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Theorem resspos 32123
Description: The restriction of a Poset is a Poset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
resspos ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ Poset)
Proof of Theorem resspos
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7440 . 2 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ V)
2 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (𝐹 β†Ύs 𝐴)
3 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
42, 3ressbas 17175 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜πΉ)) = (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)))
5 inss2 4228 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (Baseβ€˜πΉ)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ)
64, 5eqsstrrdi 4036 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ))
76adantl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ))
8 eqid 2732 . . . . . . 7 (leβ€˜πΉ) = (leβ€˜πΉ)
93, 8ispos 18263 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Poset ↔ (𝐹 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
109simprbi 497 . . . . 5 (𝐹 ∈ Poset β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)))
1110adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)))
12 ssralv 4049 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
1312ralimdv 3169 . . . . . . 7 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
14 ssralv 4049 . . . . . . 7 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
1513, 14syld 47 . . . . . 6 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
1615ralimdv 3169 . . . . 5 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
17 ssralv 4049 . . . . 5 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
1816, 17syld 47 . . . 4 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
197, 11, 18sylc 65 . . 3 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)))
202, 8ressle 17321 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)))
2120adantl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)))
22 breq 5149 . . . . . . 7 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯))
23 breq 5149 . . . . . . . . 9 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦))
24 breq 5149 . . . . . . . . 9 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯ ↔ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯))
2523, 24anbi12d 631 . . . . . . . 8 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) ↔ (π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯)))
2625imbi1d 341 . . . . . . 7 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
27 breq 5149 . . . . . . . . 9 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧 ↔ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))
2823, 27anbi12d 631 . . . . . . . 8 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) ↔ (π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧)))
29 breq 5149 . . . . . . . 8 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧 ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))
3028, 29imbi12d 344 . . . . . . 7 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧) ↔ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧)))
3122, 26, 303anbi123d 1436 . . . . . 6 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) ↔ (π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3231ralbidv 3177 . . . . 5 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
33322ralbidv 3218 . . . 4 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3421, 33syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3519, 34mpbid 231 . 2 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧)))
36 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))
37 eqid 2732 . . 3 (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))
3836, 37ispos 18263 . 2 ((𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ Poset ↔ ((𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
391, 35, 38sylanbrc 583 1 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ Poset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  lecple 17200  Posetcpo 18256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-dec 12674  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-ple 17213  df-poset 18262
This theorem is referenced by:  resstos  32124
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