Theorem prclisacycgr 35541

Description: A proper class (representing a null graph, see vtxvalprc 29335) has the property of an acyclic graph (see also acycgr0v 35538). (Contributed by BTernaryTau, 11-Oct-2023.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
prclisacycgr.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
prclisacycgr	⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑝,𝐺   𝑓,𝑉,𝑝

Proof of Theorem prclisacycgr

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prclisacycgr.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		fvprc 6874	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (Vtx‘𝐺) = ∅)
3	1, 2	eqtrid 2816	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑉 = ∅)
4		br0 5164	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑓∅𝑝
5		df-cycls 30076	. . . . . . . . . 10 ⊢ Cycles = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Paths‘𝑔)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(♯‘𝑓)))})
6	5	relmptopab 7661	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (Cycles‘𝐺)
7		cycliswlk 30087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
8		df-br 5114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Cycles‘𝐺))
9		df-br 5114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ↔ ⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
10	7, 8, 9	3imtr3i 294	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Cycles‘𝐺) → ⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
11	6, 10	relssi 5774	. . . . . . . 8 ⊢ (Cycles‘𝐺) ⊆ (Walks‘𝐺)
12	1	eqeq1i 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ∅ ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅)
13		g0wlk0 29940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)
14	12, 13	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)
15	11, 14	sseqtrid 3987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 = ∅ → (Cycles‘𝐺) ⊆ ∅)
16		ss0 4366	. . . . . . 7 ⊢ ((Cycles‘𝐺) ⊆ ∅ → (Cycles‘𝐺) = ∅)
17		breq 5115	. . . . . . . 8 ⊢ ((Cycles‘𝐺) = ∅ → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ 𝑓∅𝑝))
18	17	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ ((Cycles‘𝐺) = ∅ → (¬ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ¬ 𝑓∅𝑝))
19	15, 16, 18	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = ∅ → (¬ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ¬ 𝑓∅𝑝))
20	4, 19	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝)
21	20	intnanrd 494	. . . 4 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
22	21	nexdv 1963	. . 3 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
23	22	nexdv 1963	. 2 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
24	3, 23	syl 18	1 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ⟨cop 4600   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  0cc0 11099  ♯chash 14365  Vtxcvtx 29286  Walkscwlks 29886  Pathscpths 29999  Cyclesccycls 30074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-wlks 29889  df-trls 29980  df-pths 30003  df-cycls 30076

This theorem is referenced by: (None)