Theorem 2arymaptf 47425

Description: The mapping of binary (endo)functions is a function into the set of binary operations. (Contributed by AV, 21-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arymaptf.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Assertion

Ref	Expression
2arymaptf	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ,𝑦,𝑋   ℎ,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,ℎ)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem 2arymaptf

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 765	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ℎ ∈ (2-aryF 𝑋))
2		xp1st 8009	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) → (1st ‘𝑧) ∈ 𝑋)
3	2	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (1st ‘𝑧) ∈ 𝑋)
4		xp2nd 8010	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) → (2nd ‘𝑧) ∈ 𝑋)
5	4	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (2nd ‘𝑧) ∈ 𝑋)
6		fv2arycl 47421	. . . . 5 ⊢ ((ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ (1st ‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (2nd ‘𝑧) ∈ 𝑋) → (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩}) ∈ 𝑋)
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩}) ∈ 𝑋)
8		vex 3476	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		vex 3476	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	op1std 7987	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (1st ‘𝑧) = 𝑥)
11	10	opeq2d 4879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ⟨0, (1st ‘𝑧)⟩ = ⟨0, 𝑥⟩)
12	8, 9	op2ndd 7988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑧) = 𝑦)
13	12	opeq2d 4879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
14	11, 13	preq12d 4744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → {⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})
15	14	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩}) = (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
16	15	mpompt 7524	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) ↦ (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
17	16	eqcomi 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) ↦ (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩}))
18	7, 17	fmptd 7114	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
19		sqxpexg 7744	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 × 𝑋) ∈ V)
20		elmapg 8835	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
21	19, 20	mpdan 683	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
22	21	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
23	18, 22	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
24		2arymaptf.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
25	23, 24	fmptd 7114	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472  {cpr 4629  ⟨cop 4633   ↦ cmpt 5230   × cxp 5673  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1^st c1st 7975  2^nd c2nd 7976   ↑_m cmap 8822  0cc0 11112  1c1 11113  2c2 12271  -aryF cnaryf 47399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-naryf 47400

This theorem is referenced by:  2arymaptf1  47426  2arymaptfo  47427