Theorem upwlkbprop 48829

Description: Basic properties of a simple walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 29-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upwlksfval.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upwlksfval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upwlkbprop	⊢ (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))

Proof of Theorem upwlkbprop

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upwlksfval.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		upwlksfval.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	upwlksfval 48826	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ V → (UPWalks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})})
4	3	breqd 5124	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})}𝑃))
5		brabv 5554	. . . . . 6 ⊢ (𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))})}𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
6	4, 5	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
7	6	imdistani 578	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃) → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
8		3anass 1109	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
9	7, 8	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
10	9	ex 417	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
11		fvprc 6876	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (UPWalks‘𝐺) = ∅)
12		breq 5115	. . . 4 ⊢ ((UPWalks‘𝐺) = ∅ → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝐹∅𝑃))
13		br0 5164	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐹∅𝑃
14	13	pm2.21i 120	. . . 4 ⊢ (𝐹∅𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
15	12, 14	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ ((UPWalks‘𝐺) = ∅ → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
16	11, 15	syl 18	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
17	10, 16	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐹(UPWalks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463  ∅c0 4294  {cpr 4596   class class class wbr 5113  {copab 5177  dom cdm 5664  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  0cc0 11102  1c1 11103   + caddc 11105  ...cfz 13537  ..^cfzo 13684  ♯chash 14368  Word cword 14552  Vtxcvtx 29289  iEdgciedg 29290  UPWalkscupwlks 48824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-upwlks 48825

This theorem is referenced by:  upwlkwlk  48830