Theorem ablsubsub 19419

Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablsubsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsubsub.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablsubsub.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ablsubsub.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsubsub	⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem ablsubsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubsub.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		ablgrp 19391	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		ablsubsub.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		ablsubsub.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		ablsubsub.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		ablsubadd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		ablsubadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9		ablsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
10	7, 8, 9	grpsubsub 18664	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
11	3, 4, 5, 6, 10	syl13anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
12	7, 8, 9	grpaddsubass 18665	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
13	3, 4, 6, 5, 12	syl13anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
14	7, 8, 9	abladdsub 19416	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍))
15	1, 4, 6, 5, 14	syl13anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍))
16	11, 13, 15	3eqtr2d 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Grpcgrp 18577  -_gcsg 18579  Abelcabl 19387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-cmn 19388  df-abl 19389

This theorem is referenced by:  ablsubsub4  19420  ablnncan  19422  ip2subdi  20849