Theorem brdom3 10507

Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
brdom3.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brdom3	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Proof of Theorem brdom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8945	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex1i 5717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		0sdomg 9090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
4	2, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
5		df-ne 2959	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
6	4, 5	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = ∅))
7	6	biimpar 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
8		fodomr 9112	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
9	8	ancoms 463	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ∅ ≺ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
10	7, 9	syldan 602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
11		pm5.6 1017	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)))
12	10, 11	mpbi 233	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴))
13		br0 5160	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 𝑥∅𝑦
14	13	nex 1830	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∃𝑦 𝑥∅𝑦
15		exmo 2570	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 𝑥∅𝑦 ∨ ∃*𝑦 𝑥∅𝑦)
16	14, 15	mtpor 1800	. . . . . 6 ⊢ ∃*𝑦 𝑥∅𝑦
17	16	ax-gen 1825	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥∅𝑦
18		rzal 4455	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥)
19		0ex 5270	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
20		breq 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑥𝑓𝑦 ↔ 𝑥∅𝑦))
21	20	mobidv 2577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ↔ ∃*𝑦 𝑥∅𝑦))
22	21	albidv 1950	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥∅𝑦))
23		breq 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑦𝑓𝑥 ↔ 𝑦∅𝑥))
24	23	rexbidv 3189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥))
25	24	ralbidv 3188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥))
26	22, 25	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ∅ → ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) ↔ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥∅𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥)))
27	19, 26	spcev 3565	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥∅𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥) → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
28	17, 18, 27	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
29		fofun 6793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → Fun 𝑓)
30		dffun6 6547	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑓 ↔ (Rel 𝑓 ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦))
31	30	simprbi 502	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑓 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
32	29, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
33		dffo4 7098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 ↔ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
34	33	simprbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥)
35	32, 34	jca 520	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
36	35	eximi 1865	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴 → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
37	28, 36	jaoi 870	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴) → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
38	12, 37	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
39		inss1 4189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝑓
40	39	ssbri 5156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦 → 𝑥𝑓𝑦)
41	40	moimi 2573	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
42	41	alimi 1841	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
43		relinxp 5801	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))
44		dffun6 6547	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
45	43, 44	mpbiran 721	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
46	42, 45	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
47	46	funfnd 6567	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
48		rninxp 6177	. . . . . . 7 ⊢ (ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥)
49	48	biimpri 231	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥 → ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴)
50	47, 49	anim12i 624	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
51		df-fo 6542	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto→𝐴 ↔ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
52	50, 51	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto→𝐴)
53		vex 3459	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
54	53	inex1 5286	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
55	54	dmex 7902	. . . . 5 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
56	55	fodom 10502	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto→𝐴 → 𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
57		brdom3.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
58		inss2 4190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴)
59		dmss 5892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴) → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴))
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴)
61		dmxpss 6169	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
62	60, 61	sstri 3946	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵
63		ssdomg 8993	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵 → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵))
64	57, 62, 63	mp2 9	. . . . 5 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵
65		domtr 9000	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
66	64, 65	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ 𝐵)
67	52, 56, 66	3syl 19	. . 3 ⊢ ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴 ≼ 𝐵)
68	67	exlimiv 1960	. 2 ⊢ (∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴 ≼ 𝐵)
69	38, 68	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∃*wmo 2565   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   class class class wbr 5109   × cxp 5659  dom cdm 5661  ran crn 5662  Rel wrel 5666  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-ac2 10442

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-card 9921  df-acn 9924  df-ac 10096

This theorem is referenced by:  brdom5  10508  brdom4  10509