) ↔ (𝑓‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩})))
47	42, 46	sylibrd 262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩}) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧)))
48	47	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧))))
49	48	rexlimivv 3207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 𝑧 = {⟨0, 𝑎⟩, ⟨1, 𝑏⟩} → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧)))
50	27, 49	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧)))
51	50	impcom 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1})) → (𝑓‘𝑧) = (𝑔‘𝑧))
52	17, 20, 51	eqfnfvd 7030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑓 = 𝑔)
53	52	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑓:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → 𝑓 = 𝑔)))
54	14, 53	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → 𝑓 = 𝑔)))
55	54	imp 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → 𝑓 = 𝑔))
56	11, 55	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) → 𝑓 = 𝑔))
57	7, 56	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋))) → ((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
58	57	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ∀𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋)∀𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
59		dff13 7254	. 2 ⊢ (𝐻:(2-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (2-aryF 𝑋)∀𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
60	2, 58, 59	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455  {cpr 4592  ⟨cop 4596   ↦ cmpt 5193   × cxp 5661   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑_m cmap 8825  0cc0 11101  1c1 11102  2c2 12296  -aryF cnaryf 49389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-naryf 49390

This theorem is referenced by:  2arymaptf1o  49418