MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablsubadd23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablsubadd23 19752
Description: Commutative/associative law for addition and subtraction in abelian groups. (subadd23d 11609 analog.) (Contributed by AV, 2-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p + = (+g𝐺)
ablsubadd.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
ablsubadd23 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑍 𝑌)))

Proof of Theorem ablsubadd23
StepHypRef Expression
1 3ancomb 1097 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ↔ (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵))
21biimpi 215 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵))
3 ablsubadd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 ablsubadd.p . . . 4 + = (+g𝐺)
5 ablsubadd.m . . . 4 = (-g𝐺)
63, 4, 5abladdsub 19751 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) 𝑌) = ((𝑋 𝑌) + 𝑍))
72, 6sylan2 592 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) 𝑌) = ((𝑋 𝑌) + 𝑍))
8 ablgrp 19724 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
93, 4, 5grpaddsubass 18970 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) 𝑌) = (𝑋 + (𝑍 𝑌)))
108, 2, 9syl2an 595 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) 𝑌) = (𝑋 + (𝑍 𝑌)))
117, 10eqtr3d 2769 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑍 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  +gcplusg 17218  Grpcgrp 18875  -gcsg 18877  Abelcabl 19720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-0g 17408  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-cmn 19721  df-abl 19722
This theorem is referenced by:  ablsubaddsub  19753
  Copyright terms: Public domain W3C validator