Theorem grpaddsubass 18999

Description: Associative-type law for group subtraction and addition. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpaddsubass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 − 𝑍)))

Proof of Theorem grpaddsubass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
2		simpr1 1191	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr2 1192	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpsubadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvcl 18957	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
7	6	3ad2antr3 1187	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
8		grpsubadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9	4, 8	grpass 18912	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)) = (𝑋 + (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑍))))
10	1, 2, 3, 7, 9	syl13anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)) = (𝑋 + (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑍))))
11	4, 8	grpcl 18911	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
12	11	3adant3r3 1181	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13		simpr3 1193	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
14		grpsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
15	4, 8, 5, 14	grpsubval 18955	. . 3 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
16	12, 13, 15	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
17	4, 8, 5, 14	grpsubval 18955	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
18	3, 13, 17	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
19	18	oveq2d 7435	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 + (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑍))))
20	10, 16, 19	3eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 − 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17188  +_gcplusg 17241  Grpcgrp 18903  inv_gcminusg 18904  -_gcsg 18905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-0g 17431  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908

This theorem is referenced by:  grppncan  19000  grpnpncan  19004  nsgconj  19127  conjghm  19217  conjnmz  19220  conjnmzb  19221  sylow3lem1  19599  sylow3lem2  19600  abladdsub  19784  ablsubadd23  19785  ablsubaddsub  19786  ablsubsub  19789  cpmadugsumlemF  22827  archiabllem2a  32999