MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iducn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iducn 23788
Description: The identity is uniformly continuous from a uniform structure to itself. Example 1 of [BourbakiTop1] p. II.6. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
iducn (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) ∈ (π‘ˆ Cnuπ‘ˆ))
Proof of Theorem iducn
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6872 . . 3 ( I β†Ύ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋
2 f1of 6834 . . 3 (( I β†Ύ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋 β†’ ( I β†Ύ 𝑋):π‘‹βŸΆπ‘‹)
31, 2mp1i 13 . 2 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋):π‘‹βŸΆπ‘‹)
4 simpr 486 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑠 ∈ π‘ˆ)
5 fvresi 7171 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯) = π‘₯)
6 fvresi 7171 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦) = 𝑦)
75, 6breqan12d 5165 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦) ↔ π‘₯𝑠𝑦))
87biimprd 247 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑠𝑦 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
98adantl 483 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑠𝑦 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
109ralrimivva 3201 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑠𝑦 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
11 breq 5151 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ ↔ π‘₯𝑠𝑦))
1211imbi1d 342 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ ((π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯𝑠𝑦 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦))))
13122ralbidv 3219 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑠𝑦 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦))))
1413rspcev 3613 . . . 4 ((𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑠𝑦 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
154, 10, 14syl2anc 585 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
1615ralrimiva 3147 . 2 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘  ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
17 isucn 23783 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ (( I β†Ύ 𝑋) ∈ (π‘ˆ Cnuπ‘ˆ) ↔ (( I β†Ύ 𝑋):π‘‹βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))))
1817anidms 568 . 2 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (( I β†Ύ 𝑋) ∈ (π‘ˆ Cnuπ‘ˆ) ↔ (( I β†Ύ 𝑋):π‘‹βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))))
193, 16, 18mpbir2and 712 1 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) ∈ (π‘ˆ Cnuπ‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149   I cid 5574   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  UnifOncust 23704   Cnucucn 23780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-ust 23705  df-ucn 23781
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator