Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  riccrng1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riccrng1 41401
Description: Ring isomorphism preserves (multiplicative) commutativity. (Contributed by SN, 10-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
riccrng1 ((𝑅 β‰ƒπ‘Ÿ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑆 ∈ CRing)

Proof of Theorem riccrng1
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brric 20396 . . 3 (𝑅 β‰ƒπ‘Ÿ 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) β‰  βˆ…)
2 n0 4346 . . 3 ((𝑅 RingIso 𝑆) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
31, 2bitri 275 . 2 (𝑅 β‰ƒπ‘Ÿ 𝑆 ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
4 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
5 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
64, 5rimf1o 20386 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘…)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘†))
7 f1ofo 6840 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(Baseβ€˜π‘…)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘†) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘…)–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘†))
8 foima 6810 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(Baseβ€˜π‘…)–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘†) β†’ (𝑓 β€œ (Baseβ€˜π‘…)) = (Baseβ€˜π‘†))
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ (𝑓 β€œ (Baseβ€˜π‘…)) = (Baseβ€˜π‘†))
109oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ (𝑆 β†Ύs (𝑓 β€œ (Baseβ€˜π‘…))) = (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)))
11 rimrcl2 41396 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
125ressid 17194 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring β†’ (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)) = 𝑆)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)) = 𝑆)
1410, 13eqtr2d 2772 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ 𝑆 = (𝑆 β†Ύs (𝑓 β€œ (Baseβ€˜π‘…))))
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑆 = (𝑆 β†Ύs (𝑓 β€œ (Baseβ€˜π‘…))))
16 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑆 β†Ύs (𝑓 β€œ (Baseβ€˜π‘…))) = (𝑆 β†Ύs (𝑓 β€œ (Baseβ€˜π‘…)))
17 rimrhm 20388 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ 𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
1817adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
19 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
2019crngringd 20141 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
214subrgid 20464 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
2316, 18, 19, 22imacrhmcl 41394 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑆 β†Ύs (𝑓 β€œ (Baseβ€˜π‘…))) ∈ CRing)
2415, 23eqeltrd 2832 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
2524ex 412 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑆 ∈ CRing))
2625exlimiv 1932 . . 3 (βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑆 ∈ CRing))
2726imp 406 . 2 ((βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
283, 27sylanb 580 1 ((𝑅 β‰ƒπ‘Ÿ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   β€œ cima 5679  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129   RingHom crh 20361   RingIso crs 20362   β‰ƒπ‘Ÿ cric 20363  SubRingcsubrg 20458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-rhm 20364  df-rim 20365  df-ric 20367  df-subrng 20435  df-subrg 20460
This theorem is referenced by:  riccrng  41402
  Copyright terms: Public domain W3C validator