MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rtrclind Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rtrclind 15054
Description: Principle of transitive induction. The first three hypotheses give various existences, the next four give necessary substitutions and the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by AV, 13-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclind.1 (πœ‚ β†’ Rel 𝑅)
rtrclind.2 (πœ‚ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
rtrclind.3 (πœ‚ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
rtrclind.4 (𝑖 = 𝑆 β†’ (πœ‘ ↔ πœ’))
rtrclind.5 (𝑖 = π‘₯ β†’ (πœ‘ ↔ πœ“))
rtrclind.6 (𝑖 = 𝑗 β†’ (πœ‘ ↔ πœƒ))
rtrclind.7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πœ“ ↔ 𝜏))
rtrclind.8 (πœ‚ β†’ πœ’)
rtrclind.9 (πœ‚ β†’ (𝑗𝑅π‘₯ β†’ (πœƒ β†’ πœ“)))
Assertion
Ref Expression
rtrclind (πœ‚ β†’ (𝑆(t*β€˜π‘…)𝑋 β†’ 𝜏))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅,𝑖,𝑗   π‘₯,𝑆,𝑖,𝑗   π‘₯,𝑋   πœ‚,π‘₯,𝑖,𝑗   𝜏,π‘₯   πœ“,𝑖,𝑗   πœƒ,𝑖   πœ‘,𝑗,π‘₯   πœ’,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖)   πœ“(π‘₯)   πœ’(π‘₯,𝑗)   πœƒ(π‘₯,𝑗)   𝜏(𝑖,𝑗)   𝑉(π‘₯,𝑖,𝑗)   π‘Š(π‘₯,𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)
Proof of Theorem rtrclind
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rtrclind.1 . . 3 (πœ‚ β†’ Rel 𝑅)
21dfrtrcl2 15051 . 2 (πœ‚ β†’ (t*β€˜π‘…) = (t*recβ€˜π‘…))
31dfrtrclrec2 15047 . . . . . 6 (πœ‚ β†’ (𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋))
43biimpac 477 . . . . 5 ((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ πœ‚) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋)
5 simprl 769 . . . . . . . . . 10 ((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ (πœ‚ ∧ (𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0))) β†’ πœ‚)
6 simprrr 780 . . . . . . . . . 10 ((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ (πœ‚ ∧ (𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
7 simprrl 779 . . . . . . . . . 10 ((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ (πœ‚ ∧ (𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0))) β†’ 𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋)
8 rtrclind.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‚ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
9 rtrclind.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‚ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
10 rtrclind.4 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑆 β†’ (πœ‘ ↔ πœ’))
11 rtrclind.5 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = π‘₯ β†’ (πœ‘ ↔ πœ“))
12 rtrclind.6 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 β†’ (πœ‘ ↔ πœƒ))
13 rtrclind.7 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πœ“ ↔ 𝜏))
14 rtrclind.8 . . . . . . . . . . 11 (πœ‚ β†’ πœ’)
15 rtrclind.9 . . . . . . . . . . 11 (πœ‚ β†’ (𝑗𝑅π‘₯ β†’ (πœƒ β†’ πœ“)))
161, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15relexpind 15053 . . . . . . . . . 10 (πœ‚ β†’ (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋 β†’ 𝜏)))
175, 6, 7, 16syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ (πœ‚ ∧ (𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0))) β†’ 𝜏)
1817anassrs 466 . . . . . . . 8 (((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ πœ‚) ∧ (𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ 𝜏)
1918expcom 412 . . . . . . 7 ((𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ πœ‚) β†’ 𝜏))
2019expcom 412 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋 β†’ ((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ πœ‚) β†’ 𝜏)))
2120rexlimiv 3145 . . . . 5 (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑆(π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›)𝑋 β†’ ((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ πœ‚) β†’ 𝜏))
224, 21mpcom 38 . . . 4 ((𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 ∧ πœ‚) β†’ 𝜏)
2322expcom 412 . . 3 (πœ‚ β†’ (𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 β†’ 𝜏))
24 breq 5154 . . . 4 ((t*β€˜π‘…) = (t*recβ€˜π‘…) β†’ (𝑆(t*β€˜π‘…)𝑋 ↔ 𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋))
2524imbi1d 340 . . 3 ((t*β€˜π‘…) = (t*recβ€˜π‘…) β†’ ((𝑆(t*β€˜π‘…)𝑋 β†’ 𝜏) ↔ (𝑆(t*recβ€˜π‘…)𝑋 β†’ 𝜏)))
2623, 25imbitrrid 245 . 2 ((t*β€˜π‘…) = (t*recβ€˜π‘…) β†’ (πœ‚ β†’ (𝑆(t*β€˜π‘…)𝑋 β†’ 𝜏)))
272, 26mpcom 38 1 (πœ‚ β†’ (𝑆(t*β€˜π‘…)𝑋 β†’ 𝜏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  Rel wrel 5687  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„•0cn0 12512  t*crtcl 14975  β†‘π‘Ÿcrelexp 15008  t*reccrtrcl 15044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-seq 14009  df-rtrcl 14977  df-relexp 15009  df-rtrclrec 15045
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator