MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsco2rhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsco2rhm 20394
Description: Left composition with a ring homomorphism yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco2rhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
pwsco2rhm.z 𝑍 = (𝑆s 𝐴)
pwsco2rhm.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsco2rhm.a (𝜑𝐴𝑉)
pwsco2rhm.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
Assertion
Ref Expression
pwsco2rhm (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,𝑌   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem pwsco2rhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco2rhm.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2 rhmrcl1 20367 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 pwsco2rhm.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 pwsco2rhm.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
65pwsring 20212 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
73, 4, 6syl2anc 582 . 2 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
8 rhmrcl2 20368 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
91, 8syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
10 pwsco2rhm.z . . . 4 𝑍 = (𝑆s 𝐴)
1110pwsring 20212 . . 3 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → 𝑍 ∈ Ring)
129, 4, 11syl2anc 582 . 2 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
13 pwsco2rhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
14 rhmghm 20375 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
151, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
16 ghmmhm 19140 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
185, 10, 13, 4, 17pwsco2mhm 18750 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑍))
19 ringgrp 20132 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
207, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
21 ringgrp 20132 . . . . . 6 (𝑍 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Grp)
2212, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ Grp)
23 ghmmhmb 19141 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ Grp) → (𝑌 GrpHom 𝑍) = (𝑌 MndHom 𝑍))
2420, 22, 23syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 GrpHom 𝑍) = (𝑌 MndHom 𝑍))
2518, 24eleqtrrd 2834 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
26 eqid 2730 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)
27 eqid 2730 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)
28 eqid 2730 . . . . 5 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
29 eqid 2730 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
30 eqid 2730 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3129, 30rhmmhm 20370 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
321, 31syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
3326, 27, 28, 4, 32pwsco2mhm 18750 . . . 4 (𝜑 → (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) MndHom ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
34 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
355, 34pwsbas 17437 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘𝑌))
363, 4, 35syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘𝑌))
3736, 13eqtr4di 2788 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = 𝐵)
3829ringmgp 20133 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
393, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4029, 34mgpbas 20034 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4126, 40pwsbas 17437 . . . . . . 7 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
4239, 4, 41syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
4337, 42eqtr3d 2772 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
4443mpteq1d 5242 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) = (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ↦ (𝐹𝑔)))
45 eqidd 2731 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
46 eqidd 2731 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍)))
47 eqid 2730 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
48 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
49 eqid 2730 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
50 eqid 2730 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
515, 29, 26, 47, 48, 28, 49, 50pwsmgp 20215 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
523, 4, 51syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
5352simpld 493 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
54 eqid 2730 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
55 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
56 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))
57 eqid 2730 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
58 eqid 2730 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))
5910, 30, 27, 54, 55, 56, 57, 58pwsmgp 20215 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))))
609, 4, 59syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))))
6160simpld 493 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
6252simprd 494 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
6362oveqdr 7439 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))𝑦))
6460simprd 494 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
6564oveqdr 7439 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑍))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))𝑦))
6645, 46, 53, 61, 63, 65mhmpropd 18714 . . . 4 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)) = (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) MndHom ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
6733, 44, 663eltr4d 2846 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
6825, 67jca 510 . 2 (𝜑 → ((𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍) ∧ (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍))))
6947, 54isrhm 20369 . 2 ((𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍) ↔ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ Ring) ∧ ((𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍) ∧ (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)))))
707, 12, 68, 69syl21anbrc 1342 1 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  cmpt 5230  ccom 5679  cfv 6542  (class class class)co 7411  m cmap 8822  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  s cpws 17396  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18703  Grpcgrp 18855   GrpHom cghm 19127  mulGrpcmgp 20028  Ringcrg 20127   RingHom crh 20360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-ghm 19128  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-rhm 20363
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator