Theorem pwsco2rhm 20504

Description: Left composition with a ring homomorphism yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsco2rhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
pwsco2rhm.z	⊢ 𝑍 = (𝑆 ↑s 𝐴)
pwsco2rhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsco2rhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
pwsco2rhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
pwsco2rhm	⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,𝑌   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem pwsco2rhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsco2rhm.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2		rhmrcl1 20477	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		pwsco2rhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		pwsco2rhm.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
6	5	pwsring 20322	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
7	3, 4, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
8		rhmrcl2 20478	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
9	1, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
10		pwsco2rhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑆 ↑s 𝐴)
11	10	pwsring 20322	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ Ring)
12	9, 4, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
13		pwsco2rhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
14		rhmghm 20485	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
15	1, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
16		ghmmhm 19245	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
18	5, 10, 13, 4, 17	pwsco2mhm 18847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑍))
19		ringgrp 20236	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
20	7, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
21		ringgrp 20236	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Grp)
22	12, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Grp)
23		ghmmhmb 19246	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ Grp) → (𝑌 GrpHom 𝑍) = (𝑌 MndHom 𝑍))
24	20, 22, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 GrpHom 𝑍) = (𝑌 MndHom 𝑍))
25	18, 24	eleqtrrd 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
26		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)
27		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)
28		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
29		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
30		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
31	29, 30	rhmmhm 20480	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
32	1, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
33	26, 27, 28, 4, 32	pwsco2mhm 18847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) MndHom ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
34		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
35	5, 34	pwsbas 17533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘𝑌))
36	3, 4, 35	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘𝑌))
37	36, 13	eqtr4di 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = 𝐵)
38	29	ringmgp 20237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
39	3, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
40	29, 34	mgpbas 20143	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
41	26, 40	pwsbas 17533	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
42	39, 4, 41	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
43	37, 42	eqtr3d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
44	43	mpteq1d 5236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)))
45		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
46		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍)))
47		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
48		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
49		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
50		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
51	5, 29, 26, 47, 48, 28, 49, 50	pwsmgp 20325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
52	3, 4, 51	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
53	52	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
54		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
55		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
56		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))
57		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
58		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))
59	10, 30, 27, 54, 55, 56, 57, 58	pwsmgp 20325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))))
60	9, 4, 59	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))))
61	60	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
62	52	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
63	62	oveqdr 7460	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))𝑦))
64	60	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
65	64	oveqdr 7460	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑍))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))𝑦))
66	45, 46, 53, 61, 63, 65	mhmpropd 18806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)) = (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) MndHom ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
67	33, 44, 66	3eltr4d 2855	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
68	25, 67	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍))))
69	47, 54	isrhm 20479	. 2 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍) ↔ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ Ring) ∧ ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)))))
70	7, 12, 68, 69	syl21anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5688  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ↑_m cmap 8867  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298   ↑_s cpws 17492  Mndcmnd 18748   MndHom cmhm 18795  Grpcgrp 18952   GrpHom cghm 19231  mulGrpcmgp 20138  Ringcrg 20231   RingHom crh 20470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-ghm 19232  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-rhm 20473

This theorem is referenced by: (None)