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Theorem resspos 31875
Description: The restriction of a Poset is a Poset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
resspos ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ Poset)

Proof of Theorem resspos
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7393 . 2 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ V)
2 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (𝐹 β†Ύs 𝐴)
3 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
42, 3ressbas 17123 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜πΉ)) = (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)))
5 inss2 4190 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (Baseβ€˜πΉ)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ)
64, 5eqsstrrdi 4000 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ))
76adantl 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ))
8 eqid 2733 . . . . . . 7 (leβ€˜πΉ) = (leβ€˜πΉ)
93, 8ispos 18208 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Poset ↔ (𝐹 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
109simprbi 498 . . . . 5 (𝐹 ∈ Poset β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)))
1110adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)))
12 ssralv 4011 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
1312ralimdv 3163 . . . . . . 7 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
14 ssralv 4011 . . . . . . 7 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
1513, 14syld 47 . . . . . 6 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
1615ralimdv 3163 . . . . 5 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
17 ssralv 4011 . . . . 5 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
1816, 17syld 47 . . . 4 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
197, 11, 18sylc 65 . . 3 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)))
202, 8ressle 17266 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)))
2120adantl 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)))
22 breq 5108 . . . . . . 7 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯))
23 breq 5108 . . . . . . . . 9 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦))
24 breq 5108 . . . . . . . . 9 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯ ↔ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯))
2523, 24anbi12d 632 . . . . . . . 8 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) ↔ (π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯)))
2625imbi1d 342 . . . . . . 7 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
27 breq 5108 . . . . . . . . 9 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧 ↔ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))
2823, 27anbi12d 632 . . . . . . . 8 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) ↔ (π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧)))
29 breq 5108 . . . . . . . 8 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧 ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))
3028, 29imbi12d 345 . . . . . . 7 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧) ↔ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧)))
3122, 26, 303anbi123d 1437 . . . . . 6 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) ↔ (π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3231ralbidv 3171 . . . . 5 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
33322ralbidv 3209 . . . 4 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3421, 33syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3519, 34mpbid 231 . 2 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧)))
36 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))
37 eqid 2733 . . 3 (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))
3836, 37ispos 18208 . 2 ((𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ Poset ↔ ((𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
391, 35, 38sylanbrc 584 1 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ Poset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117  lecple 17145  Posetcpo 18201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-dec 12624  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-ple 17158  df-poset 18207
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