Theorem brdom3 10436

Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
brdom3.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brdom3	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Proof of Theorem brdom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8887	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex1i 5678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		0sdomg 9032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
5		df-ne 2931	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
6	4, 5	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = ∅))
7	6	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
8		fodomr 9054	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
9	8	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ∅ ≺ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
10	7, 9	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
11		pm5.6 1003	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)))
12	10, 11	mpbi 230	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴))
13		br0 5145	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 𝑥∅𝑦
14	13	nex 1801	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∃𝑦 𝑥∅𝑦
15		exmo 2540	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 𝑥∅𝑦 ∨ ∃*𝑦 𝑥∅𝑦)
16	14, 15	mtpor 1771	. . . . . 6 ⊢ ∃*𝑦 𝑥∅𝑦
17	16	ax-gen 1796	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥∅𝑦
18		rzal 4445	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥)
19		0ex 5250	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
20		breq 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑥𝑓𝑦 ↔ 𝑥∅𝑦))
21	20	mobidv 2547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ↔ ∃*𝑦 𝑥∅𝑦))
22	21	albidv 1921	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥∅𝑦))
23		breq 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑦𝑓𝑥 ↔ 𝑦∅𝑥))
24	23	rexbidv 3158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥))
25	24	ralbidv 3157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥))
26	22, 25	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ∅ → ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) ↔ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥∅𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥)))
27	19, 26	spcev 3558	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥∅𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦∅𝑥) → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
28	17, 18, 27	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
29		fofun 6745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → Fun 𝑓)
30		dffun6 6501	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑓 ↔ (Rel 𝑓 ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦))
31	30	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑓 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
32	29, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
33		dffo4 7046	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 ↔ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
34	33	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥)
35	32, 34	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
36	35	eximi 1836	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴 → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
37	28, 36	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴) → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
38	12, 37	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
39		inss1 4187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝑓
40	39	ssbri 5141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦 → 𝑥𝑓𝑦)
41	40	moimi 2543	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
42	41	alimi 1812	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
43		relinxp 5761	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))
44		dffun6 6501	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
45	43, 44	mpbiran 709	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
46	42, 45	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
47	46	funfnd 6521	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
48		rninxp 6135	. . . . . . 7 ⊢ (ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥)
49	48	biimpri 228	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥 → ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴)
50	47, 49	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
51		df-fo 6496	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto→𝐴 ↔ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
52	50, 51	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto→𝐴)
53		vex 3442	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
54	53	inex1 5260	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
55	54	dmex 7849	. . . . 5 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
56	55	fodom 10431	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto→𝐴 → 𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
57		brdom3.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
58		inss2 4188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴)
59		dmss 5849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴) → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴))
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴)
61		dmxpss 6127	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
62	60, 61	sstri 3941	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵
63		ssdomg 8935	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵 → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵))
64	57, 62, 63	mp2 9	. . . . 5 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵
65		domtr 8942	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
66	64, 65	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ 𝐵)
67	52, 56, 66	3syl 18	. . 3 ⊢ ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴 ≼ 𝐵)
68	67	exlimiv 1931	. 2 ⊢ (∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴 ≼ 𝐵)
69	38, 68	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∃*wmo 2535   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  Vcvv 3438   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283   class class class wbr 5096   × cxp 5620  dom cdm 5622  ran crn 5623  Rel wrel 5627  Fun wfun 6484   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  –onto→wfo 6488   ≼ cdom 8879   ≺ csdm 8880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-ac2 10371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-card 9849  df-acn 9852  df-ac 10024

This theorem is referenced by:  brdom5  10437  brdom4  10438