Theorem mat1ric 20800

Description: A ring is isomorphic to the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 30-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mat1ric.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mat1ric	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ≃𝑟 𝐴)

Proof of Theorem mat1ric

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		mat1ric.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
3		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
4		eqid 2778	. . . 4 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ = ⟨𝐸, 𝐸⟩
5		opeq2 4678	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑥⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑦⟩)
6	5	sneqd 4453	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑥⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑦⟩})
7	6	cbvmptv 5028	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑥⟩}) = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑦⟩})
8	1, 2, 3, 4, 7	mat1rngiso 20799	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑥⟩}) ∈ (𝑅 RingIso 𝐴))
9	8	ne0d 4187	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑅 RingIso 𝐴) ≠ ∅)
10		brric 19222	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝐴 ↔ (𝑅 RingIso 𝐴) ≠ ∅)
11	9, 10	sylibr 226	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ≃𝑟 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  ∅c0 4178  {csn 4441  ⟨cop 4447   class class class wbr 4929   ↦ cmpt 5008  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  Ringcrg 19020   RingIso crs 19188   ≃_𝑟 cric 19189   Mat cmat 20720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-ot 4450  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-hash 13506  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-hom 16445  df-cco 16446  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-prds 16577  df-pws 16579  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-ghm 18127  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-rnghom 19190  df-rngiso 19191  df-ric 19193  df-subrg 19256  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-sra 19666  df-rgmod 19667  df-dsmm 20578  df-frlm 20593  df-mamu 20697  df-mat 20721

This theorem is referenced by: (None)