Theorem 2arymaptf 49857

Description: The mapping of binary (endo)functions is a function into the set of binary operations. (Contributed by AV, 21-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arymaptf.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Assertion

Ref	Expression
2arymaptf	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ,𝑦,𝑋   ℎ,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥, 𝑦, ℎ)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem 2arymaptf

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ℎ ∈ (2-aryF 𝑋))
2		xp1st 8033	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) → (1st ‘𝑧) ∈ 𝑋)
3	2	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (1st ‘𝑧) ∈ 𝑋)
4		xp2nd 8034	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) → (2nd ‘𝑧) ∈ 𝑋)
5	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (2nd ‘𝑧) ∈ 𝑋)
6		fv2arycl 49853	. . . . 5 ⊢ ((ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ (1st ‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (2nd ‘𝑧) ∈ 𝑋) → (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩}) ∈ 𝑋)
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩}) ∈ 𝑋)
8		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	op1std 8011	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (1st ‘𝑧) = 𝑥)
11	10	opeq2d 4846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ⟨0, (1st ‘𝑧)⟩ = ⟨0, 𝑥⟩)
12	8, 9	op2ndd 8012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑧) = 𝑦)
13	12	opeq2d 4846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
14	11, 13	preq12d 4698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → {⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})
15	14	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩}) = (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
16	15	mpompt 7534	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) ↦ (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
17	16	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) ↦ (ℎ‘{⟨0, (1st ‘𝑧)⟩, ⟨1, (2nd ‘𝑧)⟩}))
18	7, 17	fmptd 7114	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
19		sqxpexg 7769	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 × 𝑋) ∈ V)
20		elmapg 8862	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
21	19, 20	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
22	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
23	18, 22	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ (2-aryF 𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
24		2arymaptf.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
25	23, 24	fmptd 7114	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {cpr 4586  ⟨cop 4834   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  1^st c1st 7999  2^nd c2nd 8000   ↑_m cmap 8850  0cc0 11203  1c1 11204  2c2 12400  -aryF cnaryf 49831

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-naryf 49832

This theorem is used by:  2arymaptf1  49858  2arymaptfo  49859