Theorem pwsco2rhm 19214

Description: Left composition with a ring homomorphism yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsco2rhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
pwsco2rhm.z	⊢ 𝑍 = (𝑆 ↑s 𝐴)
pwsco2rhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsco2rhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
pwsco2rhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
pwsco2rhm	⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,𝑌   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem pwsco2rhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsco2rhm.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2		rhmrcl1 19194	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		pwsco2rhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		pwsco2rhm.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
6	5	pwsring 19088	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
7	3, 4, 6	syl2anc 576	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
8		rhmrcl2 19195	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
9	1, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
10		pwsco2rhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑆 ↑s 𝐴)
11	10	pwsring 19088	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ Ring)
12	9, 4, 11	syl2anc 576	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
13		pwsco2rhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
14		rhmghm 19200	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
15	1, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
16		ghmmhm 18139	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
18	5, 10, 13, 4, 17	pwsco2mhm 17839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑍))
19		ringgrp 19025	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
20	7, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
21		ringgrp 19025	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Grp)
22	12, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Grp)
23		ghmmhmb 18140	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ Grp) → (𝑌 GrpHom 𝑍) = (𝑌 MndHom 𝑍))
24	20, 22, 23	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 GrpHom 𝑍) = (𝑌 MndHom 𝑍))
25	18, 24	eleqtrrd 2869	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
26		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)
27		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)
28		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
29		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
30		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
31	29, 30	rhmmhm 19197	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
32	1, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
33	26, 27, 28, 4, 32	pwsco2mhm 17839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) MndHom ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
34		eqid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
35	5, 34	pwsbas 16616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐴) = (Base‘𝑌))
36	3, 4, 35	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐴) = (Base‘𝑌))
37	36, 13	syl6eqr 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐴) = 𝐵)
38	29	ringmgp 19026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
39	3, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
40	29, 34	mgpbas 18968	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
41	26, 40	pwsbas 16616	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐴) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
42	39, 4, 41	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐴) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
43	37, 42	eqtr3d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
44	43	mpteq1d 5016	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)))
45		eqidd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
46		eqidd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍)))
47		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
48		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
49		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
50		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
51	5, 29, 26, 47, 48, 28, 49, 50	pwsmgp 19091	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
52	3, 4, 51	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
53	52	simpld 487	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
54		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
55		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
56		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))
57		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
58		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))
59	10, 30, 27, 54, 55, 56, 57, 58	pwsmgp 19091	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))))
60	9, 4, 59	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))))
61	60	simpld 487	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
62	52	simprd 488	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
63	62	oveqdr 7004	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))𝑦))
64	60	simprd 488	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
65	64	oveqdr 7004	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑍))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴))𝑦))
66	45, 46, 53, 61, 63, 65	mhmpropd 17809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)) = (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) MndHom ((mulGrp‘𝑆) ↑s 𝐴)))
67	33, 44, 66	3eltr4d 2881	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
68	25, 67	jca 504	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍))))
69	47, 54	isrhm 19196	. 2 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍) ↔ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ Ring) ∧ ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍) ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ ((mulGrp‘𝑌) MndHom (mulGrp‘𝑍)))))
70	7, 12, 68, 69	syl21anbrc 1324	1 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 RingHom 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ↦ cmpt 5008   ∘ ccom 5411  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976   ↑_𝑚 cmap 8206  Basecbs 16339  +_gcplusg 16421   ↑_s cpws 16576  Mndcmnd 17762   MndHom cmhm 17801  Grpcgrp 17891   GrpHom cghm 18126  mulGrpcmgp 18962  Ringcrg 19020   RingHom crh 19187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-fz 12709  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-hom 16445  df-cco 16446  df-0g 16571  df-prds 16577  df-pws 16579  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-ghm 18127  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-rnghom 19190

This theorem is referenced by: (None)