MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brdom3 9938
Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
brdom3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Proof of Theorem brdom3
StepHypRef Expression
1 reldom 8503 . . . . . . . . 9 Rel ≼
21brrelex1i 5601 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
3 0sdomg 8634 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
5 df-ne 3014 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
64, 5syl6bb 288 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = ∅))
76biimpar 478 . . . . 5 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
8 fodomr 8656 . . . . . 6 ((∅ ≺ 𝐴𝐴𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
98ancoms 459 . . . . 5 ((𝐴𝐵 ∧ ∅ ≺ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
107, 9syldan 591 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
11 pm5.6 995 . . . 4 (((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴) ↔ (𝐴𝐵 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)))
1210, 11mpbi 231 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴))
13 br0 5106 . . . . . . . 8 ¬ 𝑥𝑦
1413nex 1792 . . . . . . 7 ¬ ∃𝑦 𝑥𝑦
15 exmo 2617 . . . . . . 7 (∃𝑦 𝑥𝑦 ∨ ∃*𝑦 𝑥𝑦)
1614, 15mtpor 1762 . . . . . 6 ∃*𝑦 𝑥𝑦
1716ax-gen 1787 . . . . 5 𝑥∃*𝑦 𝑥𝑦
18 rzal 4449 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑥)
19 0ex 5202 . . . . . 6 ∅ ∈ V
20 breq 5059 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ∅ → (𝑥𝑓𝑦𝑥𝑦))
2120mobidv 2626 . . . . . . . 8 (𝑓 = ∅ → (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ↔ ∃*𝑦 𝑥𝑦))
2221albidv 1912 . . . . . . 7 (𝑓 = ∅ → (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑦))
23 breq 5059 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ∅ → (𝑦𝑓𝑥𝑦𝑥))
2423rexbidv 3294 . . . . . . . 8 (𝑓 = ∅ → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥))
2524ralbidv 3194 . . . . . . 7 (𝑓 = ∅ → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑥))
2622, 25anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑓 = ∅ → ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) ↔ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
2719, 26spcev 3604 . . . . 5 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑥) → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
2817, 18, 27sylancr 587 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
29 fofun 6584 . . . . . . 7 (𝑓:𝐵onto𝐴 → Fun 𝑓)
30 dffun6 6363 . . . . . . . 8 (Fun 𝑓 ↔ (Rel 𝑓 ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦))
3130simprbi 497 . . . . . . 7 (Fun 𝑓 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
3229, 31syl 17 . . . . . 6 (𝑓:𝐵onto𝐴 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
33 dffo4 6861 . . . . . . 7 (𝑓:𝐵onto𝐴 ↔ (𝑓:𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3433simprbi 497 . . . . . 6 (𝑓:𝐵onto𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥)
3532, 34jca 512 . . . . 5 (𝑓:𝐵onto𝐴 → (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3635eximi 1826 . . . 4 (∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴 → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3728, 36jaoi 851 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴) → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3812, 37syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
39 inss1 4202 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝑓
4039ssbri 5102 . . . . . . . . . 10 (𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦𝑥𝑓𝑦)
4140moimi 2620 . . . . . . . . 9 (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
4241alimi 1803 . . . . . . . 8 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
43 relinxp 5680 . . . . . . . . 9 Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))
44 dffun6 6363 . . . . . . . . 9 (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
4543, 44mpbiran 705 . . . . . . . 8 (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
4642, 45sylibr 235 . . . . . . 7 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
4746funfnd 6379 . . . . . 6 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
48 rninxp 6029 . . . . . . 7 (ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥)
4948biimpri 229 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥 → ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴)
5047, 49anim12i 612 . . . . 5 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
51 df-fo 6354 . . . . 5 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴 ↔ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
5250, 51sylibr 235 . . . 4 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴)
53 vex 3495 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
5453inex1 5212 . . . . . 6 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
5554dmex 7605 . . . . 5 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
5655fodom 9932 . . . 4 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
57 brdom3.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
58 inss2 4203 . . . . . . . 8 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴)
59 dmss 5764 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴) → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴))
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴)
61 dmxpss 6021 . . . . . . 7 dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
6260, 61sstri 3973 . . . . . 6 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵
63 ssdomg 8543 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵 → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵))
6457, 62, 63mp2 9 . . . . 5 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵
65 domtr 8550 . . . . 5 ((𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵) → 𝐴𝐵)
6664, 65mpan2 687 . . . 4 (𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → 𝐴𝐵)
6752, 56, 663syl 18 . . 3 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴𝐵)
6867exlimiv 1922 . 2 (∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴𝐵)
6938, 68impbii 210 1 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  wal 1526   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  ∃*wmo 2613  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057   × cxp 5546  dom cdm 5548  ran crn 5549  Rel wrel 5553  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  wf 6344  ontowfo 6346  cdom 8495  csdm 8496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-ac2 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9530
This theorem is referenced by:  brdom5  9939  brdom4  9940
  Copyright terms: Public domain W3C validator