Theorem ablsubsub4 19945

Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablsubsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsubsub.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablsubsub.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ablsubsub.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsubsub4	⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem ablsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubsub.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		ablgrp 19912	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		ablsubsub.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		ablsubsub.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		ablsubadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		ablsubadd.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	6, 7	grpsubcl 19143	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
10		ablsubsub.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
11		ablsubadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
13	6, 11, 12, 7	grpsubval 19109	. . 3 ⊢ (((𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 − 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
14	9, 10, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 − 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
15	6, 12	grpinvcl 19111	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
16	3, 10, 15	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
17	6, 11, 7, 1, 4, 5, 16	ablsubsub 19944	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − ((invg‘𝐺)‘𝑍))) = ((𝑋 − 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
18	6, 11, 7, 12, 3, 5, 10	grpsubinv 19135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − ((invg‘𝐺)‘𝑍)) = (𝑌 + 𝑍))
19	18	oveq2d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − ((invg‘𝐺)‘𝑍))) = (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))
20	14, 17, 19	3eqtr2d 2801	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342  Grpcgrp 19057  inv_gcminusg 19058  -_gcsg 19059  Abelcabl 19908

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-cmn 19909  df-abl 19910

This theorem is used by:  ablsub32  19948  ablnnncan  19949  rngqiprngfulem4  21517  ip2subdi  21857  cpmadugsumlemF  23101  baerlem5alem2  42584