Theorem ablsubsub 19883

Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablsubsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsubsub.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablsubsub.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ablsubsub.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsubsub	⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem ablsubsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubsub.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		ablgrp 19851	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		ablsubsub.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		ablsubsub.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		ablsubsub.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		ablsubadd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		ablsubadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9		ablsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
10	7, 8, 9	grpsubsub 19091	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
11	3, 4, 5, 6, 10	syl13anc 1397	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
12	7, 8, 9	grpaddsubass 19092	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
13	3, 4, 6, 5, 12	syl13anc 1397	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
14	7, 8, 9	abladdsub 19878	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍))
15	1, 4, 6, 5, 14	syl13anc 1397	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍))
16	11, 13, 15	3eqtr2d 2810	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  Grpcgrp 18996  -_gcsg 18998  Abelcabl 19847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-cmn 19848  df-abl 19849

This theorem is referenced by:  ablsubsub4  19884  ablnncan  19886  ip2subdi  21759