MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfdm 9658
Description: The domain of the Cantor normal form function (in later lemmas we will use dom (๐ด CNF ๐ต) to abbreviate "the set of finitely supported functions from ๐ต to ๐ด"). (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnffval.s ๐‘† = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…}
cantnffval.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cantnffval.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
Assertion
Ref Expression
cantnfdm (๐œ‘ โ†’ dom (๐ด CNF ๐ต) = ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘”   ๐ต,๐‘”
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘”)   ๐‘†(๐‘”)

Proof of Theorem cantnfdm
Dummy variables ๐‘“ โ„Ž ๐‘˜ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnffval.s . . . 4 ๐‘† = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…}
2 cantnffval.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
3 cantnffval.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
41, 2, 3cantnffval 9657 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด CNF ๐ต) = (๐‘“ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
54dmeqd 5898 . 2 (๐œ‘ โ†’ dom (๐ด CNF ๐ต) = dom (๐‘“ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
6 fvex 6897 . . . . 5 (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž) โˆˆ V
76csbex 5304 . . . 4 โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž) โˆˆ V
87rgenw 3059 . . 3 โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘† โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž) โˆˆ V
9 dmmptg 6234 . . 3 (โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘† โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž) โˆˆ V โ†’ dom (๐‘“ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)) = ๐‘†)
108, 9ax-mp 5 . 2 dom (๐‘“ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)) = ๐‘†
115, 10eqtrdi 2782 1 (๐œ‘ โ†’ dom (๐ด CNF ๐ต) = ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468  โฆ‹csb 3888  โˆ…c0 4317   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224   E cep 5572  dom cdm 5669  Oncon0 6357  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   โˆˆ cmpo 7406   supp csupp 8143  seqฯ‰cseqom 8445   +o coa 8461   ยทo comu 8462   โ†‘o coe 8463   โ†‘m cmap 8819   finSupp cfsupp 9360  OrdIsocoi 9503   CNF ccnf 9655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-seqom 8446  df-cnf 9656
This theorem is referenced by:  cantnfs  9660  cantnfval  9662  cantnff  9668  oemapso  9676  wemapwe  9691  oef1o  9692
  Copyright terms: Public domain W3C validator