MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brdom3 10461
Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
brdom3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Proof of Theorem brdom3
StepHypRef Expression
1 reldom 8886 . . . . . . . . 9 Rel ≼
21brrelex1i 5687 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
3 0sdomg 9045 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
5 df-ne 2943 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
64, 5bitrdi 286 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = ∅))
76biimpar 478 . . . . 5 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
8 fodomr 9069 . . . . . 6 ((∅ ≺ 𝐴𝐴𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
98ancoms 459 . . . . 5 ((𝐴𝐵 ∧ ∅ ≺ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
107, 9syldan 591 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
11 pm5.6 1000 . . . 4 (((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴) ↔ (𝐴𝐵 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)))
1210, 11mpbi 229 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴))
13 br0 5153 . . . . . . . 8 ¬ 𝑥𝑦
1413nex 1802 . . . . . . 7 ¬ ∃𝑦 𝑥𝑦
15 exmo 2540 . . . . . . 7 (∃𝑦 𝑥𝑦 ∨ ∃*𝑦 𝑥𝑦)
1614, 15mtpor 1772 . . . . . 6 ∃*𝑦 𝑥𝑦
1716ax-gen 1797 . . . . 5 𝑥∃*𝑦 𝑥𝑦
18 rzal 4465 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑥)
19 0ex 5263 . . . . . 6 ∅ ∈ V
20 breq 5106 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ∅ → (𝑥𝑓𝑦𝑥𝑦))
2120mobidv 2547 . . . . . . . 8 (𝑓 = ∅ → (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ↔ ∃*𝑦 𝑥𝑦))
2221albidv 1923 . . . . . . 7 (𝑓 = ∅ → (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑦))
23 breq 5106 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ∅ → (𝑦𝑓𝑥𝑦𝑥))
2423rexbidv 3174 . . . . . . . 8 (𝑓 = ∅ → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥))
2524ralbidv 3173 . . . . . . 7 (𝑓 = ∅ → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑥))
2622, 25anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑓 = ∅ → ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) ↔ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
2719, 26spcev 3564 . . . . 5 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑥) → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
2817, 18, 27sylancr 587 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
29 fofun 6755 . . . . . . 7 (𝑓:𝐵onto𝐴 → Fun 𝑓)
30 dffun6 6507 . . . . . . . 8 (Fun 𝑓 ↔ (Rel 𝑓 ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦))
3130simprbi 497 . . . . . . 7 (Fun 𝑓 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
3229, 31syl 17 . . . . . 6 (𝑓:𝐵onto𝐴 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
33 dffo4 7050 . . . . . . 7 (𝑓:𝐵onto𝐴 ↔ (𝑓:𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3433simprbi 497 . . . . . 6 (𝑓:𝐵onto𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥)
3532, 34jca 512 . . . . 5 (𝑓:𝐵onto𝐴 → (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3635eximi 1837 . . . 4 (∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴 → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3728, 36jaoi 855 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴) → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3812, 37syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
39 inss1 4187 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝑓
4039ssbri 5149 . . . . . . . . . 10 (𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦𝑥𝑓𝑦)
4140moimi 2543 . . . . . . . . 9 (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
4241alimi 1813 . . . . . . . 8 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
43 relinxp 5769 . . . . . . . . 9 Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))
44 dffun6 6507 . . . . . . . . 9 (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
4543, 44mpbiran 707 . . . . . . . 8 (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
4642, 45sylibr 233 . . . . . . 7 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
4746funfnd 6530 . . . . . 6 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
48 rninxp 6130 . . . . . . 7 (ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥)
4948biimpri 227 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥 → ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴)
5047, 49anim12i 613 . . . . 5 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
51 df-fo 6500 . . . . 5 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴 ↔ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
5250, 51sylibr 233 . . . 4 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴)
53 vex 3448 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
5453inex1 5273 . . . . . 6 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
5554dmex 7845 . . . . 5 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
5655fodom 10456 . . . 4 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
57 brdom3.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
58 inss2 4188 . . . . . . . 8 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴)
59 dmss 5857 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴) → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴))
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴)
61 dmxpss 6122 . . . . . . 7 dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
6260, 61sstri 3952 . . . . . 6 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵
63 ssdomg 8937 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵 → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵))
6457, 62, 63mp2 9 . . . . 5 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵
65 domtr 8944 . . . . 5 ((𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵) → 𝐴𝐵)
6664, 65mpan2 689 . . . 4 (𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → 𝐴𝐵)
6752, 56, 663syl 18 . . 3 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴𝐵)
6867exlimiv 1933 . 2 (∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴𝐵)
6938, 68impbii 208 1 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  wal 1539   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  ∃*wmo 2536  wne 2942  wral 3063  wrex 3072  Vcvv 3444  cin 3908  wss 3909  c0 4281   class class class wbr 5104   × cxp 5630  dom cdm 5632  ran crn 5633  Rel wrel 5637  Fun wfun 6488   Fn wfn 6489  wf 6490  ontowfo 6492  cdom 8878  csdm 8879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-ac2 10396
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-er 8645  df-map 8764  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-card 9872  df-acn 9875  df-ac 10049
This theorem is referenced by:  brdom5  10462  brdom4  10463
  Copyright terms: Public domain W3C validator