MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnffval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnffval 9658
Description: The value of the Cantor normal form function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnffval.s ๐‘† = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…}
cantnffval.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cantnffval.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
Assertion
Ref Expression
cantnffval (๐œ‘ โ†’ (๐ด CNF ๐ต) = (๐‘“ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘˜,๐‘ง,๐ด   ๐ต,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘˜,๐‘ง   ๐‘†,๐‘“
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ง,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘˜)   ๐‘†(๐‘ง,๐‘”,โ„Ž,๐‘˜)

Proof of Theorem cantnffval
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnffval.a . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
2 cantnffval.b . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
3 oveq12 7418 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โ†‘m ๐‘ฆ) = (๐ด โ†‘m ๐ต))
43rabeqdv 3448 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ {๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ โ†‘m ๐‘ฆ) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…})
5 cantnffval.s . . . . 5 ๐‘† = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…}
64, 5eqtr4di 2791 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ {๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ โ†‘m ๐‘ฆ) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} = ๐‘†)
7 simp1l 1198 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ V โˆง ๐‘ง โˆˆ V) โ†’ ๐‘ฅ = ๐ด)
87oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ V โˆง ๐‘ง โˆˆ V) โ†’ (๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) = (๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)))
98oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ V โˆง ๐‘ง โˆˆ V) โ†’ ((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) = ((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))))
109oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ V โˆง ๐‘ง โˆˆ V) โ†’ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง) = (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง))
1110mpoeq3dva 7486 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) = (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)))
12 eqid 2733 . . . . . . 7 โˆ… = โˆ…
13 seqomeq12 8454 . . . . . . 7 (((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) = (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) โˆง โˆ… = โˆ…) โ†’ seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…))
1411, 12, 13sylancl 587 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…))
1514fveq1d 6894 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž) = (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž))
1615csbeq2dv 3901 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž) = โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž))
176, 16mpteq12dv 5240 . . 3 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ (๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ โ†‘m ๐‘ฆ) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)) = (๐‘“ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
18 df-cnf 9657 . . 3 CNF = (๐‘ฅ โˆˆ On, ๐‘ฆ โˆˆ On โ†ฆ (๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ โ†‘m ๐‘ฆ) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
19 ovex 7442 . . . . 5 (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆˆ V
205, 19rabex2 5335 . . . 4 ๐‘† โˆˆ V
2120mptex 7225 . . 3 (๐‘“ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)) โˆˆ V
2217, 18, 21ovmpoa 7563 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด CNF ๐ต) = (๐‘“ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
231, 2, 22syl2anc 585 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด CNF ๐ต) = (๐‘“ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475  โฆ‹csb 3894  โˆ…c0 4323   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232   E cep 5580  dom cdm 5677  Oncon0 6365  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆˆ cmpo 7411   supp csupp 8146  seqฯ‰cseqom 8447   +o coa 8463   ยทo comu 8464   โ†‘o coe 8465   โ†‘m cmap 8820   finSupp cfsupp 9361  OrdIsocoi 9504   CNF ccnf 9656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-seqom 8448  df-cnf 9657
This theorem is referenced by:  cantnfdm  9659  cantnfval  9663  cantnff  9669
  Copyright terms: Public domain W3C validator