Theorem 2arymaptf 49128

Description: The mapping of binary (endo)functions is a function into the set of binary operations. (Contributed by AV, 21-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arymaptf.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Assertion

Ref	Expression
2arymaptf	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ,𝑦,𝑋   ℎ,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,ℎ)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem 2arymaptf

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ℎ ∈ (2-aryF 𝑋))
2		xp1st 7974	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) → (1st ‘𝑧) ∈ 𝑋)
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (1st ‘𝑧) ∈ 𝑋)
4		xp2nd 7975	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) → (2nd ‘𝑧) ∈ 𝑋)
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (2nd ‘𝑧) ∈ 𝑋)
6		fv2arycl 49124	. . . . 5 ⊢ ((ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ (1st ‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (2nd ‘𝑧) ∈ 𝑋) → (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩}) ∈ 𝑋)
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩}) ∈ 𝑋)
8		vex 3433	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		vex 3433	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	op1std 7952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (1st ‘𝑧) = 𝑥)
11	10	opeq2d 4823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ⟨0, (1st ‘𝑧)⟩ = ⟨0, 𝑥⟩)
12	8, 9	op2ndd 7953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑧) = 𝑦)
13	12	opeq2d 4823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
14	11, 13	preq12d 4685	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → {⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})
15	14	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩}) = (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
16	15	mpompt 7481	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) ↦ (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
17	16	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) ↦ (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩}))
18	7, 17	fmptd 7066	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
19		sqxpexg 7709	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 × 𝑋) ∈ V)
20		elmapg 8786	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
21	19, 20	mpdan 688	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
23	18, 22	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
24		2arymaptf.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
25	23, 24	fmptd 7066	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  {cpr 4569  ⟨cop 4573   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  1^st c1st 7940  2^nd c2nd 7941   ↑_m cmap 8773  0cc0 11038  1c1 11039  2c2 12236  -aryF cnaryf 49102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-naryf 49103

This theorem is referenced by:  2arymaptf1  49129  2arymaptfo  49130