Theorem brdom3 10568

Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
brdom3.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brdom3	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Proof of Theorem brdom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8991	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex1i 5741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		0sdomg 9144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
5		df-ne 2941	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
6	4, 5	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = ∅))
7	6	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
8		fodomr 9168	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
9	8	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ∅ ≺ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
10	7, 9	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
11		pm5.6 1004	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)))
12	10, 11	mpbi 230	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴))
13		br0 5192	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 𝑥∅𝑦
14	13	nex 1800	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∃𝑦 𝑥∅𝑦
15		exmo 2542	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 𝑥∅𝑦 ∨ ∃*𝑦 𝑥∅𝑦)
16	14, 15	mtpor 1770	. . . . . 6 ⊢ ∃*𝑦 𝑥∅𝑦
17	16	ax-gen 1795	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥∅𝑦
18		rzal 4509	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥)
19		0ex 5307	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
20		breq 5145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑥𝑓𝑦 ↔ 𝑥∅𝑦))
21	20	mobidv 2549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ↔ ∃*𝑦 𝑥∅𝑦))
22	21	albidv 1920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥∅𝑦))
23		breq 5145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑦𝑓𝑥 ↔ 𝑦∅𝑥))
24	23	rexbidv 3179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥))
25	24	ralbidv 3178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥))
26	22, 25	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ∅ → ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) ↔ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥∅𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥)))
27	19, 26	spcev 3606	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥∅𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥) → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
28	17, 18, 27	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
29		fofun 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → Fun 𝑓)
30		dffun6 6574	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑓 ↔ (Rel 𝑓 ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦))
31	30	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑓 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
32	29, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
33		dffo4 7123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 ↔ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
34	33	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥)
35	32, 34	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
36	35	eximi 1835	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴 → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
37	28, 36	jaoi 858	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴) → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
38	12, 37	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
39		inss1 4237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝑓
40	39	ssbri 5188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦 → 𝑥𝑓𝑦)
41	40	moimi 2545	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
42	41	alimi 1811	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
43		relinxp 5824	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))
44		dffun6 6574	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
45	43, 44	mpbiran 709	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
46	42, 45	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
47	46	funfnd 6597	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
48		rninxp 6199	. . . . . . 7 ⊢ (ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥)
49	48	biimpri 228	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥 → ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴)
50	47, 49	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
51		df-fo 6567	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto→𝐴 ↔ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
52	50, 51	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto→𝐴)
53		vex 3484	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
54	53	inex1 5317	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
55	54	dmex 7931	. . . . 5 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
56	55	fodom 10563	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto→𝐴 → 𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
57		brdom3.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
58		inss2 4238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴)
59		dmss 5913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴) → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴))
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴)
61		dmxpss 6191	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
62	60, 61	sstri 3993	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵
63		ssdomg 9040	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵 → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵))
64	57, 62, 63	mp2 9	. . . . 5 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵
65		domtr 9047	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
66	64, 65	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ 𝐵)
67	52, 56, 66	3syl 18	. . 3 ⊢ ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴 ≼ 𝐵)
68	67	exlimiv 1930	. 2 ⊢ (∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴 ≼ 𝐵)
69	38, 68	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∃*wmo 2538   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   class class class wbr 5143   × cxp 5683  dom cdm 5685  ran crn 5686  Rel wrel 5690  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  –onto→wfo 6559   ≼ cdom 8983   ≺ csdm 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-ac2 10503

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156

This theorem is referenced by:  brdom5  10569  brdom4  10570