Theorem mat1ric 22817

Description: A ring is isomorphic to the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 30-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mat1ric.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mat1ric	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ≃𝑟 𝐴)

Proof of Theorem mat1ric

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		mat1ric.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ = ⟨𝐸, 𝐸⟩
5		opeq2 4844	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑥⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑦⟩)
6	5	sneqd 4596	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑥⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑦⟩})
7	6	cbvmptv 5212	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑥⟩}) = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑦⟩})
8	1, 2, 3, 4, 7	mat1rngiso 22816	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑥⟩}) ∈ (𝑅 RingIso 𝐴))
9	8	ne0d 4291	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑅 RingIso 𝐴) ≠ ∅)
10		brric 20760	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝐴 ↔ (𝑅 RingIso 𝐴) ≠ ∅)
11	9, 10	sylibr 237	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ≃𝑟 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  Ringcrg 20474   RingIso crs 20715   ≃_𝑟 cric 20716   Mat cmat 22737

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-sup 9447  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-seq 14158  df-hash 14488  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-hom 17467  df-cco 17468  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-prds 17633  df-pws 17635  df-mre 17771  df-mrc 17772  df-acs 17774  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-mhm 18993  df-submnd 18994  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-mulg 19293  df-subg 19348  df-ghm 19443  df-cntz 19546  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-rhm 20717  df-rim 20718  df-ric 20758  df-subrg 20837  df-lmod 21152  df-lss 21222  df-sra 21463  df-rgmod 21464  df-dsmm 22053  df-frlm 22068  df-mamu 22721  df-mat 22738

This theorem is used by: (None)