Theorem pwsco2rhm 20453

Description: Left composition with a ring homomorphism yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsco2rhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
pwsco2rhm.z	⊢ 𝑍 = (𝑆 ↑s 𝐴)
pwsco2rhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsco2rhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
pwsco2rhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
pwsco2rhm	⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,𝑌   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem pwsco2rhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsco2rhm.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2		rhmrcl1 20429	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		pwsco2rhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		pwsco2rhm.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
6	5	pwsring 20276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
7	3, 4, 6	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
8		rhmrcl2 20430	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
9	1, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
10		pwsco2rhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑆 ↑s 𝐴)
11	10	pwsring 20276	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ Ring)
12	9, 4, 11	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
13		pwsco2rhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
14		rhmghm 20436	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
15	1, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
16		ghmmhm 19172	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
18	5, 10, 13, 4, 17	pwsco2mhm 18772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑍))
19		ringgrp 20190	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
20	7, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
21		ringgrp 20190	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Grp)
22	12, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Grp)
23		ghmmhmb 19173	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ Grp) → (𝑌 GrpHom 𝑍) = (𝑌 MndHom 𝑍))
24	20, 22, 23	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 GrpHom 𝑍) = (𝑌 MndHom 𝑍))
25	18, 24	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
26		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)
27		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)
28		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
29		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
30		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
31	29, 30	rhmmhm 20432	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
32	1, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
33	26, 27, 28, 4, 32	pwsco2mhm 18772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) MndHom ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
34		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
35	5, 34	pwsbas 17421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘𝑌))
36	3, 4, 35	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘𝑌))
37	36, 13	eqtr4di 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = 𝐵)
38	29	ringmgp 20191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
39	3, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
40	29, 34	mgpbas 20097	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
41	26, 40	pwsbas 17421	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
42	39, 4, 41	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
43	37, 42	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
44	43	mpteq1d 5190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)))
45		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
46		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍)))
47		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
48		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
49		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
50		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
51	5, 29, 26, 47, 48, 28, 49, 50	pwsmgp 20279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
52	3, 4, 51	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
53	52	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
54		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
55		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
56		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))
57		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
58		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))
59	10, 30, 27, 54, 55, 56, 57, 58	pwsmgp 20279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))))
60	9, 4, 59	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))))
61	60	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
62	52	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
63	62	oveqdr 7398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))𝑦))
64	60	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
65	64	oveqdr 7398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑍))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))𝑦))
66	45, 46, 53, 61, 63, 65	mhmpropd 18731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)) = (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) MndHom ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
67	33, 44, 66	3eltr4d 2852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
68	25, 67	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍))))
69	47, 54	isrhm 20431	. 2 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍) ↔ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ Ring) ∧ ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)))))
70	7, 12, 68, 69	syl21anbrc 1346	1 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5181   ∘ ccom 5638  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ↑_m cmap 8777  Basecbs 17150  +_gcplusg 17191   ↑_s cpws 17380  Mndcmnd 18673   MndHom cmhm 18720  Grpcgrp 18880   GrpHom cghm 19158  mulGrpcmgp 20092  Ringcrg 20185   RingHom crh 20422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-hom 17215  df-cco 17216  df-0g 17375  df-prds 17381  df-pws 17383  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-ghm 19159  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-rhm 20425

This theorem is referenced by: (None)