MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brdom3 9948
Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
brdom3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Proof of Theorem brdom3
StepHypRef Expression
1 reldom 8511 . . . . . . . . 9 Rel ≼
21brrelex1i 5595 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
3 0sdomg 8643 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
5 df-ne 3015 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
64, 5syl6bb 290 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = ∅))
76biimpar 481 . . . . 5 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
8 fodomr 8665 . . . . . 6 ((∅ ≺ 𝐴𝐴𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
98ancoms 462 . . . . 5 ((𝐴𝐵 ∧ ∅ ≺ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
107, 9syldan 594 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
11 pm5.6 999 . . . 4 (((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴) ↔ (𝐴𝐵 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)))
1210, 11mpbi 233 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴))
13 br0 5101 . . . . . . . 8 ¬ 𝑥𝑦
1413nex 1802 . . . . . . 7 ¬ ∃𝑦 𝑥𝑦
15 exmo 2626 . . . . . . 7 (∃𝑦 𝑥𝑦 ∨ ∃*𝑦 𝑥𝑦)
1614, 15mtpor 1772 . . . . . 6 ∃*𝑦 𝑥𝑦
1716ax-gen 1797 . . . . 5 𝑥∃*𝑦 𝑥𝑦
18 rzal 4436 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑥)
19 0ex 5197 . . . . . 6 ∅ ∈ V
20 breq 5054 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ∅ → (𝑥𝑓𝑦𝑥𝑦))
2120mobidv 2634 . . . . . . . 8 (𝑓 = ∅ → (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ↔ ∃*𝑦 𝑥𝑦))
2221albidv 1922 . . . . . . 7 (𝑓 = ∅ → (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑦))
23 breq 5054 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ∅ → (𝑦𝑓𝑥𝑦𝑥))
2423rexbidv 3289 . . . . . . . 8 (𝑓 = ∅ → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥))
2524ralbidv 3192 . . . . . . 7 (𝑓 = ∅ → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑥))
2622, 25anbi12d 633 . . . . . 6 (𝑓 = ∅ → ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) ↔ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
2719, 26spcev 3593 . . . . 5 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑥) → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
2817, 18, 27sylancr 590 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
29 fofun 6582 . . . . . . 7 (𝑓:𝐵onto𝐴 → Fun 𝑓)
30 dffun6 6358 . . . . . . . 8 (Fun 𝑓 ↔ (Rel 𝑓 ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦))
3130simprbi 500 . . . . . . 7 (Fun 𝑓 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
3229, 31syl 17 . . . . . 6 (𝑓:𝐵onto𝐴 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
33 dffo4 6860 . . . . . . 7 (𝑓:𝐵onto𝐴 ↔ (𝑓:𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3433simprbi 500 . . . . . 6 (𝑓:𝐵onto𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥)
3532, 34jca 515 . . . . 5 (𝑓:𝐵onto𝐴 → (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3635eximi 1836 . . . 4 (∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴 → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3728, 36jaoi 854 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴) → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3812, 37syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
39 inss1 4190 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝑓
4039ssbri 5097 . . . . . . . . . 10 (𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦𝑥𝑓𝑦)
4140moimi 2629 . . . . . . . . 9 (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
4241alimi 1813 . . . . . . . 8 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
43 relinxp 5674 . . . . . . . . 9 Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))
44 dffun6 6358 . . . . . . . . 9 (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
4543, 44mpbiran 708 . . . . . . . 8 (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
4642, 45sylibr 237 . . . . . . 7 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
4746funfnd 6374 . . . . . 6 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
48 rninxp 6023 . . . . . . 7 (ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥)
4948biimpri 231 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥 → ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴)
5047, 49anim12i 615 . . . . 5 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
51 df-fo 6349 . . . . 5 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴 ↔ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
5250, 51sylibr 237 . . . 4 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴)
53 vex 3483 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
5453inex1 5207 . . . . . 6 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
5554dmex 7611 . . . . 5 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
5655fodom 9943 . . . 4 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
57 brdom3.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
58 inss2 4191 . . . . . . . 8 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴)
59 dmss 5758 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴) → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴))
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴)
61 dmxpss 6015 . . . . . . 7 dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
6260, 61sstri 3962 . . . . . 6 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵
63 ssdomg 8551 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵 → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵))
6457, 62, 63mp2 9 . . . . 5 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵
65 domtr 8558 . . . . 5 ((𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵) → 𝐴𝐵)
6664, 65mpan2 690 . . . 4 (𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → 𝐴𝐵)
6752, 56, 663syl 18 . . 3 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴𝐵)
6867exlimiv 1932 . 2 (∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴𝐵)
6938, 68impbii 212 1 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  wal 1536   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  ∃*wmo 2622  wne 3014  wral 3133  wrex 3134  Vcvv 3480  cin 3918  wss 3919  c0 4276   class class class wbr 5052   × cxp 5540  dom cdm 5542  ran crn 5543  Rel wrel 5547  Fun wfun 6337   Fn wfn 6338  wf 6339  ontowfo 6341  cdom 8503  csdm 8504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-ac2 9883
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-card 9365  df-acn 9368  df-ac 9540
This theorem is referenced by:  brdom5  9949  brdom4  9950
  Copyright terms: Public domain W3C validator