MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpaddsubass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpaddsubass 18970
Description: Associative-type law for group subtraction and addition. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p + = (+g𝐺)
grpsubadd.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpaddsubass ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 𝑍)))

Proof of Theorem grpaddsubass
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
2 simpr1 1192 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
3 simpr2 1193 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
4 grpsubadd.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2727 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
64, 5grpinvcl 18929 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
763ad2antr3 1188 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
8 grpsubadd.p . . . 4 + = (+g𝐺)
94, 8grpass 18884 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((invg𝐺)‘𝑍)) = (𝑋 + (𝑌 + ((invg𝐺)‘𝑍))))
101, 2, 3, 7, 9syl13anc 1370 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((invg𝐺)‘𝑍)) = (𝑋 + (𝑌 + ((invg𝐺)‘𝑍))))
114, 8grpcl 18883 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
12113adant3r3 1182 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13 simpr3 1194 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
14 grpsubadd.m . . . 4 = (-g𝐺)
154, 8, 5, 14grpsubval 18927 . . 3 (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌) + ((invg𝐺)‘𝑍)))
1612, 13, 15syl2anc 583 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌) + ((invg𝐺)‘𝑍)))
174, 8, 5, 14grpsubval 18927 . . . 4 ((𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) = (𝑌 + ((invg𝐺)‘𝑍)))
183, 13, 17syl2anc 583 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 𝑍) = (𝑌 + ((invg𝐺)‘𝑍)))
1918oveq2d 7430 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 + (𝑌 𝑍)) = (𝑋 + (𝑌 + ((invg𝐺)‘𝑍))))
2010, 16, 193eqtr4d 2777 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  +gcplusg 17218  Grpcgrp 18875  invgcminusg 18876  -gcsg 18877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-0g 17408  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880
This theorem is referenced by:  grppncan  18971  grpnpncan  18975  nsgconj  19098  conjghm  19187  conjnmz  19190  conjnmzb  19191  sylow3lem1  19566  sylow3lem2  19567  abladdsub  19751  ablsubadd23  19752  ablsubaddsub  19753  ablsubsub  19756  cpmadugsumlemF  22752  archiabllem2a  32867
  Copyright terms: Public domain W3C validator