Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | brdom7disj.2 |
. . 3
⊢ 𝐵 ∈ V |
2 | 1 | brdom4 10030 |
. 2
⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑔(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 𝑥𝑔𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑔𝑥)) |
3 | | incom 4091 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵) |
4 | | brdom7disj.3 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ |
5 | 3, 4 | eqtri 2761 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = ∅ |
6 | | disjne 4344 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐵 ∩ 𝐴) = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝑤) |
7 | 5, 6 | mp3an1 1449 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝑤) |
8 | | vex 3402 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝑥 ∈ V |
9 | | vex 3402 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝑦 ∈ V |
10 | | vex 3402 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝑧 ∈ V |
11 | | vex 3402 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝑤 ∈ V |
12 | 8, 9, 10, 11 | opthpr 4737 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ≠ 𝑤 → ({𝑥, 𝑦} = {𝑧, 𝑤} ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤))) |
13 | 7, 12 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ({𝑥, 𝑦} = {𝑧, 𝑤} ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤))) |
14 | | equcom 2030 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑧 ↔ 𝑧 = 𝑥) |
15 | | equcom 2030 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑦 = 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑦) |
16 | 14, 15 | anbi12i 630 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) ↔ (𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦)) |
17 | 13, 16 | bitr2di 291 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) ↔ {𝑥, 𝑦} = {𝑧, 𝑤})) |
18 | | df-br 5031 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧𝑔𝑤 ↔ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔) |
19 | 18 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑧𝑔𝑤 ↔ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)) |
20 | 17, 19 | anbi12d 634 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) ∧ 𝑧𝑔𝑤) ↔ ({𝑥, 𝑦} = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔))) |
21 | 20 | rexbidva 3206 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (∃𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) ∧ 𝑧𝑔𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ({𝑥, 𝑦} = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔))) |
22 | 21 | rexbidv 3207 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) ∧ 𝑧𝑔𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐴 ({𝑥, 𝑦} = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔))) |
23 | | rexcom 3259 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑧 ∈
𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐴 ({𝑥, 𝑦} = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 ({𝑥, 𝑦} = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)) |
24 | | zfpair2 5297 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ {𝑥, 𝑦} ∈ V |
25 | | eqeq1 2742 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑣 = {𝑥, 𝑦} → (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ↔ {𝑥, 𝑦} = {𝑧, 𝑤})) |
26 | 25 | anbi1d 633 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑣 = {𝑥, 𝑦} → ((𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔) ↔ ({𝑥, 𝑦} = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔))) |
27 | 26 | 2rexbidv 3210 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑣 = {𝑥, 𝑦} → (∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 ({𝑥, 𝑦} = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔))) |
28 | 24, 27 | elab 3573 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ({𝑥, 𝑦} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 ({𝑥, 𝑦} = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)) |
29 | 23, 28 | bitr4i 281 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑧 ∈
𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐴 ({𝑥, 𝑦} = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔) ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)}) |
30 | 22, 29 | bitr2di 291 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ({𝑥, 𝑦} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) ∧ 𝑧𝑔𝑤))) |
31 | 30 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ({𝑥, 𝑦} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) ∧ 𝑧𝑔𝑤))) |
32 | | breq1 5033 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑔𝑤 ↔ 𝑥𝑔𝑤)) |
33 | | breq2 5034 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥𝑔𝑤 ↔ 𝑥𝑔𝑦)) |
34 | 32, 33 | ceqsrex2v 3554 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) ∧ 𝑧𝑔𝑤) ↔ 𝑥𝑔𝑦)) |
35 | 31, 34 | bitrd 282 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ({𝑥, 𝑦} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} ↔ 𝑥𝑔𝑦)) |
36 | 35 | rmobidva 3296 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (∃*𝑦 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} ↔ ∃*𝑦 ∈ 𝐴 𝑥𝑔𝑦)) |
37 | 36 | ralbiia 3079 |
