Theorem prclisacycgr 36114

Description: A proper class (representing a null graph, see vtxvalprc 29680) has the property of an acyclic graph (see also acycgr0v 36111). (Contributed by BTernaryTau, 11-Oct-2023.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
prclisacycgr.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
prclisacycgr	⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑝,𝐺   𝑓,𝑉,𝑝

Proof of Theorem prclisacycgr

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prclisacycgr.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		fvprc 6908	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (Vtx‘𝐺) = ∅)
3	1, 2	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑉 = ∅)
4		br0 5160	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑓∅𝑝
5		df-cycls 30431	. . . . . . . . . 10 ⊢ Cycles = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Paths‘𝑔)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(♯‘𝑓)))})
6	5	relmptopab 7703	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (Cycles‘𝐺)
7		cycliswlk 30443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
8		df-br 5109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Cycles‘𝐺))
9		df-br 5109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ↔ ⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
10	7, 8, 9	3imtr3i 294	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Cycles‘𝐺) → ⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
11	6, 10	relssi 5772	. . . . . . . 8 ⊢ (Cycles‘𝐺) ⊆ (Walks‘𝐺)
12	1	eqeq1i 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ∅ ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅)
13		g0wlk0 30288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)
14	12, 13	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)
15	11, 14	sseqtrid 3955	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 = ∅ → (Cycles‘𝐺) ⊆ ∅)
16		ss0 4355	. . . . . . 7 ⊢ ((Cycles‘𝐺) ⊆ ∅ → (Cycles‘𝐺) = ∅)
17		breq 5110	. . . . . . . 8 ⊢ ((Cycles‘𝐺) = ∅ → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ 𝑓∅𝑝))
18	17	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ ((Cycles‘𝐺) = ∅ → (¬ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ¬ 𝑓∅𝑝))
19	15, 16, 18	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = ∅ → (¬ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ¬ 𝑓∅𝑝))
20	4, 19	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝)
21	20	intnanrd 495	. . . 4 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
22	21	nexdv 1971	. . 3 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
23	22	nexdv 1971	. 2 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
24	3, 23	syl 18	1 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ⟨cop 4840   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  0cc0 11239  ♯chash 14515  Vtxcvtx 29631  Walkscwlks 30234  Pathscpths 30352  Cyclesccycls 30429

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-wlks 30237  df-trls 30332  df-pths 30356  df-cycls 30431

This theorem is used by: (None)