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Theorem resspos 32638
Description: The restriction of a Poset is a Poset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
resspos ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ Poset)
Proof of Theorem resspos
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7439 . 2 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ V)
2 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (𝐹 β†Ύs 𝐴)
3 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
42, 3ressbas 17185 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜πΉ)) = (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)))
5 inss2 4224 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (Baseβ€˜πΉ)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ)
64, 5eqsstrrdi 4032 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ))
76adantl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ))
8 eqid 2726 . . . . . . 7 (leβ€˜πΉ) = (leβ€˜πΉ)
93, 8ispos 18276 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Poset ↔ (𝐹 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
109simprbi 496 . . . . 5 (𝐹 ∈ Poset β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)))
1110adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)))
12 ssralv 4045 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
1312ralimdv 3163 . . . . . . 7 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
14 ssralv 4045 . . . . . . 7 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
1513, 14syld 47 . . . . . 6 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
1615ralimdv 3163 . . . . 5 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
17 ssralv 4045 . . . . 5 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
1816, 17syld 47 . . . 4 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
197, 11, 18sylc 65 . . 3 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)))
202, 8ressle 17331 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)))
2120adantl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)))
22 breq 5143 . . . . . . 7 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯))
23 breq 5143 . . . . . . . . 9 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦))
24 breq 5143 . . . . . . . . 9 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯ ↔ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯))
2523, 24anbi12d 630 . . . . . . . 8 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) ↔ (π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯)))
2625imbi1d 341 . . . . . . 7 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
27 breq 5143 . . . . . . . . 9 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧 ↔ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))
2823, 27anbi12d 630 . . . . . . . 8 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) ↔ (π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧)))
29 breq 5143 . . . . . . . 8 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧 ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))
3028, 29imbi12d 344 . . . . . . 7 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧) ↔ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧)))
3122, 26, 303anbi123d 1432 . . . . . 6 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) ↔ (π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3231ralbidv 3171 . . . . 5 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
33322ralbidv 3212 . . . 4 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3421, 33syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3519, 34mpbid 231 . 2 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧)))
36 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))
37 eqid 2726 . . 3 (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))
3836, 37ispos 18276 . 2 ((𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ Poset ↔ ((𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
391, 35, 38sylanbrc 582 1 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ Poset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150   β†Ύs cress 17179  lecple 17210  Posetcpo 18269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-dec 12679  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-ple 17223  df-poset 18275
This theorem is referenced by:  resstos  32639
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