Theorem acycgr0v 34438

Description: A null graph (with no vertices) is an acyclic graph. (Contributed by BTernaryTau, 11-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
acycgr0v.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
acycgr0v	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 = ∅) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Proof of Theorem acycgr0v

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		br0 5197	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑓∅𝑝
2		df-cycls 29312	. . . . . . . . . 10 ⊢ Cycles = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Paths‘𝑔)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(♯‘𝑓)))})
3	2	relmptopab 7660	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (Cycles‘𝐺)
4		cycliswlk 29323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
5		df-br 5149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Cycles‘𝐺))
6		df-br 5149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ↔ ⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
7	4, 5, 6	3imtr3i 291	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Cycles‘𝐺) → ⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
8	3, 7	relssi 5787	. . . . . . . 8 ⊢ (Cycles‘𝐺) ⊆ (Walks‘𝐺)
9		acycgr0v.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10	9	eqeq1i 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ∅ ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅)
11		g0wlk0 29177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)
12	10, 11	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)
13	8, 12	sseqtrid 4034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 = ∅ → (Cycles‘𝐺) ⊆ ∅)
14		ss0 4398	. . . . . . 7 ⊢ ((Cycles‘𝐺) ⊆ ∅ → (Cycles‘𝐺) = ∅)
15		breq 5150	. . . . . . . 8 ⊢ ((Cycles‘𝐺) = ∅ → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ 𝑓∅𝑝))
16	15	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ ((Cycles‘𝐺) = ∅ → (¬ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ¬ 𝑓∅𝑝))
17	13, 14, 16	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = ∅ → (¬ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ¬ 𝑓∅𝑝))
18	1, 17	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝)
19	18	intnanrd 489	. . . 4 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
20	19	nexdv 1938	. . 3 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
21	20	nexdv 1938	. 2 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
22		isacycgr 34435	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
23	22	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)
24	21, 23	sylan2 592	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 = ∅) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  Vcvv 3473   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  0cc0 11114  ♯chash 14295  Vtxcvtx 28524  Walkscwlks 29121  Pathscpths 29237  Cyclesccycls 29310  AcyclicGraphcacycgr 34432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-wlks 29124  df-trls 29217  df-pths 29241  df-cycls 29312  df-acycgr 34433

This theorem is referenced by: (None)