Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upwlkbprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upwlkbprop 46126
Description: Basic properties of a simple walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 29-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
upwlksfval.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
upwlksfval.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
upwlkbprop (𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))

Proof of Theorem upwlkbprop
Dummy variables 𝑓 π‘˜ 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upwlksfval.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 upwlksfval.i . . . . . . . 8 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
31, 2upwlksfval 46123 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ V β†’ (UPWalksβ€˜πΊ) = {βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))})})
43breqd 5117 . . . . . 6 (𝐺 ∈ V β†’ (𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ 𝐹{βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))})}𝑃))
5 brabv 5527 . . . . . 6 (𝐹{βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))})}𝑃 β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
64, 5syl6bi 253 . . . . 5 (𝐺 ∈ V β†’ (𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
76imdistani 570 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
8 3anass 1096 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
97, 8sylibr 233 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
109ex 414 . 2 (𝐺 ∈ V β†’ (𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
11 fvprc 6835 . . 3 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (UPWalksβ€˜πΊ) = βˆ…)
12 breq 5108 . . . 4 ((UPWalksβ€˜πΊ) = βˆ… β†’ (𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ πΉβˆ…π‘ƒ))
13 br0 5155 . . . . 5 Β¬ πΉβˆ…π‘ƒ
1413pm2.21i 119 . . . 4 (πΉβˆ…π‘ƒ β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
1512, 14syl6bi 253 . . 3 ((UPWalksβ€˜πΊ) = βˆ… β†’ (𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
1611, 15syl 17 . 2 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
1710, 16pm2.61i 182 1 (𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444  βˆ…c0 4283  {cpr 4589   class class class wbr 5106  {copab 5168  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059  ...cfz 13430  ..^cfzo 13573  β™―chash 14236  Word cword 14408  Vtxcvtx 27989  iEdgciedg 27990  UPWalkscupwlks 46121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-hash 14237  df-word 14409  df-upwlks 46122
This theorem is referenced by:  upwlkwlk  46127
  Copyright terms: Public domain W3C validator