Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsco2rhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsco2rhm 19485
 Description: Left composition with a ring homomorphism yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco2rhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
pwsco2rhm.z 𝑍 = (𝑆s 𝐴)
pwsco2rhm.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsco2rhm.a (𝜑𝐴𝑉)
pwsco2rhm.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
Assertion
Ref Expression
pwsco2rhm (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,𝑌   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem pwsco2rhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco2rhm.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2 rhmrcl1 19465 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 pwsco2rhm.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 pwsco2rhm.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
65pwsring 19359 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
73, 4, 6syl2anc 587 . 2 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
8 rhmrcl2 19466 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
91, 8syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
10 pwsco2rhm.z . . . 4 𝑍 = (𝑆s 𝐴)
1110pwsring 19359 . . 3 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → 𝑍 ∈ Ring)
129, 4, 11syl2anc 587 . 2 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
13 pwsco2rhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
14 rhmghm 19471 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
151, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
16 ghmmhm 18359 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
185, 10, 13, 4, 17pwsco2mhm 17988 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑍))
19 ringgrp 19293 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
207, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
21 ringgrp 19293 . . . . . 6 (𝑍 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Grp)
2212, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ Grp)
23 ghmmhmb 18360 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ Grp) → (𝑌 GrpHom 𝑍) = (𝑌 MndHom 𝑍))
2420, 22, 23syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 GrpHom 𝑍) = (𝑌 MndHom 𝑍))
2518, 24eleqtrrd 2917 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
26 eqid 2822 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)
27 eqid 2822 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)
28 eqid 2822 . . . . 5 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
29 eqid 2822 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
30 eqid 2822 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3129, 30rhmmhm 19468 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
321, 31syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
3326, 27, 28, 4, 32pwsco2mhm 17988 . . . 4 (𝜑 → (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) MndHom ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
34 eqid 2822 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
355, 34pwsbas 16751 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘𝑌))
363, 4, 35syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘𝑌))
3736, 13eqtr4di 2875 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = 𝐵)
3829ringmgp 19294 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
393, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4029, 34mgpbas 19236 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4126, 40pwsbas 16751 . . . . . . 7 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
4239, 4, 41syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
4337, 42eqtr3d 2859 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
4443mpteq1d 5131 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) = (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ↦ (𝐹𝑔)))
45 eqidd 2823 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
46 eqidd 2823 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍)))
47 eqid 2822 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
48 eqid 2822 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
49 eqid 2822 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
50 eqid 2822 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
515, 29, 26, 47, 48, 28, 49, 50pwsmgp 19362 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
523, 4, 51syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
5352simpld 498 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
54 eqid 2822 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
55 eqid 2822 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
56 eqid 2822 . . . . . . . 8 (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))
57 eqid 2822 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
58 eqid 2822 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))
5910, 30, 27, 54, 55, 56, 57, 58pwsmgp 19362 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))))
609, 4, 59syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))))
6160simpld 498 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
6252simprd 499 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
6362oveqdr 7168 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))𝑦))
6460simprd 499 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
6564oveqdr 7168 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑍))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))𝑦))
6645, 46, 53, 61, 63, 65mhmpropd 17953 . . . 4 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)) = (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) MndHom ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
6733, 44, 663eltr4d 2929 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
6825, 67jca 515 . 2 (𝜑 → ((𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍) ∧ (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍))))
6947, 54isrhm 19467 . 2 ((𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍) ↔ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ Ring) ∧ ((𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍) ∧ (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)))))
707, 12, 68, 69syl21anbrc 1341 1 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5122   ∘ ccom 5536  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ↑m cmap 8393  Basecbs 16474  +gcplusg 16556   ↑s cpws 16711  Mndcmnd 17902   MndHom cmhm 17945  Grpcgrp 18094   GrpHom cghm 18346  mulGrpcmgp 19230  Ringcrg 19288   RingHom crh 19458 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-prds 16712  df-pws 16714  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-ghm 18347  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-rnghom 19461 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator