Theorem prclisacycgr 35136

Description: A proper class (representing a null graph, see vtxvalprc 29077) has the property of an acyclic graph (see also acycgr0v 35133). (Contributed by BTernaryTau, 11-Oct-2023.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
prclisacycgr.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
prclisacycgr	⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑝,𝐺   𝑓,𝑉,𝑝

Proof of Theorem prclisacycgr

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prclisacycgr.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		fvprc 6899	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (Vtx‘𝐺) = ∅)
3	1, 2	eqtrid 2787	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑉 = ∅)
4		br0 5197	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑓∅𝑝
5		df-cycls 29820	. . . . . . . . . 10 ⊢ Cycles = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Paths‘𝑔)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(♯‘𝑓)))})
6	5	relmptopab 7683	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (Cycles‘𝐺)
7		cycliswlk 29831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
8		df-br 5149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Cycles‘𝐺))
9		df-br 5149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ↔ ⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
10	7, 8, 9	3imtr3i 291	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Cycles‘𝐺) → ⟨𝑓, 𝑝⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
11	6, 10	relssi 5800	. . . . . . . 8 ⊢ (Cycles‘𝐺) ⊆ (Walks‘𝐺)
12	1	eqeq1i 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ∅ ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅)
13		g0wlk0 29685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)
14	12, 13	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)
15	11, 14	sseqtrid 4048	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 = ∅ → (Cycles‘𝐺) ⊆ ∅)
16		ss0 4408	. . . . . . 7 ⊢ ((Cycles‘𝐺) ⊆ ∅ → (Cycles‘𝐺) = ∅)
17		breq 5150	. . . . . . . 8 ⊢ ((Cycles‘𝐺) = ∅ → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ 𝑓∅𝑝))
18	17	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ ((Cycles‘𝐺) = ∅ → (¬ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ¬ 𝑓∅𝑝))
19	15, 16, 18	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = ∅ → (¬ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ¬ 𝑓∅𝑝))
20	4, 19	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝)
21	20	intnanrd 489	. . . 4 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
22	21	nexdv 1934	. . 3 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
23	22	nexdv 1934	. 2 ⊢ (𝑉 = ∅ → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
24	3, 23	syl 17	1 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  0cc0 11153  ♯chash 14366  Vtxcvtx 29028  Walkscwlks 29629  Pathscpths 29745  Cyclesccycls 29818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-wlks 29632  df-trls 29725  df-pths 29749  df-cycls 29820

This theorem is referenced by: (None)