![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cantnfdm | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The domain of the Cantor normal form function (in later lemmas we will use dom (๐ด CNF ๐ต) to abbreviate "the set of finitely supported functions from ๐ต to ๐ด"). (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
cantnffval.s | โข ๐ = {๐ โ (๐ด โm ๐ต) โฃ ๐ finSupp โ } |
cantnffval.a | โข (๐ โ ๐ด โ On) |
cantnffval.b | โข (๐ โ ๐ต โ On) |
Ref | Expression |
---|---|
cantnfdm | โข (๐ โ dom (๐ด CNF ๐ต) = ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cantnffval.s | . . . 4 โข ๐ = {๐ โ (๐ด โm ๐ต) โฃ ๐ finSupp โ } | |
2 | cantnffval.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ On) | |
3 | cantnffval.b | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ On) | |
4 | 1, 2, 3 | cantnffval 9607 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด CNF ๐ต) = (๐ โ ๐ โฆ โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ))) |
5 | 4 | dmeqd 5865 | . 2 โข (๐ โ dom (๐ด CNF ๐ต) = dom (๐ โ ๐ โฆ โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ))) |
6 | fvex 6859 | . . . . 5 โข (seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ) โ V | |
7 | 6 | csbex 5272 | . . . 4 โข โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ) โ V |
8 | 7 | rgenw 3065 | . . 3 โข โ๐ โ ๐ โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ) โ V |
9 | dmmptg 6198 | . . 3 โข (โ๐ โ ๐ โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ) โ V โ dom (๐ โ ๐ โฆ โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ)) = ๐) | |
10 | 8, 9 | ax-mp 5 | . 2 โข dom (๐ โ ๐ โฆ โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ)) = ๐ |
11 | 5, 10 | eqtrdi 2789 | 1 โข (๐ โ dom (๐ด CNF ๐ต) = ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwral 3061 {crab 3406 Vcvv 3447 โฆcsb 3859 โ c0 4286 class class class wbr 5109 โฆ cmpt 5192 E cep 5540 dom cdm 5637 Oncon0 6321 โcfv 6500 (class class class)co 7361 โ cmpo 7363 supp csupp 8096 seqฯcseqom 8397 +o coa 8413 ยทo comu 8414 โo coe 8415 โm cmap 8771 finSupp cfsupp 9311 OrdIsocoi 9453 CNF ccnf 9605 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5246 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pr 5388 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-nul 4287 df-if 4491 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-iun 4960 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-id 5535 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-seqom 8398 df-cnf 9606 |
This theorem is referenced by: cantnfs 9610 cantnfval 9612 cantnff 9618 oemapso 9626 wemapwe 9641 oef1o 9642 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |