Theorem ablsubsub 18931

Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablsubsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsubsub.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablsubsub.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ablsubsub.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsubsub	⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem ablsubsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubsub.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		ablgrp 18903	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		ablsubsub.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		ablsubsub.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		ablsubsub.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		ablsubadd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		ablsubadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9		ablsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
10	7, 8, 9	grpsubsub 18180	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
11	3, 4, 5, 6, 10	syl13anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
12	7, 8, 9	grpaddsubass 18181	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
13	3, 4, 6, 5, 12	syl13anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
14	7, 8, 9	abladdsub 18928	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍))
15	1, 4, 6, 5, 14	syl13anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍))
16	11, 13, 15	3eqtr2d 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  Grpcgrp 18095  -_gcsg 18097  Abelcabl 18899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-cmn 18900  df-abl 18901

This theorem is referenced by:  ablsubsub4  18932  ablnncan  18934  ip2subdi  20333