Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upwlkbprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upwlkbprop 43864
Description: Basic properties of a simple walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 29-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
upwlksfval.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upwlksfval.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upwlkbprop (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))

Proof of Theorem upwlkbprop
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upwlksfval.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 upwlksfval.i . . . . . . . 8 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
31, 2upwlksfval 43861 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ V → (UPWalks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓𝑘)) = {(𝑝𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})})
43breqd 5074 . . . . . 6 (𝐺 ∈ V → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓𝑘)) = {(𝑝𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})}𝑃))
5 brabv 5450 . . . . . 6 (𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓𝑘)) = {(𝑝𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})}𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
64, 5syl6bi 254 . . . . 5 (𝐺 ∈ V → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
76imdistani 569 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃) → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
8 3anass 1089 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
97, 8sylibr 235 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
109ex 413 . 2 (𝐺 ∈ V → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
11 fvprc 6662 . . 3 𝐺 ∈ V → (UPWalks‘𝐺) = ∅)
12 breq 5065 . . . 4 ((UPWalks‘𝐺) = ∅ → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃𝐹𝑃))
13 br0 5112 . . . . 5 ¬ 𝐹𝑃
1413pm2.21i 119 . . . 4 (𝐹𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
1512, 14syl6bi 254 . . 3 ((UPWalks‘𝐺) = ∅ → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
1611, 15syl 17 . 2 𝐺 ∈ V → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
1710, 16pm2.61i 183 1 (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  Vcvv 3500  c0 4295  {cpr 4566   class class class wbr 5063  {copab 5125  dom cdm 5554  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534  ...cfz 12887  ..^cfzo 13028  chash 13685  Word cword 13856  Vtxcvtx 26714  iEdgciedg 26715  UPWalkscupwlks 43859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-hash 13686  df-word 13857  df-upwlks 43860
This theorem is referenced by:  upwlkwlk  43865
  Copyright terms: Public domain W3C validator