Theorem brdom3 10528

Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
brdom3.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brdom3	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Proof of Theorem brdom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8955	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex1i 5719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		0sdomg 9101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
4	2, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
5		df-ne 2961	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
6	4, 5	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = ∅))
7	6	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
8		fodomr 9123	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
9	8	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ∅ ≺ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
10	7, 9	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
11		pm5.6 1017	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)))
12	10, 11	mpbi 233	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴))
13		br0 5162	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 𝑥∅𝑦
14	13	nex 1833	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∃𝑦 𝑥∅𝑦
15		exmo 2572	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 𝑥∅𝑦 ∨ ∃*𝑦 𝑥∅𝑦)
16	14, 15	mtpor 1803	. . . . . 6 ⊢ ∃*𝑦 𝑥∅𝑦
17	16	ax-gen 1828	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥∅𝑦
18		rzal 4457	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥)
19		0ex 5272	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
20		breq 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑥𝑓𝑦 ↔ 𝑥∅𝑦))
21	20	mobidv 2579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ↔ ∃*𝑦 𝑥∅𝑦))
22	21	albidv 1953	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥∅𝑦))
23		breq 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑦𝑓𝑥 ↔ 𝑦∅𝑥))
24	23	rexbidv 3191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥))
25	24	ralbidv 3190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥))
26	22, 25	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ∅ → ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) ↔ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥∅𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥)))
27	19, 26	spcev 3567	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥∅𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥) → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
28	17, 18, 27	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
29		fofun 6797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → Fun 𝑓)
30		dffun6 6551	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑓 ↔ (Rel 𝑓 ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦))
31	30	simprbi 503	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑓 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
32	29, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
33		dffo4 7102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 ↔ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
34	33	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥)
35	32, 34	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
36	35	eximi 1868	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴 → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
37	28, 36	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴) → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
38	12, 37	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
39		inss1 4189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝑓
40	39	ssbri 5158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦 → 𝑥𝑓𝑦)
41	40	moimi 2575	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
42	41	alimi 1844	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
43		relinxp 5803	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))
44		dffun6 6551	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
45	43, 44	mpbiran 722	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
46	42, 45	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
47	46	funfnd 6571	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
48		rninxp 6179	. . . . . . 7 ⊢ (ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥)
49	48	biimpri 231	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥 → ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴)
50	47, 49	anim12i 625	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
51		df-fo 6546	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto→𝐴 ↔ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
52	50, 51	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto→𝐴)
53		vex 3461	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
54	53	inex1 5288	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
55	54	dmex 7912	. . . . 5 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
56	55	fodom 10522	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto→𝐴 → 𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
57		brdom3.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
58		inss2 4190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴)
59		dmss 5894	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴) → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴))
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴)
61		dmxpss 6171	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
62	60, 61	sstri 3947	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵
63		ssdomg 9003	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵 → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵))
64	57, 62, 63	mp2 9	. . . . 5 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵
65		domtr 9010	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
66	64, 65	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ 𝐵)
67	52, 56, 66	3syl 19	. . 3 ⊢ ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴 ≼ 𝐵)
68	67	exlimiv 1963	. 2 ⊢ (∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴 ≼ 𝐵)
69	38, 68	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  ∃*wmo 2567   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286   class class class wbr 5111   × cxp 5661  dom cdm 5663  ran crn 5664  Rel wrel 5668  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  –onto→wfo 6538   ≼ cdom 8947   ≺ csdm 8948

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-ac2 10462

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-card 9941  df-acn 9944  df-ac 10116

This theorem is used by:  brdom5  10529  brdom4  10530