MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablsubadd23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablsubadd23 19718
Description: Commutative/associative law for addition and subtraction in abelian groups. (subadd23d 11589 analog.) (Contributed by AV, 2-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p + = (+g𝐺)
ablsubadd.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
ablsubadd23 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑍 𝑌)))

Proof of Theorem ablsubadd23
StepHypRef Expression
1 3ancomb 1096 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ↔ (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵))
21biimpi 215 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵))
3 ablsubadd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 ablsubadd.p . . . 4 + = (+g𝐺)
5 ablsubadd.m . . . 4 = (-g𝐺)
63, 4, 5abladdsub 19717 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) 𝑌) = ((𝑋 𝑌) + 𝑍))
72, 6sylan2 592 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) 𝑌) = ((𝑋 𝑌) + 𝑍))
8 ablgrp 19690 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
93, 4, 5grpaddsubass 18945 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) 𝑌) = (𝑋 + (𝑍 𝑌)))
108, 2, 9syl2an 595 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) 𝑌) = (𝑋 + (𝑍 𝑌)))
117, 10eqtr3d 2766 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑍 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Grpcgrp 18850  -gcsg 18852  Abelcabl 19686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-0g 17383  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-cmn 19687  df-abl 19688
This theorem is referenced by:  ablsubaddsub  19719
  Copyright terms: Public domain W3C validator