MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iducn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iducn 24218
Description: The identity is uniformly continuous from a uniform structure to itself. Example 1 of [BourbakiTop1] p. II.6. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
iducn (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) ∈ (π‘ˆ Cnuπ‘ˆ))
Proof of Theorem iducn
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6874 . . 3 ( I β†Ύ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋
2 f1of 6836 . . 3 (( I β†Ύ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋 β†’ ( I β†Ύ 𝑋):π‘‹βŸΆπ‘‹)
31, 2mp1i 13 . 2 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋):π‘‹βŸΆπ‘‹)
4 simpr 483 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑠 ∈ π‘ˆ)
5 fvresi 7180 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯) = π‘₯)
6 fvresi 7180 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦) = 𝑦)
75, 6breqan12d 5164 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦) ↔ π‘₯𝑠𝑦))
87biimprd 247 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑠𝑦 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
98adantl 480 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑠𝑦 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
109ralrimivva 3191 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑠𝑦 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
11 breq 5150 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ ↔ π‘₯𝑠𝑦))
1211imbi1d 340 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ ((π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯𝑠𝑦 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦))))
13122ralbidv 3209 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑠𝑦 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦))))
1413rspcev 3607 . . . 4 ((𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑠𝑦 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
154, 10, 14syl2anc 582 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
1615ralrimiva 3136 . 2 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘  ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
17 isucn 24213 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ (( I β†Ύ 𝑋) ∈ (π‘ˆ Cnuπ‘ˆ) ↔ (( I β†Ύ 𝑋):π‘‹βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))))
1817anidms 565 . 2 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (( I β†Ύ 𝑋) ∈ (π‘ˆ Cnuπ‘ˆ) ↔ (( I β†Ύ 𝑋):π‘‹βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))))
193, 16, 18mpbir2and 711 1 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) ∈ (π‘ˆ Cnuπ‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5148   I cid 5574   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6543  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6546  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417  UnifOncust 24134   Cnucucn 24210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-map 8845  df-ust 24135  df-ucn 24211
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator