Theorem acycgr0v 36024

Description: A null graph (with no vertices) is an acyclic graph. (Contributed by BTernaryTau, 11-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
acycgr0v.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
acycgr0v	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 = ∅) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Proof of Theorem acycgr0v

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		br0 5156	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑓∅𝑝
2		df-cycls 30386	. . . . . . . . . 10 ⊢ Cycles = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Paths‘𝑔)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(♯‘𝑓)))})
3	2	relmptopab 7678	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (Cycles‘𝐺)
4		cycliswlk 30398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
5		df-br 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Cycles‘𝐺))
6		df-br 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ↔ ⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
7	4, 5, 6	3imtr3i 294	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Cycles‘𝐺) → ⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
8	3, 7	relssi 5767	. . . . . . . 8 ⊢ (Cycles‘𝐺) ⊆ (Walks‘𝐺)
9		acycgr0v.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10	9	eqeq1i 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ∅ ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅)
11		g0wlk0 30243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)
12	10, 11	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)
13	8, 12	sseqtrid 3954	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 = ∅ → (Cycles‘𝐺) ⊆ ∅)
14		ss0 4354	. . . . . . 7 ⊢ ((Cycles‘𝐺) ⊆ ∅ → (Cycles‘𝐺) = ∅)
15		breq 5107	. . . . . . . 8 ⊢ ((Cycles‘𝐺) = ∅ → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ 𝑓∅𝑝))
16	15	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ ((Cycles‘𝐺) = ∅ → (¬ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ¬ 𝑓∅𝑝))
17	13, 14, 16	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = ∅ → (¬ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ¬ 𝑓∅𝑝))
18	1, 17	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝)
19	18	intnanrd 495	. . . 4 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
20	19	nexdv 1970	. . 3 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
21	20	nexdv 1970	. 2 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
22		isacycgr 30763	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
23	22	biimpar 483	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)
24	21, 23	sylan2 605	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 = ∅) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  ⟨cop 4837   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  0cc0 11210  ♯chash 14484  Vtxcvtx 29586  Walkscwlks 30189  Pathscpths 30307  Cyclesccycls 30384  AcyclicGraphcacycgr 30760

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-hash 14485  df-word 14669  df-wlks 30192  df-trls 30287  df-pths 30311  df-cycls 30386  df-acycgr 30761

This theorem is used by: (None)