MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnffval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnffval 9461
Description: The value of the Cantor normal form function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnffval.s ๐‘† = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…}
cantnffval.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cantnffval.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
Assertion
Ref Expression
cantnffval (๐œ‘ โ†’ (๐ด CNF ๐ต) = (๐‘“ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘˜,๐‘ง,๐ด   ๐ต,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘˜,๐‘ง   ๐‘†,๐‘“
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ง,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘˜)   ๐‘†(๐‘ง,๐‘”,โ„Ž,๐‘˜)

Proof of Theorem cantnffval
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnffval.a . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
2 cantnffval.b . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
3 oveq12 7312 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โ†‘m ๐‘ฆ) = (๐ด โ†‘m ๐ต))
43rabeqdv 3426 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ {๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ โ†‘m ๐‘ฆ) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…})
5 cantnffval.s . . . . 5 ๐‘† = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…}
64, 5eqtr4di 2794 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ {๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ โ†‘m ๐‘ฆ) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} = ๐‘†)
7 simp1l 1197 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ V โˆง ๐‘ง โˆˆ V) โ†’ ๐‘ฅ = ๐ด)
87oveq1d 7318 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ V โˆง ๐‘ง โˆˆ V) โ†’ (๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) = (๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)))
98oveq1d 7318 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ V โˆง ๐‘ง โˆˆ V) โ†’ ((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) = ((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))))
109oveq1d 7318 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ V โˆง ๐‘ง โˆˆ V) โ†’ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง) = (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง))
1110mpoeq3dva 7380 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) = (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)))
12 eqid 2736 . . . . . . 7 โˆ… = โˆ…
13 seqomeq12 8312 . . . . . . 7 (((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) = (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) โˆง โˆ… = โˆ…) โ†’ seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…))
1411, 12, 13sylancl 587 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…))
1514fveq1d 6802 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž) = (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž))
1615csbeq2dv 3844 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž) = โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž))
176, 16mpteq12dv 5172 . . 3 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ (๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ โ†‘m ๐‘ฆ) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)) = (๐‘“ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
18 df-cnf 9460 . . 3 CNF = (๐‘ฅ โˆˆ On, ๐‘ฆ โˆˆ On โ†ฆ (๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ โ†‘m ๐‘ฆ) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐‘ฅ โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
19 ovex 7336 . . . . 5 (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆˆ V
205, 19rabex2 5267 . . . 4 ๐‘† โˆˆ V
2120mptex 7127 . . 3 (๐‘“ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)) โˆˆ V
2217, 18, 21ovmpoa 7456 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด CNF ๐ต) = (๐‘“ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
231, 2, 22syl2anc 585 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด CNF ๐ต) = (๐‘“ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1087   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  {crab 3284  Vcvv 3437  โฆ‹csb 3837  โˆ…c0 4262   class class class wbr 5081   โ†ฆ cmpt 5164   E cep 5501  dom cdm 5596  Oncon0 6277  โ€˜cfv 6454  (class class class)co 7303   โˆˆ cmpo 7305   supp csupp 8004  seqฯ‰cseqom 8305   +o coa 8321   ยทo comu 8322   โ†‘o coe 8323   โ†‘m cmap 8642   finSupp cfsupp 9168  OrdIsocoi 9308   CNF ccnf 9459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5496  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-seqom 8306  df-cnf 9460
This theorem is referenced by:  cantnfdm  9462  cantnfval  9466  cantnff  9472
  Copyright terms: Public domain W3C validator