Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2arymaptf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2arymaptf 47239
Description: The mapping of binary (endo)functions is a function into the set of binary operations. (Contributed by AV, 21-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
2arymaptf.h 𝐻 = ( ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
Assertion
Ref Expression
2arymaptf (𝑋𝑉𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,,𝑦,𝑋   ,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem 2arymaptf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ∈ (2-aryF 𝑋))
2 xp1st 8001 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) → (1st𝑧) ∈ 𝑋)
32adantl 483 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (1st𝑧) ∈ 𝑋)
4 xp2nd 8002 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) → (2nd𝑧) ∈ 𝑋)
54adantl 483 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (2nd𝑧) ∈ 𝑋)
6 fv2arycl 47235 . . . . 5 (( ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ (1st𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (2nd𝑧) ∈ 𝑋) → (‘{⟨0, (1st𝑧)⟩, ⟨1, (2nd𝑧)⟩}) ∈ 𝑋)
71, 3, 5, 6syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (‘{⟨0, (1st𝑧)⟩, ⟨1, (2nd𝑧)⟩}) ∈ 𝑋)
8 vex 3479 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
9 vex 3479 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
108, 9op1std 7979 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (1st𝑧) = 𝑥)
1110opeq2d 4878 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ⟨0, (1st𝑧)⟩ = ⟨0, 𝑥⟩)
128, 9op2ndd 7980 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd𝑧) = 𝑦)
1312opeq2d 4878 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ⟨1, (2nd𝑧)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
1411, 13preq12d 4743 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → {⟨0, (1st𝑧)⟩, ⟨1, (2nd𝑧)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})
1514fveq2d 6891 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (‘{⟨0, (1st𝑧)⟩, ⟨1, (2nd𝑧)⟩}) = (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
1615mpompt 7516 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) ↦ (‘{⟨0, (1st𝑧)⟩, ⟨1, (2nd𝑧)⟩})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
1716eqcomi 2742 . . . 4 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) ↦ (‘{⟨0, (1st𝑧)⟩, ⟨1, (2nd𝑧)⟩}))
187, 17fmptd 7108 . . 3 ((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
19 sqxpexg 7736 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑋 × 𝑋) ∈ V)
20 elmapg 8828 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ V) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
2119, 20mpdan 686 . . . 4 (𝑋𝑉 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
2221adantr 482 . . 3 ((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
2318, 22mpbird 257 . 2 ((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
24 2arymaptf.h . 2 𝐻 = ( ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
2523, 24fmptd 7108 1 (𝑋𝑉𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  {cpr 4628  cop 4632  cmpt 5229   × cxp 5672  wf 6535  cfv 6539  (class class class)co 7403  cmpo 7405  1st c1st 7967  2nd c2nd 7968  m cmap 8815  0cc0 11105  1c1 11106  2c2 12262  -aryF cnaryf 47213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-2 12270  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-naryf 47214
This theorem is referenced by:  2arymaptf1  47240  2arymaptfo  47241
  Copyright terms: Public domain W3C validator