Theorem ablsubsub4 19755

Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablsubsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsubsub.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablsubsub.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ablsubsub.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsubsub4	⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem ablsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubsub.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		ablgrp 19722	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		ablsubsub.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		ablsubsub.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		ablsubadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		ablsubadd.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	6, 7	grpsubcl 18959	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
10		ablsubsub.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
11		ablsubadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
13	6, 11, 12, 7	grpsubval 18924	. . 3 ⊢ (((𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 − 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
14	9, 10, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 − 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
15	6, 12	grpinvcl 18926	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
16	3, 10, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
17	6, 11, 7, 1, 4, 5, 16	ablsubsub 19754	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − ((invg‘𝐺)‘𝑍))) = ((𝑋 − 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
18	6, 11, 7, 12, 3, 5, 10	grpsubinv 18951	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − ((invg‘𝐺)‘𝑍)) = (𝑌 + 𝑍))
19	18	oveq2d 7406	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − ((invg‘𝐺)‘𝑍))) = (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))
20	14, 17, 19	3eqtr2d 2771	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873  -_gcsg 18874  Abelcabl 19718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-cmn 19719  df-abl 19720

This theorem is referenced by:  ablsub32  19758  ablnnncan  19759  rngqiprngfulem4  21231  ip2subdi  21560  cpmadugsumlemF  22770  baerlem5alem2  41712