MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpaddsubass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpaddsubass 18842
Description: Associative-type law for group subtraction and addition. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p + = (+g𝐺)
grpsubadd.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpaddsubass ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 𝑍)))

Proof of Theorem grpaddsubass
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
2 simpr1 1195 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
3 simpr2 1196 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
4 grpsubadd.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2733 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
64, 5grpinvcl 18803 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
763ad2antr3 1191 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
8 grpsubadd.p . . . 4 + = (+g𝐺)
94, 8grpass 18762 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((invg𝐺)‘𝑍)) = (𝑋 + (𝑌 + ((invg𝐺)‘𝑍))))
101, 2, 3, 7, 9syl13anc 1373 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((invg𝐺)‘𝑍)) = (𝑋 + (𝑌 + ((invg𝐺)‘𝑍))))
114, 8grpcl 18761 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
12113adant3r3 1185 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13 simpr3 1197 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
14 grpsubadd.m . . . 4 = (-g𝐺)
154, 8, 5, 14grpsubval 18801 . . 3 (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌) + ((invg𝐺)‘𝑍)))
1612, 13, 15syl2anc 585 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌) + ((invg𝐺)‘𝑍)))
174, 8, 5, 14grpsubval 18801 . . . 4 ((𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) = (𝑌 + ((invg𝐺)‘𝑍)))
183, 13, 17syl2anc 585 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 𝑍) = (𝑌 + ((invg𝐺)‘𝑍)))
1918oveq2d 7374 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 + (𝑌 𝑍)) = (𝑋 + (𝑌 + ((invg𝐺)‘𝑍))))
2010, 16, 193eqtr4d 2783 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Grpcgrp 18753  invgcminusg 18754  -gcsg 18755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758
This theorem is referenced by:  grppncan  18843  grpnpncan  18847  nsgconj  18966  conjghm  19044  conjnmz  19047  conjnmzb  19048  sylow3lem1  19414  sylow3lem2  19415  abladdsub  19598  ablsubsub  19601  cpmadugsumlemF  22241  archiabllem2a  32079
  Copyright terms: Public domain W3C validator