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Theorem resspos 32714
Description: The restriction of a Poset is a Poset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
resspos ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ Poset)
Proof of Theorem resspos
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7461 . 2 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ V)
2 eqid 2728 . . . . . . 7 (𝐹 β†Ύs 𝐴) = (𝐹 β†Ύs 𝐴)
3 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
42, 3ressbas 17222 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜πΉ)) = (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)))
5 inss2 4232 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (Baseβ€˜πΉ)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ)
64, 5eqsstrrdi 4037 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ))
76adantl 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ))
8 eqid 2728 . . . . . . 7 (leβ€˜πΉ) = (leβ€˜πΉ)
93, 8ispos 18313 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Poset ↔ (𝐹 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
109simprbi 495 . . . . 5 (𝐹 ∈ Poset β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)))
1110adantr 479 . . . 4 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)))
12 ssralv 4050 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
1312ralimdv 3166 . . . . . . 7 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
14 ssralv 4050 . . . . . . 7 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
1513, 14syld 47 . . . . . 6 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
1615ralimdv 3166 . . . . 5 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
17 ssralv 4050 . . . . 5 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
1816, 17syld 47 . . . 4 ((Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΉ)(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧))))
197, 11, 18sylc 65 . . 3 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)))
202, 8ressle 17368 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)))
2120adantl 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)))
22 breq 5154 . . . . . . 7 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯))
23 breq 5154 . . . . . . . . 9 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦))
24 breq 5154 . . . . . . . . 9 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯ ↔ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯))
2523, 24anbi12d 630 . . . . . . . 8 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) ↔ (π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯)))
2625imbi1d 340 . . . . . . 7 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
27 breq 5154 . . . . . . . . 9 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧 ↔ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))
2823, 27anbi12d 630 . . . . . . . 8 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) ↔ (π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧)))
29 breq 5154 . . . . . . . 8 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧 ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))
3028, 29imbi12d 343 . . . . . . 7 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧) ↔ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧)))
3122, 26, 303anbi123d 1432 . . . . . 6 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) ↔ (π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3231ralbidv 3175 . . . . 5 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
33322ralbidv 3216 . . . 4 ((leβ€˜πΉ) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3421, 33syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜πΉ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΉ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΉ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3519, 34mpbid 231 . 2 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧)))
36 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))
37 eqid 2728 . . 3 (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴)) = (leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))
3836, 37ispos 18313 . 2 ((𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ Poset ↔ ((𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐹 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
391, 35, 38sylanbrc 581 1 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύs 𝐴) ∈ Poset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216  lecple 17247  Posetcpo 18306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-dec 12716  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-ple 17260  df-poset 18312
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