Theorem riccrng1 41045

Description: Ring isomorphism preserves (multiplicative) commutativity. (Contributed by SN, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
riccrng1	⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑆 ∈ CRing)

Proof of Theorem riccrng1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brric 20272	. . 3 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4345	. . 3 ⊢ ((𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 275	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
4		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
6	4, 5	rimf1o 20261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆))
7		f1ofo 6837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆))
8		foima 6807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆) → (𝑓 “ (Base‘𝑅)) = (Base‘𝑆))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑓 “ (Base‘𝑅)) = (Base‘𝑆))
10	9	oveq2d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))) = (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))
11		rimrcl2 41040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
12	5	ressid 17185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
14	10, 13	eqtr2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑆 = (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))))
15	14	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑆 = (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))))
16		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))) = (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅)))
17		rimrhm 20263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
18	17	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
19		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
20	19	crngringd 20060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
21	4	subrgid 20353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
23	16, 18, 19, 22	imacrhmcl 41038	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))) ∈ CRing)
24	15, 23	eqeltrd 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑆 ∈ CRing)
25	24	ex 414	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ CRing → 𝑆 ∈ CRing))
26	25	exlimiv 1934	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ CRing → 𝑆 ∈ CRing))
27	26	imp 408	. 2 ⊢ ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑆 ∈ CRing)
28	3, 27	sylanb 582	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑆 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∅c0 4321   class class class wbr 5147   “ cima 5678  –onto→wfo 6538  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  Ringcrg 20047  CRingccrg 20048   RingHom crh 20237   RingIso crs 20238   ≃_𝑟 cric 20239  SubRingcsubrg 20347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cmn 19643  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-cring 20050  df-rnghom 20240  df-rngiso 20241  df-ric 20243  df-subrg 20349

This theorem is referenced by:  riccrng  41046