Theorem scmatric 22491

Description: A ring is isomorphic to every ring of scalar matrices over this ring with positive dimension. (Contributed by AV, 29-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatric.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatric.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatric.s	⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
scmatric	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ≃𝑟 𝑆)

Proof of Theorem scmatric

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		scmatric.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
5		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
6		scmatric.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7		scmatric.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	scmatrngiso 22490	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
9	8	ne0d 4322	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
10		brric 20472	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
11	9, 10	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ≃𝑟 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∅c0 4313   class class class wbr 5123   ↦ cmpt 5205  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Fincfn 8967  Basecbs 17229   ↾_s cress 17252   ·_𝑠 cvsca 17277  1_rcur 20146  Ringcrg 20198   RingIso crs 20438   ≃_𝑟 cric 20439   Mat cmat 22359   ScMat cscmat 22443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-sup 9464  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14352  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-ip 17291  df-tset 17292  df-ple 17293  df-ds 17295  df-hom 17297  df-cco 17298  df-0g 17457  df-gsum 17458  df-prds 17463  df-pws 17465  df-mre 17600  df-mrc 17601  df-acs 17603  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-mhm 18765  df-submnd 18766  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-mulg 19055  df-subg 19110  df-ghm 19200  df-cntz 19304  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-rhm 20440  df-rim 20441  df-ric 20443  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-sra 21140  df-rgmod 21141  df-dsmm 21706  df-frlm 21721  df-mamu 22343  df-mat 22360  df-dmat 22444  df-scmat 22445

This theorem is referenced by: (None)