Theorem upwlkbprop 48903

Description: Basic properties of a simple walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 29-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upwlksfval.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upwlksfval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upwlkbprop	⊢ (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))

Proof of Theorem upwlkbprop

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upwlksfval.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		upwlksfval.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	upwlksfval 48900	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ V → (UPWalks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})})
4	3	breqd 5120	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})}𝑃))
5		brabv 5551	. . . . . 6 ⊢ (𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})}𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
6	4, 5	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
7	6	imdistani 578	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃) → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
8		3anass 1111	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
9	7, 8	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
10	9	ex 417	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
11		fvprc 6873	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (UPWalks‘𝐺) = ∅)
12		breq 5111	. . . 4 ⊢ ((UPWalks‘𝐺) = ∅ → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝐹∅𝑃))
13		br0 5160	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐹∅𝑃
14	13	pm2.21i 120	. . . 4 ⊢ (𝐹∅𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
15	12, 14	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ ((UPWalks‘𝐺) = ∅ → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
16	11, 15	syl 18	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
17	10, 16	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455  ∅c0 4286  {cpr 4591   class class class wbr 5109  {copab 5173  dom cdm 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098  ...cfz 13530  ..^cfzo 13678  ♯chash 14362  Word cword 14546  Vtxcvtx 29346  iEdgciedg 29347  UPWalkscupwlks 48898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-upwlks 48899

This theorem is referenced by:  upwlkwlk  48904