Theorem grpaddsubass 19013

Description: Associative-type law for group subtraction and addition. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpaddsubass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 − 𝑍)))

Proof of Theorem grpaddsubass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
2		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr2 1196	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpsubadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvcl 18970	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
7	6	3ad2antr3 1191	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
8		grpsubadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9	4, 8	grpass 18925	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)) = (𝑋 + (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑍))))
10	1, 2, 3, 7, 9	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)) = (𝑋 + (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑍))))
11	4, 8	grpcl 18924	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
12	11	3adant3r3 1185	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13		simpr3 1197	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
14		grpsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
15	4, 8, 5, 14	grpsubval 18968	. . 3 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
16	12, 13, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
17	4, 8, 5, 14	grpsubval 18968	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
18	3, 13, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
19	18	oveq2d 7421	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 + (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑍))))
20	10, 16, 19	3eqtr4d 2780	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 − 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  Grpcgrp 18916  inv_gcminusg 18917  -_gcsg 18918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921

This theorem is referenced by:  grppncan  19014  grpnpncan  19018  nsgconj  19142  conjghm  19232  conjnmz  19235  conjnmzb  19236  sylow3lem1  19608  sylow3lem2  19609  abladdsub  19793  ablsubadd23  19794  ablsubaddsub  19795  ablsubsub  19798  cpmadugsumlemF  22814  archiabllem2a  33192