Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2arymaptf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2arymaptf 48502
Description: The mapping of binary (endo)functions is a function into the set of binary operations. (Contributed by AV, 21-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
2arymaptf.h 𝐻 = ( ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
Assertion
Ref Expression
2arymaptf (𝑋𝑉𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,,𝑦,𝑋   ,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem 2arymaptf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 769 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ∈ (2-aryF 𝑋))
2 xp1st 8045 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) → (1st𝑧) ∈ 𝑋)
32adantl 481 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (1st𝑧) ∈ 𝑋)
4 xp2nd 8046 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) → (2nd𝑧) ∈ 𝑋)
54adantl 481 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (2nd𝑧) ∈ 𝑋)
6 fv2arycl 48498 . . . . 5 (( ∈ (2-aryF 𝑋) ∧ (1st𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (2nd𝑧) ∈ 𝑋) → (‘{⟨0, (1st𝑧)⟩, ⟨1, (2nd𝑧)⟩}) ∈ 𝑋)
71, 3, 5, 6syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋)) → (‘{⟨0, (1st𝑧)⟩, ⟨1, (2nd𝑧)⟩}) ∈ 𝑋)
8 vex 3482 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
9 vex 3482 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
108, 9op1std 8023 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (1st𝑧) = 𝑥)
1110opeq2d 4885 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ⟨0, (1st𝑧)⟩ = ⟨0, 𝑥⟩)
128, 9op2ndd 8024 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd𝑧) = 𝑦)
1312opeq2d 4885 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ⟨1, (2nd𝑧)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
1411, 13preq12d 4746 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → {⟨0, (1st𝑧)⟩, ⟨1, (2nd𝑧)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})
1514fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (‘{⟨0, (1st𝑧)⟩, ⟨1, (2nd𝑧)⟩}) = (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
1615mpompt 7547 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) ↦ (‘{⟨0, (1st𝑧)⟩, ⟨1, (2nd𝑧)⟩})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
1716eqcomi 2744 . . . 4 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) ↦ (‘{⟨0, (1st𝑧)⟩, ⟨1, (2nd𝑧)⟩}))
187, 17fmptd 7134 . . 3 ((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
19 sqxpexg 7774 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑋 × 𝑋) ∈ V)
20 elmapg 8878 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ V) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
2119, 20mpdan 687 . . . 4 (𝑋𝑉 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
2221adantr 480 . . 3 ((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
2318, 22mpbird 257 . 2 ((𝑋𝑉 ∈ (2-aryF 𝑋)) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
24 2arymaptf.h . 2 𝐻 = ( ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
2523, 24fmptd 7134 1 (𝑋𝑉𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  {cpr 4633  cop 4637  cmpt 5231   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1st c1st 8011  2nd c2nd 8012  m cmap 8865  0cc0 11153  1c1 11154  2c2 12319  -aryF cnaryf 48476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-naryf 48477
This theorem is referenced by:  2arymaptf1  48503  2arymaptfo  48504
  Copyright terms: Public domain W3C validator