MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brdom3 9553
Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
brdom3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Proof of Theorem brdom3
StepHypRef Expression
1 reldom 8116 . . . . . . . . 9 Rel ≼
21brrelexi 5299 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
3 0sdomg 8246 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
5 df-ne 2944 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
64, 5syl6bb 276 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = ∅))
76biimpar 463 . . . . 5 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
8 fodomr 8268 . . . . . 6 ((∅ ≺ 𝐴𝐴𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
98ancoms 455 . . . . 5 ((𝐴𝐵 ∧ ∅ ≺ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
107, 9syldan 573 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
11 pm5.6 993 . . . 4 (((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴) ↔ (𝐴𝐵 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)))
1210, 11mpbi 220 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴))
13 br0 4836 . . . . . . . 8 ¬ 𝑥𝑦
1413nex 1879 . . . . . . 7 ¬ ∃𝑦 𝑥𝑦
15 exmo 2643 . . . . . . 7 (∃𝑦 𝑥𝑦 ∨ ∃*𝑦 𝑥𝑦)
1614, 15mtpor 1843 . . . . . 6 ∃*𝑦 𝑥𝑦
1716ax-gen 1870 . . . . 5 𝑥∃*𝑦 𝑥𝑦
18 rzal 4215 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑥)
19 0ex 4925 . . . . . 6 ∅ ∈ V
20 breq 4789 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ∅ → (𝑥𝑓𝑦𝑥𝑦))
2120mobidv 2639 . . . . . . . 8 (𝑓 = ∅ → (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ↔ ∃*𝑦 𝑥𝑦))
2221albidv 2001 . . . . . . 7 (𝑓 = ∅ → (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑦))
23 breq 4789 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ∅ → (𝑦𝑓𝑥𝑦𝑥))
2423rexbidv 3200 . . . . . . . 8 (𝑓 = ∅ → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥))
2524ralbidv 3135 . . . . . . 7 (𝑓 = ∅ → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑥))
2622, 25anbi12d 610 . . . . . 6 (𝑓 = ∅ → ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) ↔ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
2719, 26spcev 3452 . . . . 5 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑥) → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
2817, 18, 27sylancr 569 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
29 fofun 6258 . . . . . . 7 (𝑓:𝐵onto𝐴 → Fun 𝑓)
30 dffun6 6047 . . . . . . . 8 (Fun 𝑓 ↔ (Rel 𝑓 ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦))
3130simprbi 480 . . . . . . 7 (Fun 𝑓 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
3229, 31syl 17 . . . . . 6 (𝑓:𝐵onto𝐴 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
33 dffo4 6519 . . . . . . 7 (𝑓:𝐵onto𝐴 ↔ (𝑓:𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3433simprbi 480 . . . . . 6 (𝑓:𝐵onto𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥)
3532, 34jca 497 . . . . 5 (𝑓:𝐵onto𝐴 → (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3635eximi 1910 . . . 4 (∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴 → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3728, 36jaoi 838 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴) → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3812, 37syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
39 inss1 3982 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝑓
4039ssbri 4832 . . . . . . . . . 10 (𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦𝑥𝑓𝑦)
4140moimi 2669 . . . . . . . . 9 (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
4241alimi 1887 . . . . . . . 8 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
43 relxp 5267 . . . . . . . . . 10 Rel (𝐵 × 𝐴)
44 relin2 5377 . . . . . . . . . 10 (Rel (𝐵 × 𝐴) → Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))
46 dffun6 6047 . . . . . . . . 9 (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
4745, 46mpbiran 682 . . . . . . . 8 (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
4842, 47sylibr 224 . . . . . . 7 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
49 funfn 6062 . . . . . . 7 (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
5048, 49sylib 208 . . . . . 6 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
51 rninxp 5715 . . . . . . 7 (ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥)
5251biimpri 218 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥 → ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴)
5350, 52anim12i 594 . . . . 5 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
54 df-fo 6038 . . . . 5 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴 ↔ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
5553, 54sylibr 224 . . . 4 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴)
56 vex 3354 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
5756inex1 4934 . . . . . 6 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
5857dmex 7247 . . . . 5 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
5958fodom 9547 . . . 4 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
60 brdom3.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
61 inss2 3983 . . . . . . . 8 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴)
62 dmss 5462 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴) → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴)
64 dmxpss 5707 . . . . . . 7 dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
6563, 64sstri 3762 . . . . . 6 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵
66 ssdomg 8156 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵 → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵))
6760, 65, 66mp2 9 . . . . 5 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵
68 domtr 8163 . . . . 5 ((𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵) → 𝐴𝐵)
6967, 68mpan2 665 . . . 4 (𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → 𝐴𝐵)
7055, 59, 693syl 18 . . 3 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴𝐵)
7170exlimiv 2010 . 2 (∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴𝐵)
7238, 71impbii 199 1 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 828  wal 1629   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  ∃*wmo 2619  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  cin 3723  wss 3724  c0 4064   class class class wbr 4787   × cxp 5248  dom cdm 5250  ran crn 5251  Rel wrel 5255  Fun wfun 6026   Fn wfn 6027  wf 6028  ontowfo 6030  cdom 8108  csdm 8109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-ac2 9488
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-er 7897  df-map 8012  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-card 8966  df-acn 8969  df-ac 9140
This theorem is referenced by:  brdom5  9554  brdom4  9555
  Copyright terms: Public domain W3C validator