. . . . 5
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 𝑥𝑔𝑦) |
38 | | zfpair2 5297 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ {𝑦, 𝑥} ∈ V |
39 | | eqeq1 2742 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑣 = {𝑦, 𝑥} → (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ↔ {𝑦, 𝑥} = {𝑧, 𝑤})) |
40 | 39 | anbi1d 633 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑣 = {𝑦, 𝑥} → ((𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔) ↔ ({𝑦, 𝑥} = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔))) |
41 | 40 | 2rexbidv 3210 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑣 = {𝑦, 𝑥} → (∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 ({𝑦, 𝑥} = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔))) |
42 | 38, 41 | elab 3573 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑦, 𝑥} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 ({𝑦, 𝑥} = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)) |
43 | | disjne 4344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐵 ∩ 𝐴) = ∅ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≠ 𝑥) |
44 | 5, 43 | mp3an1 1449 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≠ 𝑥) |
45 | 44 | ancoms 462 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ≠ 𝑥) |
46 | 10, 11, 9, 8 | opthpr 4737 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 ≠ 𝑥 → ({𝑧, 𝑤} = {𝑦, 𝑥} ↔ (𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑤 = 𝑥))) |
47 | 45, 46 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ({𝑧, 𝑤} = {𝑦, 𝑥} ↔ (𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑤 = 𝑥))) |
48 | | eqcom 2745 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ({𝑦, 𝑥} = {𝑧, 𝑤} ↔ {𝑧, 𝑤} = {𝑦, 𝑥}) |
49 | | ancom 464 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑧 = 𝑦) ↔ (𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑤 = 𝑥)) |
50 | 47, 48, 49 | 3bitr4g 317 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ({𝑦, 𝑥} = {𝑧, 𝑤} ↔ (𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑧 = 𝑦))) |
51 | 18 | bicomi 227 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔 ↔ 𝑧𝑔𝑤) |
52 | 51 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔 ↔ 𝑧𝑔𝑤)) |
53 | 50, 52 | anbi12d 634 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (({𝑦, 𝑥} = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔) ↔ ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑧 = 𝑦) ∧ 𝑧𝑔𝑤))) |
54 | 53 | rexbidva 3206 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑧 ∈ 𝐵 ({𝑦, 𝑥} = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑧 = 𝑦) ∧ 𝑧𝑔𝑤))) |
55 | 54 | rexbidv 3207 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 ({𝑦, 𝑥} = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑧 = 𝑦) ∧ 𝑧𝑔𝑤))) |
56 | 42, 55 | syl5bb 286 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ({𝑦, 𝑥} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑧 = 𝑦) ∧ 𝑧𝑔𝑤))) |
57 | 56 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ({𝑦, 𝑥} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑧 = 𝑦) ∧ 𝑧𝑔𝑤))) |
58 | | breq2 5034 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑧𝑔𝑤 ↔ 𝑧𝑔𝑥)) |
59 | | breq1 5033 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝑔𝑥 ↔ 𝑦𝑔𝑥)) |
60 | 58, 59 | ceqsrex2v 3554 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑤 = 𝑥 ∧ 𝑧 = 𝑦) ∧ 𝑧𝑔𝑤) ↔ 𝑦𝑔𝑥)) |
61 | 57, 60 | bitrd 282 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ({𝑦, 𝑥} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} ↔ 𝑦𝑔𝑥)) |
62 | 61 | rexbidva 3206 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑦, 𝑥} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑔𝑥)) |
63 | 62 | ralbiia 3079 |
. . . . 5
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑦, 𝑥} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑔𝑥) |
64 | | brdom7disj.1 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐴 ∈ V |
65 | | snex 5298 |
. . . . . . . 8
⊢ {{𝑧, 𝑤}} ∈ V |
66 | | simpl 486 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔) → 𝑣 = {𝑧, 𝑤}) |
67 | 66 | ss2abi 3956 |
. . . . . . . . 9
⊢ {𝑣 ∣ (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} ⊆ {𝑣 ∣ 𝑣 = {𝑧, 𝑤}} |
68 | | df-sn 4517 |
. . . . . . . . 9
⊢ {{𝑧, 𝑤}} = {𝑣 ∣ 𝑣 = {𝑧, 𝑤}} |
69 | 67, 68 | sseqtrri 3914 |
. . . . . . . 8
⊢ {𝑣 ∣ (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} ⊆ {{𝑧, 𝑤}} |
70 | 65, 69 | ssexi 5190 |
. . . . . . 7
⊢ {𝑣 ∣ (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} ∈ V |
71 | 64, 1, 70 | ab2rexex2 7706 |
. . . . . 6
⊢ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} ∈ V |
72 | | eleq2 2821 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑓 = {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝑓 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)})) |
73 | 72 | rmobidv 3297 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑓 = {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} → (∃*𝑦 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑓 ↔ ∃*𝑦 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)})) |
74 | 73 | ralbidv 3109 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑓 = {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)})) |
75 | | eleq2 2821 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑓 = {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} → ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝑓 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)})) |
76 | 75 | rexbidv 3207 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑓 = {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} → (∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑦, 𝑥} ∈ 𝑓 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑦, 𝑥} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)})) |
77 | 76 | ralbidv 3109 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑓 = {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑦, 𝑥} ∈ 𝑓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑦, 𝑥} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)})) |
78 | 74, 77 | anbi12d 634 |
. . . . . 6
⊢ (𝑓 = {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} → ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑓 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑦, 𝑥} ∈ 𝑓) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑦, 𝑥} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)}))) |
79 | 71, 78 | spcev 3510 |
. . . . 5
⊢
((∀𝑥 ∈
𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑦, 𝑥} ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑣 = {𝑧, 𝑤} ∧ 〈𝑧, 𝑤〉 ∈ 𝑔)}) → ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑓 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑦, 𝑥} ∈ 𝑓)) |
80 | 37, 63, 79 | syl2anbr 602 |
. . . 4
⊢
((∀𝑥 ∈
𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 𝑥𝑔𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑔𝑥) → ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑓 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑦, 𝑥} ∈ 𝑓)) |
81 | 80 | exlimiv 1937 |
. . 3
⊢
(∃𝑔(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 𝑥𝑔𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑔𝑥) → ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑓 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑦, 𝑥} ∈ 𝑓)) |
82 | | preq1 4624 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑤 = 𝑥 → {𝑤, 𝑧} = {𝑥, 𝑧}) |
83 | 82 | eleq1d 2817 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑤 = 𝑥 → ({𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝑓)) |
84 | | preq2 4625 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = 𝑦 → {𝑥, 𝑧} = {𝑥, 𝑦}) |
85 | 84 | eleq1d 2817 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝑓 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑓)) |
86 | | eqid 2738 |
. . . . . . . 8
⊢
{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓} = {〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓} |
87 | 8, 9, 83, 85, 86 | brab 5398 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓}𝑦 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑓) |
88 | 87 | rmobii 3299 |
. . . . . 6
⊢
(∃*𝑦 ∈
𝐴 𝑥{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓}𝑦 ↔ ∃*𝑦 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑓) |
89 | 88 | ralbii 3080 |
. . . . 5
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 𝑥{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓}𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑓) |
90 | | preq1 4624 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑤 = 𝑦 → {𝑤, 𝑧} = {𝑦, 𝑧}) |
91 | 90 | eleq1d 2817 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑤 = 𝑦 → ({𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝑓)) |
92 | | preq2 4625 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = 𝑥 → {𝑦, 𝑧} = {𝑦, 𝑥}) |
93 | 92 | eleq1d 2817 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑧 = 𝑥 → ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝑓 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝑓)) |
94 | 9, 8, 91, 93, 86 | brab 5398 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓}𝑥 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝑓) |
95 | 94 | rexbii 3161 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑦 ∈
𝐵 𝑦{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓}𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑦, 𝑥} ∈ 𝑓) |
96 | 95 | ralbii 3080 |
. . . . 5
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓}𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑦, 𝑥} ∈ 𝑓) |
97 | | df-opab 5093 |
. . . . . . 7
⊢
{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓} = {𝑣 ∣ ∃𝑤∃𝑧(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓)} |
98 | | vuniex 7483 |
. . . . . . . 8
⊢ ∪ 𝑓
∈ V |
99 | 11 | prid1 4653 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝑤 ∈ {𝑤, 𝑧} |
100 | | elunii 4801 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑤 ∈ {𝑤, 𝑧} ∧ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓) → 𝑤 ∈ ∪ 𝑓) |
101 | 99, 100 | mpan 690 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓 → 𝑤 ∈ ∪ 𝑓) |
102 | 101 | adantl 485 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓) → 𝑤 ∈ ∪ 𝑓) |
