Theorem matcpmric 22724

Description: The ring of matrices over a commutative ring is isomorphic to the ring of scalar matrices over the same ring. (Contributed by AV, 30-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matcpmric.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matcpmric.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
matcpmric.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
matcpmric.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
matcpmric.u	⊢ 𝑈 = (𝐶 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
matcpmric	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ≃𝑟 𝑈)

Proof of Theorem matcpmric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matcpmric.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑁 matToPolyMat 𝑅) = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
3		matcpmric.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
5		matcpmric.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		matcpmric.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
7		matcpmric.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝐶 ↾s 𝑆)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	m2cpmrngiso 22723	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 matToPolyMat 𝑅) ∈ (𝐴 RingIso 𝑈))
9	8	ne0d 4282	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐴 RingIso 𝑈) ≠ ∅)
10		brric 20481	. 2 ⊢ (𝐴 ≃𝑟 𝑈 ↔ (𝐴 RingIso 𝑈) ≠ ∅)
11	9, 10	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ≃𝑟 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∅c0 4273   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  CRingccrg 20215   RingIso crs 20450   ≃_𝑟 cric 20451  Poly₁cpl1 22140   Mat cmat 22372   ConstPolyMat ccpmat 22668   matToPolyMat cmat2pmat 22669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-srg 20168  df-ring 20216  df-cring 20217  df-rhm 20452  df-rim 20453  df-ric 20455  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-dsmm 21712  df-frlm 21727  df-assa 21833  df-ascl 21835  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891  df-opsr 21893  df-psr1 22143  df-vr1 22144  df-ply1 22145  df-coe1 22146  df-mamu 22356  df-mat 22373  df-cpmat 22671  df-mat2pmat 22672  df-cpmat2mat 22673

This theorem is referenced by: (None)