Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2arymaptf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2arymaptf 45459
 Description: The mapping of binary (endo)functions is a function into the set of binary operations. (Contributed by AV, 21-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
2arymaptf.h 𝐻 = ( ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
Assertion
Ref Expression
2arymaptf (𝑋𝑉𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,,𝑦,𝑋   ,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem 2arymaptf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ∈ (2-aryF 𝑋))
2 xp1st 7730 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) → (1st𝑧) ∈ 𝑋)
32adantl 485 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (1st𝑧) ∈ 𝑋)
4 xp2nd 7731 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) → (2nd𝑧) ∈ 𝑋)
54adantl 485 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (2nd𝑧) ∈ 𝑋)
6 fv2arycl 45455 . . . . 5 (( ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ (1st𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (2nd𝑧) ∈ 𝑋) → (‘{⟨0, (1st𝑧)⟩, ⟨1, (2nd𝑧)⟩}) ∈ 𝑋)
71, 3, 5, 6syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (‘{⟨0, (1st𝑧)⟩, ⟨1, (2nd𝑧)⟩}) ∈ 𝑋)
8 vex 3413 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
9 vex 3413 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
108, 9op1std 7708 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (1st𝑧) = 𝑥)
1110opeq2d 4773 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ⟨0, (1st𝑧)⟩ = ⟨0, 𝑥⟩)
128, 9op2ndd 7709 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd𝑧) = 𝑦)
1312opeq2d 4773 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ⟨1, (2nd𝑧)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
1411, 13preq12d 4637 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → {⟨0, (1st𝑧)⟩, ⟨1, (2nd𝑧)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})
1514fveq2d 6666 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (‘{⟨0, (1st𝑧)⟩, ⟨1, (2nd𝑧)⟩}) = (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
1615mpompt 7265 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) ↦ (‘{⟨0, (1st𝑧)⟩, ⟨1, (2nd𝑧)⟩})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
1716eqcomi 2767 . . . 4 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) ↦ (‘{⟨0, (1st𝑧)⟩, ⟨1, (2nd𝑧)⟩}))
187, 17fmptd 6874 . . 3 ((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
19 sqxpexg 7481 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑋 × 𝑋) ∈ V)
20 elmapg 8434 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ V) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
2119, 20mpdan 686 . . . 4 (𝑋𝑉 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
2221adantr 484 . . 3 ((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
2318, 22mpbird 260 . 2 ((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
24 2arymaptf.h . 2 𝐻 = ( ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
2523, 24fmptd 6874 1 (𝑋𝑉𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  {cpr 4527  ⟨cop 4531   ↦ cmpt 5115   × cxp 5525  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   ∈ cmpo 7157  1st c1st 7696  2nd c2nd 7697   ↑m cmap 8421  0cc0 10580  1c1 10581  2c2 11734  -aryF cnaryf 45433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-naryf 45434 This theorem is referenced by:  2arymaptf1  45460  2arymaptfo  45461
 Copyright terms: Public domain W3C validator