Theorem ablsubsub 18575

Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablsubsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsubsub.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablsubsub.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ablsubsub.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsubsub	⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem ablsubsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubsub.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		ablgrp 18550	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		ablsubsub.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		ablsubsub.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		ablsubsub.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		ablsubadd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		ablsubadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9		ablsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
10	7, 8, 9	grpsubsub 17857	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
11	3, 4, 5, 6, 10	syl13anc 1497	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
12	7, 8, 9	grpaddsubass 17858	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
13	3, 4, 6, 5, 12	syl13anc 1497	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
14	7, 8, 9	abladdsub 18572	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍))
15	1, 4, 6, 5, 14	syl13anc 1497	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍))
16	11, 13, 15	3eqtr2d 2866	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  Basecbs 16221  +_gcplusg 16304  Grpcgrp 17775  -_gcsg 17777  Abelcabl 18546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-0g 16454  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-cmn 18547  df-abl 18548

This theorem is referenced by:  ablsubsub4  18576  ablnncan  18578  ip2subdi  20350