Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upwlkbprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upwlkbprop 47311
Description: Basic properties of a simple walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 29-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
upwlksfval.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
upwlksfval.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
upwlkbprop (𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))

Proof of Theorem upwlkbprop
Dummy variables 𝑓 π‘˜ 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upwlksfval.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 upwlksfval.i . . . . . . . 8 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
31, 2upwlksfval 47308 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ V β†’ (UPWalksβ€˜πΊ) = {βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))})})
43breqd 5154 . . . . . 6 (𝐺 ∈ V β†’ (𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ 𝐹{βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))})}𝑃))
5 brabv 5565 . . . . . 6 (𝐹{βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))(πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))})}𝑃 β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
64, 5biimtrdi 252 . . . . 5 (𝐺 ∈ V β†’ (𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
76imdistani 567 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
8 3anass 1092 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
97, 8sylibr 233 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
109ex 411 . 2 (𝐺 ∈ V β†’ (𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
11 fvprc 6883 . . 3 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (UPWalksβ€˜πΊ) = βˆ…)
12 breq 5145 . . . 4 ((UPWalksβ€˜πΊ) = βˆ… β†’ (𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ πΉβˆ…π‘ƒ))
13 br0 5192 . . . . 5 Β¬ πΉβˆ…π‘ƒ
1413pm2.21i 119 . . . 4 (πΉβˆ…π‘ƒ β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
1512, 14biimtrdi 252 . . 3 ((UPWalksβ€˜πΊ) = βˆ… β†’ (𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
1611, 15syl 17 . 2 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
1710, 16pm2.61i 182 1 (𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463  βˆ…c0 4318  {cpr 4626   class class class wbr 5143  {copab 5205  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139  ...cfz 13514  ..^cfzo 13657  β™―chash 14319  Word cword 14494  Vtxcvtx 28851  iEdgciedg 28852  UPWalkscupwlks 47306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-hash 14320  df-word 14495  df-upwlks 47307
This theorem is referenced by:  upwlkwlk  47312
  Copyright terms: Public domain W3C validator