Theorem 2arymaptf 49473

Description: The mapping of binary (endo)functions is a function into the set of binary operations. (Contributed by AV, 21-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arymaptf.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Assertion

Ref	Expression
2arymaptf	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ,𝑦,𝑋   ℎ,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥, 𝑦, ℎ)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem 2arymaptf

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ℎ ∈ (2-aryF 𝑋))
2		xp1st 8027	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) → (1st ‘𝑧) ∈ 𝑋)
3	2	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (1st ‘𝑧) ∈ 𝑋)
4		xp2nd 8028	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) → (2nd ‘𝑧) ∈ 𝑋)
5	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (2nd ‘𝑧) ∈ 𝑋)
6		fv2arycl 49469	. . . . 5 ⊢ ((ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ (1st ‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (2nd ‘𝑧) ∈ 𝑋) → (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩}) ∈ 𝑋)
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩}) ∈ 𝑋)
8		vex 3462	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		vex 3462	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	op1std 8005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (1st ‘𝑧) = 𝑥)
11	10	opeq2d 4850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ⟨0, (1st ‘𝑧)⟩ = ⟨0, 𝑥⟩)
12	8, 9	op2ndd 8006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑧) = 𝑦)
13	12	opeq2d 4850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
14	11, 13	preq12d 4712	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → {⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})
15	14	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩}) = (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
16	15	mpompt 7537	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) ↦ (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
17	16	eqcomi 2775	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) ↦ (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩}))
18	7, 17	fmptd 7116	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
19		sqxpexg 7763	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 × 𝑋) ∈ V)
20		elmapg 8845	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
21	19, 20	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
22	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
23	18, 22	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
24		2arymaptf.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
25	23, 24	fmptd 7116	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  {cpr 4596  ⟨cop 4600   ↦ cmpt 5197   × cxp 5664  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425  1^st c1st 7993  2^nd c2nd 7994   ↑_m cmap 8833  0cc0 11118  1c1 11119  2c2 12313  -aryF cnaryf 49447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-naryf 49448

This theorem is used by:  2arymaptf1  49474  2arymaptfo  49475