MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsco2rhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsco2rhm 20174
Description: Left composition with a ring homomorphism yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco2rhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
pwsco2rhm.z 𝑍 = (𝑆s 𝐴)
pwsco2rhm.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsco2rhm.a (𝜑𝐴𝑉)
pwsco2rhm.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
Assertion
Ref Expression
pwsco2rhm (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,𝑌   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem pwsco2rhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco2rhm.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2 rhmrcl1 20151 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 pwsco2rhm.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 pwsco2rhm.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
65pwsring 20040 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
73, 4, 6syl2anc 585 . 2 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
8 rhmrcl2 20152 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
91, 8syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
10 pwsco2rhm.z . . . 4 𝑍 = (𝑆s 𝐴)
1110pwsring 20040 . . 3 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → 𝑍 ∈ Ring)
129, 4, 11syl2anc 585 . 2 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
13 pwsco2rhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
14 rhmghm 20158 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
151, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
16 ghmmhm 19019 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
185, 10, 13, 4, 17pwsco2mhm 18644 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑍))
19 ringgrp 19970 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
207, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
21 ringgrp 19970 . . . . . 6 (𝑍 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Grp)
2212, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ Grp)
23 ghmmhmb 19020 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ Grp) → (𝑌 GrpHom 𝑍) = (𝑌 MndHom 𝑍))
2420, 22, 23syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 GrpHom 𝑍) = (𝑌 MndHom 𝑍))
2518, 24eleqtrrd 2841 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
26 eqid 2737 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)
27 eqid 2737 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)
28 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
29 eqid 2737 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
30 eqid 2737 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3129, 30rhmmhm 20154 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
321, 31syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
3326, 27, 28, 4, 32pwsco2mhm 18644 . . . 4 (𝜑 → (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) MndHom ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
34 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
355, 34pwsbas 17370 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘𝑌))
363, 4, 35syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘𝑌))
3736, 13eqtr4di 2795 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = 𝐵)
3829ringmgp 19971 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
393, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4029, 34mgpbas 19903 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4126, 40pwsbas 17370 . . . . . . 7 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
4239, 4, 41syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
4337, 42eqtr3d 2779 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
4443mpteq1d 5201 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) = (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ↦ (𝐹𝑔)))
45 eqidd 2738 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
46 eqidd 2738 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍)))
47 eqid 2737 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
48 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
49 eqid 2737 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
50 eqid 2737 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
515, 29, 26, 47, 48, 28, 49, 50pwsmgp 20043 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
523, 4, 51syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
5352simpld 496 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
54 eqid 2737 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
55 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
56 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))
57 eqid 2737 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
58 eqid 2737 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))
5910, 30, 27, 54, 55, 56, 57, 58pwsmgp 20043 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))))
609, 4, 59syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))))
6160simpld 496 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
6252simprd 497 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
6362oveqdr 7386 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))𝑦))
6460simprd 497 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
6564oveqdr 7386 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑍))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))𝑦))
6645, 46, 53, 61, 63, 65mhmpropd 18609 . . . 4 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)) = (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) MndHom ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
6733, 44, 663eltr4d 2853 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
6825, 67jca 513 . 2 (𝜑 → ((𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍) ∧ (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍))))
6947, 54isrhm 20153 . 2 ((𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍) ↔ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ Ring) ∧ ((𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍) ∧ (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)))))
707, 12, 68, 69syl21anbrc 1345 1 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cmpt 5189  ccom 5638  cfv 6497  (class class class)co 7358  m cmap 8766  Basecbs 17084  +gcplusg 17134  s cpws 17329  Mndcmnd 18557   MndHom cmhm 18600  Grpcgrp 18749   GrpHom cghm 19006  mulGrpcmgp 19897  Ringcrg 19965   RingHom crh 20144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-hom 17158  df-cco 17159  df-0g 17324  df-prds 17330  df-pws 17332  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-ghm 19007  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-rnghom 20147
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator