MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsco2rhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsco2rhm 19981
Description: Left composition with a ring homomorphism yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco2rhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
pwsco2rhm.z 𝑍 = (𝑆s 𝐴)
pwsco2rhm.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsco2rhm.a (𝜑𝐴𝑉)
pwsco2rhm.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
Assertion
Ref Expression
pwsco2rhm (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,𝑌   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem pwsco2rhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco2rhm.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2 rhmrcl1 19961 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 pwsco2rhm.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 pwsco2rhm.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
65pwsring 19852 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
73, 4, 6syl2anc 584 . 2 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
8 rhmrcl2 19962 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
91, 8syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
10 pwsco2rhm.z . . . 4 𝑍 = (𝑆s 𝐴)
1110pwsring 19852 . . 3 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → 𝑍 ∈ Ring)
129, 4, 11syl2anc 584 . 2 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
13 pwsco2rhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
14 rhmghm 19967 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
151, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
16 ghmmhm 18842 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
185, 10, 13, 4, 17pwsco2mhm 18469 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑍))
19 ringgrp 19786 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
207, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
21 ringgrp 19786 . . . . . 6 (𝑍 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Grp)
2212, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ Grp)
23 ghmmhmb 18843 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ Grp) → (𝑌 GrpHom 𝑍) = (𝑌 MndHom 𝑍))
2420, 22, 23syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 GrpHom 𝑍) = (𝑌 MndHom 𝑍))
2518, 24eleqtrrd 2844 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
26 eqid 2740 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)
27 eqid 2740 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)
28 eqid 2740 . . . . 5 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
29 eqid 2740 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
30 eqid 2740 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3129, 30rhmmhm 19964 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
321, 31syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
3326, 27, 28, 4, 32pwsco2mhm 18469 . . . 4 (𝜑 → (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) MndHom ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
34 eqid 2740 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
355, 34pwsbas 17196 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘𝑌))
363, 4, 35syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘𝑌))
3736, 13eqtr4di 2798 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = 𝐵)
3829ringmgp 19787 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
393, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4029, 34mgpbas 19724 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4126, 40pwsbas 17196 . . . . . . 7 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
4239, 4, 41syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐴) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
4337, 42eqtr3d 2782 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
4443mpteq1d 5174 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) = (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ↦ (𝐹𝑔)))
45 eqidd 2741 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
46 eqidd 2741 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍)))
47 eqid 2740 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
48 eqid 2740 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
49 eqid 2740 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
50 eqid 2740 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
515, 29, 26, 47, 48, 28, 49, 50pwsmgp 19855 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
523, 4, 51syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
5352simpld 495 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
54 eqid 2740 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
55 eqid 2740 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
56 eqid 2740 . . . . . . . 8 (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))
57 eqid 2740 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
58 eqid 2740 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))
5910, 30, 27, 54, 55, 56, 57, 58pwsmgp 19855 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))))
609, 4, 59syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))))
6160simpld 495 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
6252simprd 496 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
6362oveqdr 7299 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))𝑦))
6460simprd 496 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
6564oveqdr 7299 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑍))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))𝑦))
6645, 46, 53, 61, 63, 65mhmpropd 18434 . . . 4 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)) = (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) MndHom ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
6733, 44, 663eltr4d 2856 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
6825, 67jca 512 . 2 (𝜑 → ((𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍) ∧ (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍))))
6947, 54isrhm 19963 . 2 ((𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍) ↔ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ Ring) ∧ ((𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍) ∧ (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)))))
707, 12, 68, 69syl21anbrc 1343 1 (𝜑 → (𝑔𝐵 ↦ (𝐹𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  cmpt 5162  ccom 5594  cfv 6432  (class class class)co 7271  m cmap 8598  Basecbs 16910  +gcplusg 16960  s cpws 17155  Mndcmnd 18383   MndHom cmhm 18426  Grpcgrp 18575   GrpHom cghm 18829  mulGrpcmgp 19718  Ringcrg 19781   RingHom crh 19954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-fz 13239  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-hom 16984  df-cco 16985  df-0g 17150  df-prds 17156  df-pws 17158  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-ghm 18830  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-rnghom 19957
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator