MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsco2rhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsco2rhm 19214
Description: Left composition with a ring homomorphism yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco2rhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
pwsco2rhm.z 𝑍 = (𝑆s 𝐴)
pwsco2rhm.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsco2rhm.a (𝜑𝐴𝑉)
pwsco2rhm.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
Assertion
Ref Expression
pwsco2rhm (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,𝑌   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem pwsco2rhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco2rhm.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2 rhmrcl1 19194 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 pwsco2rhm.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 pwsco2rhm.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
65pwsring 19088 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
73, 4, 6syl2anc 576 . 2 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
8 rhmrcl2 19195 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
91, 8syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
10 pwsco2rhm.z . . . 4 𝑍 = (𝑆s 𝐴)
1110pwsring 19088 . . 3 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → 𝑍 ∈ Ring)
129, 4, 11syl2anc 576 . 2 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
13 pwsco2rhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
14 rhmghm 19200 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
151, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
16 ghmmhm 18139 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
185, 10, 13, 4, 17pwsco2mhm 17839 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑍))
19 ringgrp 19025 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
207, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
21 ringgrp 19025 . . . . . 6 (𝑍 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Grp)
2212, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ Grp)
23 ghmmhmb 18140 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ Grp) → (𝑌 GrpHom 𝑍) = (𝑌 MndHom 𝑍))
2420, 22, 23syl2anc 576 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 GrpHom 𝑍) = (𝑌 MndHom 𝑍))
2518, 24eleqtrrd 2869 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
26 eqid 2778 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)
27 eqid 2778 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)
28 eqid 2778 . . . . 5 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
29 eqid 2778 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
30 eqid 2778 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3129, 30rhmmhm 19197 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
321, 31syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
3326, 27, 28, 4, 32pwsco2mhm 17839 . . . 4 (𝜑 → (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) MndHom ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
34 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
355, 34pwsbas 16616 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐴) = (Base‘𝑌))
363, 4, 35syl2anc 576 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐴) = (Base‘𝑌))
3736, 13syl6eqr 2832 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐴) = 𝐵)
3829ringmgp 19026 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
393, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4029, 34mgpbas 18968 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4126, 40pwsbas 16616 . . . . . . 7 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐴) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
4239, 4, 41syl2anc 576 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐴) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
4337, 42eqtr3d 2816 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
4443mpteq1d 5016 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) = (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ↦ (𝐹𝑔)))
45 eqidd 2779 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
46 eqidd 2779 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍)))
47 eqid 2778 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
48 eqid 2778 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
49 eqid 2778 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
50 eqid 2778 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
515, 29, 26, 47, 48, 28, 49, 50pwsmgp 19091 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
523, 4, 51syl2anc 576 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
5352simpld 487 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
54 eqid 2778 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
55 eqid 2778 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
56 eqid 2778 . . . . . . . 8 (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))
57 eqid 2778 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
58 eqid 2778 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))
5910, 30, 27, 54, 55, 56, 57, 58pwsmgp 19091 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))))
609, 4, 59syl2anc 576 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))))
6160simpld 487 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
6252simprd 488 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
6362oveqdr 7004 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))𝑦))
6460simprd 488 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
6564oveqdr 7004 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑍))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))𝑦))
6645, 46, 53, 61, 63, 65mhmpropd 17809 . . . 4 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)) = (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) MndHom ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
6733, 44, 663eltr4d 2881 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
6825, 67jca 504 . 2 (𝜑 → ((𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍) ∧ (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍))))
6947, 54isrhm 19196 . 2 ((𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍) ↔ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ Ring) ∧ ((𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍) ∧ (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)))))
707, 12, 68, 69syl21anbrc 1324 1 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  cmpt 5008  ccom 5411  cfv 6188  (class class class)co 6976  𝑚 cmap 8206  Basecbs 16339  +gcplusg 16421  s cpws 16576  Mndcmnd 17762   MndHom cmhm 17801  Grpcgrp 17891   GrpHom cghm 18126  mulGrpcmgp 18962  Ringcrg 19020   RingHom crh 19187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-fz 12709  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-hom 16445  df-cco 16446  df-0g 16571  df-prds 16577  df-pws 16579  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-ghm 18127  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-rnghom 19190
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator