MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efglem 19506
Description: Lemma for efgval 19507. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
Assertion
Ref Expression
efglem βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))
Distinct variable groups:   𝑦,π‘Ÿ,𝑧,𝑛,π‘₯,π‘Š   𝑛,𝐼,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝑧

Proof of Theorem efglem
StepHypRef Expression
1 xpider 8733 . 2 (π‘Š Γ— π‘Š) Er π‘Š
2 simpll 766 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 2o)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Š)
3 efgval.w . . . . . . . . 9 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
4 fviss 6922 . . . . . . . . 9 ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
53, 4eqsstri 3982 . . . . . . . 8 π‘Š βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
65, 2sselid 3946 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 2o)) β†’ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
7 opelxpi 5674 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 2o) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ (𝐼 Γ— 2o))
87adantl 483 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 2o)) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ (𝐼 Γ— 2o))
9 2oconcl 8453 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 2o β†’ (1o βˆ– 𝑧) ∈ 2o)
10 opelxpi 5674 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ (1o βˆ– 𝑧) ∈ 2o) β†’ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 Γ— 2o))
119, 10sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 2o) β†’ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 Γ— 2o))
1211adantl 483 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 2o)) β†’ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 Γ— 2o))
138, 12s2cld 14769 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 2o)) β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
14 splcl 14649 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
156, 13, 14syl2anc 585 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 2o)) β†’ (π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
163efgrcl 19505 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
1716simprd 497 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ π‘Š β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
1817ad2antrr 725 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 2o)) β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
1915, 18eleqtrrd 2837 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 2o)) β†’ (π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©) ∈ π‘Š)
20 brxp 5685 . . . . 5 (π‘₯(π‘Š Γ— π‘Š)(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ (π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©) ∈ π‘Š))
212, 19, 20sylanbrc 584 . . . 4 (((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 2o)) β†’ π‘₯(π‘Š Γ— π‘Š)(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))
2221ralrimivva 3194 . . 3 ((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯(π‘Š Γ— π‘Š)(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))
2322rgen2 3191 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯(π‘Š Γ— π‘Š)(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)
243fvexi 6860 . . . 4 π‘Š ∈ V
2524, 24xpex 7691 . . 3 (π‘Š Γ— π‘Š) ∈ V
26 ereq1 8661 . . . 4 (π‘Ÿ = (π‘Š Γ— π‘Š) β†’ (π‘Ÿ Er π‘Š ↔ (π‘Š Γ— π‘Š) Er π‘Š))
27 breq 5111 . . . . . 6 (π‘Ÿ = (π‘Š Γ— π‘Š) β†’ (π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©) ↔ π‘₯(π‘Š Γ— π‘Š)(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)))
28272ralbidv 3209 . . . . 5 (π‘Ÿ = (π‘Š Γ— π‘Š) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯(π‘Š Γ— π‘Š)(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)))
29282ralbidv 3209 . . . 4 (π‘Ÿ = (π‘Š Γ— π‘Š) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯(π‘Š Γ— π‘Š)(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)))
3026, 29anbi12d 632 . . 3 (π‘Ÿ = (π‘Š Γ— π‘Š) β†’ ((π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)) ↔ ((π‘Š Γ— π‘Š) Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯(π‘Š Γ— π‘Š)(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))))
3125, 30spcev 3567 . 2 (((π‘Š Γ— π‘Š) Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯(π‘Š Γ— π‘Š)(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)))
321, 23, 31mp2an 691 1 βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911  βŸ¨cop 4596  βŸ¨cotp 4598   class class class wbr 5109   I cid 5534   Γ— cxp 5635  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1oc1o 8409  2oc2o 8410   Er wer 8651  0cc0 11059  ...cfz 13433  β™―chash 14239  Word cword 14411   splice csplice 14646  βŸ¨β€œcs2 14739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-splice 14647  df-s2 14746
This theorem is referenced by:  efgval  19507  efger  19508
  Copyright terms: Public domain W3C validator