MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rtrclind Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rtrclind 15016
Description: Principle of transitive induction. The first three hypotheses give various existences, the next four give necessary substitutions and the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by AV, 13-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclind.1 (πœ‚ β†’ Rel 𝑅)
rtrclind.2 (πœ‚ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
rtrclind.3 (πœ‚ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
rtrclind.4 (𝑖 = 𝑆 β†’ (πœ‘ ↔ πœ’))
rtrclind.5 (𝑖 = π‘₯ β†’ (πœ‘ ↔ πœ“))
rtrclind.6 (𝑖 = 𝑗 β†’ (πœ‘ ↔ πœƒ))
rtrclind.7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πœ“ ↔ 𝜏))
rtrclind.8 (πœ‚ β†’ πœ’)
rtrclind.9 (πœ‚ β†’ (𝑗𝑅π‘₯ β†’ (πœƒ β†’ πœ“)))
Assertion
Ref Expression
rtrclind (πœ‚ β†’ (𝑆(t*β€˜π‘…)𝑋 β†’ 𝜏))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅,𝑖,𝑗   π‘₯,𝑆,𝑖,𝑗   π‘₯,𝑋   πœ‚,π‘₯,𝑖,𝑗   𝜏,π‘₯   πœ“,𝑖,𝑗   πœƒ,𝑖   πœ‘,𝑗,π‘₯   πœ’,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖)   πœ“(π‘₯)   πœ’(π‘₯,𝑗)   πœƒ(π‘₯,𝑗)   𝜏(𝑖,𝑗)   𝑉(π‘₯,𝑖,𝑗)   π‘Š(π‘₯,𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)
Proof of Theorem rtrclind
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rtrclind.1 . . 3 (πœ‚ β†’ Rel 𝑅)
21dfrtrcl2 15013 . 2 (πœ‚ β†’ (t*β€˜π‘…) = (t*recβ€˜π‘…))
31dfrtrclrec2 15009 . . . . . 6 (πœ‚ β†’ (𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋))
43biimpac 477 . . . . 5 ((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ πœ‚) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋)
5 simprl 767 . . . . . . . . . 10 ((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ (πœ‚ ∧ (𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0))) β†’ πœ‚)
6 simprrr 778 . . . . . . . . . 10 ((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ (πœ‚ ∧ (𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
7 simprrl 777 . . . . . . . . . 10 ((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ (πœ‚ ∧ (𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0))) β†’ 𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋)
8 rtrclind.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‚ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
9 rtrclind.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‚ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
10 rtrclind.4 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑆 β†’ (πœ‘ ↔ πœ’))
11 rtrclind.5 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = π‘₯ β†’ (πœ‘ ↔ πœ“))
12 rtrclind.6 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 β†’ (πœ‘ ↔ πœƒ))
13 rtrclind.7 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πœ“ ↔ 𝜏))
14 rtrclind.8 . . . . . . . . . . 11 (πœ‚ β†’ πœ’)
15 rtrclind.9 . . . . . . . . . . 11 (πœ‚ β†’ (𝑗𝑅π‘₯ β†’ (πœƒ β†’ πœ“)))
161, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15relexpind 15015 . . . . . . . . . 10 (πœ‚ β†’ (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋 β†’ 𝜏)))
175, 6, 7, 16syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ (πœ‚ ∧ (𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0))) β†’ 𝜏)
1817anassrs 466 . . . . . . . 8 (((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ πœ‚) ∧ (𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ 𝜏)
1918expcom 412 . . . . . . 7 ((𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ πœ‚) β†’ 𝜏))
2019expcom 412 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋 β†’ ((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ πœ‚) β†’ 𝜏)))
2120rexlimiv 3146 . . . . 5 (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋 β†’ ((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ πœ‚) β†’ 𝜏))
224, 21mpcom 38 . . . 4 ((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ πœ‚) β†’ 𝜏)
2322expcom 412 . . 3 (πœ‚ β†’ (𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 β†’ 𝜏))
24 breq 5149 . . . 4 ((t*β€˜π‘…) = (t*recβ€˜π‘…) β†’ (𝑆(t*β€˜π‘…)𝑋 ↔ 𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋))
2524imbi1d 340 . . 3 ((t*β€˜π‘…) = (t*recβ€˜π‘…) β†’ ((𝑆(t*β€˜π‘…)𝑋 β†’ 𝜏) ↔ (𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 β†’ 𝜏)))
2623, 25imbitrrid 245 . 2 ((t*β€˜π‘…) = (t*recβ€˜π‘…) β†’ (πœ‚ β†’ (𝑆(t*β€˜π‘…)𝑋 β†’ 𝜏)))
272, 26mpcom 38 1 (πœ‚ β†’ (𝑆(t*β€˜π‘…)𝑋 β†’ 𝜏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147  Rel wrel 5680  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„•0cn0 12476  t*crtcl 14937  β†‘π‘Ÿcrelexp 14970  t*reccrtrcl 15006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-rtrcl 14939  df-relexp 14971  df-rtrclrec 15007
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator