MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rtrclind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rtrclind 14412
Description: Principle of transitive induction. The first four hypotheses give various existences, the next four give necessary substitutions and the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclind.1 (𝜂 → Rel 𝑅)
rtrclind.2 (𝜂𝑅 ∈ V)
rtrclind.3 (𝜂𝑆 ∈ V)
rtrclind.4 (𝜂𝑋 ∈ V)
rtrclind.5 (𝑖 = 𝑆 → (𝜑𝜒))
rtrclind.6 (𝑖 = 𝑥 → (𝜑𝜓))
rtrclind.7 (𝑖 = 𝑗 → (𝜑𝜃))
rtrclind.8 (𝑥 = 𝑋 → (𝜓𝜏))
rtrclind.9 (𝜂𝜒)
rtrclind.10 (𝜂 → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃𝜓)))
Assertion
Ref Expression
rtrclind (𝜂 → (𝑆(t*‘𝑅)𝑋𝜏))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑖,𝑗   𝑥,𝑆,𝑖,𝑗   𝑥,𝑋   𝜂,𝑥,𝑖,𝑗   𝜏,𝑥   𝜓,𝑖,𝑗   𝜃,𝑖   𝜑,𝑗,𝑥   𝜒,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥,𝑗)   𝜃(𝑥,𝑗)   𝜏(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem rtrclind
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rtrclind.1 . . 3 (𝜂 → Rel 𝑅)
2 rtrclind.2 . . 3 (𝜂𝑅 ∈ V)
31, 2dfrtrcl2 14409 . 2 (𝜂 → (t*‘𝑅) = (t*rec‘𝑅))
41, 2dfrtrclrec2 14404 . . . . . 6 (𝜂 → (𝑆(t*rec‘𝑅)𝑋 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑋))
54biimpac 479 . . . . 5 ((𝑆(t*rec‘𝑅)𝑋𝜂) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑋)
6 simprl 767 . . . . . . . . . 10 ((𝑆(t*rec‘𝑅)𝑋 ∧ (𝜂 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑋𝑛 ∈ ℕ0))) → 𝜂)
7 simprrr 778 . . . . . . . . . 10 ((𝑆(t*rec‘𝑅)𝑋 ∧ (𝜂 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑋𝑛 ∈ ℕ0))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
8 simprrl 777 . . . . . . . . . 10 ((𝑆(t*rec‘𝑅)𝑋 ∧ (𝜂 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑋𝑛 ∈ ℕ0))) → 𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑋)
9 rtrclind.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜂𝑆 ∈ V)
10 rtrclind.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜂𝑋 ∈ V)
11 rtrclind.5 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑆 → (𝜑𝜒))
12 rtrclind.6 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑥 → (𝜑𝜓))
13 rtrclind.7 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝜑𝜃))
14 rtrclind.8 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝜓𝜏))
15 rtrclind.9 . . . . . . . . . . 11 (𝜂𝜒)
16 rtrclind.10 . . . . . . . . . . 11 (𝜂 → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃𝜓)))
171, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16relexpind 14411 . . . . . . . . . 10 (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑋𝜏)))
186, 7, 8, 17syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((𝑆(t*rec‘𝑅)𝑋 ∧ (𝜂 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑋𝑛 ∈ ℕ0))) → 𝜏)
1918anassrs 468 . . . . . . . 8 (((𝑆(t*rec‘𝑅)𝑋𝜂) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑋𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝜏)
2019expcom 414 . . . . . . 7 ((𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑋𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑆(t*rec‘𝑅)𝑋𝜂) → 𝜏))
2120expcom 414 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑋 → ((𝑆(t*rec‘𝑅)𝑋𝜂) → 𝜏)))
2221rexlimiv 3277 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑋 → ((𝑆(t*rec‘𝑅)𝑋𝜂) → 𝜏))
235, 22mpcom 38 . . . 4 ((𝑆(t*rec‘𝑅)𝑋𝜂) → 𝜏)
2423expcom 414 . . 3 (𝜂 → (𝑆(t*rec‘𝑅)𝑋𝜏))
25 breq 5059 . . . 4 ((t*‘𝑅) = (t*rec‘𝑅) → (𝑆(t*‘𝑅)𝑋𝑆(t*rec‘𝑅)𝑋))
2625imbi1d 343 . . 3 ((t*‘𝑅) = (t*rec‘𝑅) → ((𝑆(t*‘𝑅)𝑋𝜏) ↔ (𝑆(t*rec‘𝑅)𝑋𝜏)))
2724, 26syl5ibr 247 . 2 ((t*‘𝑅) = (t*rec‘𝑅) → (𝜂 → (𝑆(t*‘𝑅)𝑋𝜏)))
283, 27mpcom 38 1 (𝜂 → (𝑆(t*‘𝑅)𝑋𝜏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  Vcvv 3492   class class class wbr 5057  Rel wrel 5553  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cn0 11885  t*crtcl 14334  𝑟crelexp 14367  t*reccrtrcl 14402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13358  df-rtrcl 14336  df-relexp 14368  df-rtrclrec 14403
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator