Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prclisacycgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prclisacycgr 32642
 Description: A proper class (representing a null graph, see vtxvalprc 26951) has the property of an acyclic graph (see also acycgr0v 32639). (Contributed by BTernaryTau, 11-Oct-2023.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
prclisacycgr.1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
prclisacycgr 𝐺 ∈ V → ¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑝,𝐺   𝑓,𝑉,𝑝

Proof of Theorem prclisacycgr
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prclisacycgr.1 . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 fvprc 6655 . . 3 𝐺 ∈ V → (Vtx‘𝐺) = ∅)
31, 2syl5eq 2805 . 2 𝐺 ∈ V → 𝑉 = ∅)
4 br0 5085 . . . . . 6 ¬ 𝑓𝑝
5 df-cycls 27689 . . . . . . . . . 10 Cycles = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Paths‘𝑔)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(♯‘𝑓)))})
65relmptopab 7397 . . . . . . . . 9 Rel (Cycles‘𝐺)
7 cycliswlk 27700 . . . . . . . . . 10 (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
8 df-br 5037 . . . . . . . . . 10 (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Cycles‘𝐺))
9 df-br 5037 . . . . . . . . . 10 (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ↔ ⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
107, 8, 93imtr3i 294 . . . . . . . . 9 (⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Cycles‘𝐺) → ⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
116, 10relssi 5634 . . . . . . . 8 (Cycles‘𝐺) ⊆ (Walks‘𝐺)
121eqeq1i 2763 . . . . . . . . 9 (𝑉 = ∅ ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅)
13 g0wlk0 27554 . . . . . . . . 9 ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)
1412, 13sylbi 220 . . . . . . . 8 (𝑉 = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)
1511, 14sseqtrid 3946 . . . . . . 7 (𝑉 = ∅ → (Cycles‘𝐺) ⊆ ∅)
16 ss0 4297 . . . . . . 7 ((Cycles‘𝐺) ⊆ ∅ → (Cycles‘𝐺) = ∅)
17 breq 5038 . . . . . . . 8 ((Cycles‘𝐺) = ∅ → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓𝑝))
1817notbid 321 . . . . . . 7 ((Cycles‘𝐺) = ∅ → (¬ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ¬ 𝑓𝑝))
1915, 16, 183syl 18 . . . . . 6 (𝑉 = ∅ → (¬ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ¬ 𝑓𝑝))
204, 19mpbiri 261 . . . . 5 (𝑉 = ∅ → ¬ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝)
2120intnanrd 493 . . . 4 (𝑉 = ∅ → ¬ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
2221nexdv 1937 . . 3 (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
2322nexdv 1937 . 2 (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
243, 23syl 17 1 𝐺 ∈ V → ¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  ⟨cop 4531   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  0cc0 10588  ♯chash 13753  Vtxcvtx 26902  Walkscwlks 27499  Pathscpths 27614  Cyclesccycls 27687 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-hash 13754  df-word 13927  df-wlks 27502  df-trls 27595  df-pths 27618  df-cycls 27689 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator