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Theorem isucn2 24104
Description: The predicate "𝐹 is a uniformly continuous function from uniform space π‘ˆ to uniform space 𝑉", expressed with filter bases for the entourages. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isucn2.u π‘ˆ = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝑅)
isucn2.v 𝑉 = ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGen𝑆)
isucn2.1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
isucn2.2 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (UnifOnβ€˜π‘Œ))
isucn2.3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
isucn2.4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (fBasβ€˜(π‘Œ Γ— π‘Œ)))
Assertion
Ref Expression
isucn2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)))))
Distinct variable groups:   𝑠,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝐹   𝑅,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑆,𝑠,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘Ÿ,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑉,𝑠,π‘₯   𝑋,π‘Ÿ,𝑠,π‘₯,𝑦   π‘Œ,𝑠,π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘Ÿ,𝑠,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑠)   𝑆(π‘Ÿ)   𝑉(𝑦,π‘Ÿ)   π‘Œ(π‘Ÿ)
Proof of Theorem isucn2
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isucn2.1 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
2 isucn2.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (UnifOnβ€˜π‘Œ))
3 isucn 24103 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ (UnifOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)))))
41, 2, 3syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)))))
5 breq 5150 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)))
65imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑠 β†’ ((π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
76ralbidv 3176 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
87rexralbidv 3219 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑠 β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
9 simplr 766 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)))
10 isucn2.4 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (fBasβ€˜(π‘Œ Γ— π‘Œ)))
11 ssfg 23696 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (fBasβ€˜(π‘Œ Γ— π‘Œ)) β†’ 𝑆 βŠ† ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGen𝑆))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGen𝑆))
13 isucn2.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGen𝑆)
1412, 13sseqtrrdi 4033 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑉)
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑉)
1615adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑉)
1716sselda 3982 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑠 ∈ 𝑉)
188, 9, 17rspcdva 3613 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)))
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑒 ∈ π‘ˆ)
20 isucn2.u . . . . . . . . . . . 12 π‘ˆ = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝑅)
2119, 20eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑒 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝑅))
22 isucn2.3 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
23 elfg 23695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (𝑒 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝑅) ↔ (𝑒 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 π‘Ÿ βŠ† 𝑒)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝑅) ↔ (𝑒 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 π‘Ÿ βŠ† 𝑒)))
2524simplbda 499 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝑅)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 π‘Ÿ βŠ† 𝑒)
2621, 25syldan 590 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 π‘Ÿ βŠ† 𝑒)
27 ssbr 5192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ÿ βŠ† 𝑒 β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ π‘₯𝑒𝑦))
2827imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ βŠ† 𝑒 β†’ ((π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
2928adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝑒) β†’ ((π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
3029ralrimivw 3149 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝑒) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
3130ralrimivw 3149 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝑒) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
32 ralim 3085 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
3332ralimi 3082 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
34 ralim 3085 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
3531, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝑒) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
3635ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ÿ βŠ† 𝑒 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)))))
3736reximdva 3167 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 π‘Ÿ βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)))))
3837adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 π‘Ÿ βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)))))
3926, 38mpd 15 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
40 r19.37v 3180 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
4241rexlimdva 3154 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
4342ad3antrrr 727 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
4418, 43mpd 15 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)))
4544ralrimiva 3145 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)))
46 ssfg 23696 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ 𝑅 βŠ† ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝑅))
4722, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝑅))
4847, 20sseqtrrdi 4033 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)
49 ssrexv 4051 . . . . . . . . . 10 (𝑅 βŠ† π‘ˆ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
50 breq 5150 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = 𝑒 β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ ↔ π‘₯𝑒𝑦))
5150imbi1d 341 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑒 β†’ ((π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
52512ralbidv 3217 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑒 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
5352cbvrexvw 3234 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)))
5449, 53imbitrdi 250 . . . . . . . . 9 (𝑅 βŠ† π‘ˆ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
5548, 54syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
5655ralimdv 3168 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
5756adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
58 nfv 1916 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑠(πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
59 nfra1 3280 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))
6058, 59nfan 1901 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑠((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)))
61 nfv 1916 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑠 𝑣 ∈ 𝑉
6260, 61nfan 1901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑠(((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)
63 rspa 3244 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)))
6463ad5ant24 758 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)))
65 simp-4l 780 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 βŠ† 𝑣) β†’ (πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ))
66 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 βŠ† 𝑣) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
67 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 βŠ† 𝑣) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑣)
68 ssbr 5192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 βŠ† 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦) β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)))
6968adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 βŠ† 𝑣) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦) β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)))
7069imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 βŠ† 𝑣) β†’ ((π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦))))
7170ralimdv 3168 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 βŠ† 𝑣) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦))))
7271ralimdv 3168 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 βŠ† 𝑣) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦))))
7372reximdv 3169 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 βŠ† 𝑣) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦))))
7465, 66, 67, 73syl21anc 835 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 βŠ† 𝑣) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦))))
7564, 74mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)))
7610ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ (fBasβ€˜(π‘Œ Γ— π‘Œ)))
77 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
7877, 13eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGen𝑆))
79 elfg 23695 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (fBasβ€˜(π‘Œ Γ— π‘Œ)) β†’ (𝑣 ∈ ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGen𝑆) ↔ (𝑣 βŠ† (π‘Œ Γ— π‘Œ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 𝑠 βŠ† 𝑣)))
8079simplbda 499 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ (fBasβ€˜(π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∧ 𝑣 ∈ ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGen𝑆)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 𝑠 βŠ† 𝑣)
8176, 78, 80syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 𝑠 βŠ† 𝑣)
8262, 75, 81r19.29af 3264 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)))
8382ralrimiva 3145 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)))
8483ex 412 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦))))
8557, 84syld 47 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦))))
8685imp 406 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)))
8745, 86impbida 798 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦))))
8887pm5.32da 578 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦))) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)))))
894, 88bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑠(πΉβ€˜π‘¦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  fBascfbas 21221  filGencfg 21222  UnifOncust 24024   Cnucucn 24100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8828  df-fbas 21230  df-fg 21231  df-ust 24025  df-ucn 24101
This theorem is referenced by:  metucn  24400
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