103 | 102 | exlimiv 1937 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑧(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓) → 𝑤 ∈ ∪ 𝑓) |
104 | 10 | prid2 4654 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝑧 ∈ {𝑤, 𝑧} |
105 | | elunii 4801 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑧 ∈ {𝑤, 𝑧} ∧ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑓) |
106 | 104, 105 | mpan 690 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓 → 𝑧 ∈ ∪ 𝑓) |
107 | 106 | adantl 485 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑓) |
108 | | df-sn 4517 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
{〈𝑤, 𝑧〉} = {𝑣 ∣ 𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉} |
109 | | snex 5298 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
{〈𝑤, 𝑧〉} ∈
V |
110 | 108, 109 | eqeltrri 2830 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑣 ∣ 𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉} ∈ V |
111 | | simpl 486 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓) → 𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉) |
112 | 111 | ss2abi 3956 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑣 ∣ (𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓)} ⊆ {𝑣 ∣ 𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉} |
113 | 110, 112 | ssexi 5190 |
. . . . . . . . 9
⊢ {𝑣 ∣ (𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓)} ∈ V |
114 | 98, 107, 113 | abexex 7697 |
. . . . . . . 8
⊢ {𝑣 ∣ ∃𝑧(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓)} ∈ V |
115 | 98, 103, 114 | abexex 7697 |
. . . . . . 7
⊢ {𝑣 ∣ ∃𝑤∃𝑧(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓)} ∈ V |
116 | 97, 115 | eqeltri 2829 |
. . . . . 6
⊢
{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓} ∈ V |
117 | | breq 5032 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑔 = {〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓} → (𝑥𝑔𝑦 ↔ 𝑥{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓}𝑦)) |
118 | 117 | rmobidv 3297 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑔 = {〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓} → (∃*𝑦 ∈ 𝐴 𝑥𝑔𝑦 ↔ ∃*𝑦 ∈ 𝐴 𝑥{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓}𝑦)) |
119 | 118 | ralbidv 3109 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = {〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓} → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 𝑥𝑔𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 𝑥{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓}𝑦)) |
120 | | breq 5032 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑔 = {〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓} → (𝑦𝑔𝑥 ↔ 𝑦{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓}𝑥)) |
121 | 120 | rexbidv 3207 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑔 = {〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓} → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑔𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓}𝑥)) |
122 | 121 | ralbidv 3109 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = {〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓} → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑔𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓}𝑥)) |
123 | 119, 122 | anbi12d 634 |
. . . . . 6
⊢ (𝑔 = {〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓} → ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 𝑥𝑔𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑔𝑥) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 𝑥{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓}𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓}𝑥))) |
124 | 116, 123 | spcev 3510 |
. . . . 5
⊢
((∀𝑥 ∈
𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 𝑥{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓}𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ {𝑤, 𝑧} ∈ 𝑓}𝑥) → ∃𝑔(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 𝑥𝑔𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑔𝑥)) |
125 | 89, 96, 124 | syl2anbr 602 |
. . . 4
⊢
((∀𝑥 ∈
𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑓 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑦, 𝑥} ∈ 𝑓) → ∃𝑔(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 𝑥𝑔𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑔𝑥)) |
126 | 125 | exlimiv 1937 |
. . 3
⊢
(∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑓 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑦, 𝑥} ∈ 𝑓) → ∃𝑔(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 𝑥𝑔𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑔𝑥)) |
127 | 81, 126 | impbii 212 |
. 2
⊢
(∃𝑔(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 𝑥𝑔𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑔𝑥) ↔ ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑓 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑦, 𝑥} ∈ 𝑓)) |
128 | 2, 127 | bitri 278 |
1
⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑓 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 {𝑦, 𝑥} ∈ 𝑓)) |