MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iducn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iducn 24175
Description: The identity is uniformly continuous from a uniform structure to itself. Example 1 of [BourbakiTop1] p. II.6. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
iducn (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) ∈ (π‘ˆ Cnuπ‘ˆ))
Proof of Theorem iducn
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6871 . . 3 ( I β†Ύ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋
2 f1of 6833 . . 3 (( I β†Ύ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋 β†’ ( I β†Ύ 𝑋):π‘‹βŸΆπ‘‹)
31, 2mp1i 13 . 2 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋):π‘‹βŸΆπ‘‹)
4 simpr 484 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑠 ∈ π‘ˆ)
5 fvresi 7176 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯) = π‘₯)
6 fvresi 7176 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦) = 𝑦)
75, 6breqan12d 5158 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦) ↔ π‘₯𝑠𝑦))
87biimprd 247 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑠𝑦 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
98adantl 481 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑠𝑦 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
109ralrimivva 3195 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑠𝑦 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
11 breq 5144 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ ↔ π‘₯𝑠𝑦))
1211imbi1d 341 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ ((π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯𝑠𝑦 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦))))
13122ralbidv 3213 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑠𝑦 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦))))
1413rspcev 3607 . . . 4 ((𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑠𝑦 β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
154, 10, 14syl2anc 583 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
1615ralrimiva 3141 . 2 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘  ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
17 isucn 24170 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹)) β†’ (( I β†Ύ 𝑋) ∈ (π‘ˆ Cnuπ‘ˆ) ↔ (( I β†Ύ 𝑋):π‘‹βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))))
1817anidms 566 . 2 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (( I β†Ύ 𝑋) ∈ (π‘ˆ Cnuπ‘ˆ) ↔ (( I β†Ύ 𝑋):π‘‹βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘  ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)𝑠(( I β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))))
193, 16, 18mpbir2and 712 1 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) ∈ (π‘ˆ Cnuπ‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142   I cid 5569   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  UnifOncust 24091   Cnucucn 24167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8838  df-ust 24092  df-ucn 24168
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator