MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnffval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnffval 9660
Description: The value of the Cantor normal form function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnffval.s ๐‘† = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…}
cantnffval.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cantnffval.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
Assertion
Ref Expression
cantnffval (๐œ‘ โ†’ (๐ด CNF ๐ต) = (๐‘“ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘˜,๐‘ง,๐ด   ๐ต,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘˜,๐‘ง   ๐‘†,๐‘“
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ง,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘˜)   ๐‘†(๐‘ง,๐‘”,โ„Ž,๐‘˜)

Proof of Theorem cantnffval
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnffval.a . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
2 cantnffval.b . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
3 oveq12 7420 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โ†‘m ๐‘ฆ) = (๐ด โ†‘m ๐ต))
43rabeqdv 3445 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ {๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ โ†‘m ๐‘ฆ) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…})
5 cantnffval.s . . . . 5 ๐‘† = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…}
64, 5eqtr4di 2788 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ {๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ โ†‘m ๐‘ฆ) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} = ๐‘†)
7 simp1l 1195 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ V โˆง ๐‘ง โˆˆ V) โ†’ ๐‘ฅ = ๐ด)
87oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ V โˆง ๐‘ง โˆˆ V) โ†’ (๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) = (๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)))
98oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ V โˆง ๐‘ง โˆˆ V) โ†’ ((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) = ((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))))
109oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ V โˆง ๐‘ง โˆˆ V) โ†’ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง) = (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง))
1110mpoeq3dva 7488 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) = (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)))
12 eqid 2730 . . . . . . 7 โˆ… = โˆ…
13 seqomeq12 8456 . . . . . . 7 (((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) = (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) โˆง โˆ… = โˆ…) โ†’ seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…))
1411, 12, 13sylancl 584 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…))
1514fveq1d 6892 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž) = (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž))
1615csbeq2dv 3899 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž) = โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž))
176, 16mpteq12dv 5238 . . 3 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ (๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ โ†‘m ๐‘ฆ) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)) = (๐‘“ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
18 df-cnf 9659 . . 3 CNF = (๐‘ฅ โˆˆ On, ๐‘ฆ โˆˆ On โ†ฆ (๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ โ†‘m ๐‘ฆ) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
19 ovex 7444 . . . . 5 (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆˆ V
205, 19rabex2 5333 . . . 4 ๐‘† โˆˆ V
2120mptex 7226 . . 3 (๐‘“ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)) โˆˆ V
2217, 18, 21ovmpoa 7565 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด CNF ๐ต) = (๐‘“ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
231, 2, 22syl2anc 582 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด CNF ๐ต) = (๐‘“ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  {crab 3430  Vcvv 3472  โฆ‹csb 3892  โˆ…c0 4321   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230   E cep 5578  dom cdm 5675  Oncon0 6363  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โˆˆ cmpo 7413   supp csupp 8148  seqฯ‰cseqom 8449   +o coa 8465   ยทo comu 8466   โ†‘o coe 8467   โ†‘m cmap 8822   finSupp cfsupp 9363  OrdIsocoi 9506   CNF ccnf 9658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-seqom 8450  df-cnf 9659
This theorem is referenced by:  cantnfdm  9661  cantnfval  9665  cantnff  9671
  Copyright terms: Public domain W3C validator