Theorem ablnncan 19732

Description: Cancellation law for group subtraction. (nncan 11390 analog.) (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablnncan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablnncan.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablnncan.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablnncan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablnncan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablnncan	⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑋 − 𝑌)) = 𝑌)

Proof of Theorem ablnncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablnncan.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		ablnncan.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4		ablnncan.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
5		ablnncan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ablnncan.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 5, 6	ablsubsub 19729	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑋 − 𝑋)(+g‘𝐺)𝑌))
8		ablgrp 19697	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
9	4, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
10		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
11	1, 10, 3	grpsubid 18937	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐺))
12	9, 5, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐺))
13	12	oveq1d 7361	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑌))
14	1, 2, 10	grplid 18880	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑌) = 𝑌)
15	9, 6, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑌) = 𝑌)
16	7, 13, 15	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑋 − 𝑌)) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18846  -_gcsg 18848  Abelcabl 19693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-cmn 19694  df-abl 19695

This theorem is referenced by:  ablnnncan1  19735  pgpfac1lem3  19991  rngqiprngfulem4  21251  tsmsxplem1  24068  baerlem5blem2  41759