![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cantnfdm | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The domain of the Cantor normal form function (in later lemmas we will use dom (๐ด CNF ๐ต) to abbreviate "the set of finitely supported functions from ๐ต to ๐ด"). (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
cantnffval.s | โข ๐ = {๐ โ (๐ด โm ๐ต) โฃ ๐ finSupp โ } |
cantnffval.a | โข (๐ โ ๐ด โ On) |
cantnffval.b | โข (๐ โ ๐ต โ On) |
Ref | Expression |
---|---|
cantnfdm | โข (๐ โ dom (๐ด CNF ๐ต) = ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cantnffval.s | . . . 4 โข ๐ = {๐ โ (๐ด โm ๐ต) โฃ ๐ finSupp โ } | |
2 | cantnffval.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ On) | |
3 | cantnffval.b | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ On) | |
4 | 1, 2, 3 | cantnffval 9657 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด CNF ๐ต) = (๐ โ ๐ โฆ โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ))) |
5 | 4 | dmeqd 5898 | . 2 โข (๐ โ dom (๐ด CNF ๐ต) = dom (๐ โ ๐ โฆ โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ))) |
6 | fvex 6897 | . . . . 5 โข (seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ) โ V | |
7 | 6 | csbex 5304 | . . . 4 โข โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ) โ V |
8 | 7 | rgenw 3059 | . . 3 โข โ๐ โ ๐ โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ) โ V |
9 | dmmptg 6234 | . . 3 โข (โ๐ โ ๐ โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ) โ V โ dom (๐ โ ๐ โฆ โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ)) = ๐) | |
10 | 8, 9 | ax-mp 5 | . 2 โข dom (๐ โ ๐ โฆ โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ)) = ๐ |
11 | 5, 10 | eqtrdi 2782 | 1 โข (๐ โ dom (๐ด CNF ๐ต) = ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwral 3055 {crab 3426 Vcvv 3468 โฆcsb 3888 โ c0 4317 class class class wbr 5141 โฆ cmpt 5224 E cep 5572 dom cdm 5669 Oncon0 6357 โcfv 6536 (class class class)co 7404 โ cmpo 7406 supp csupp 8143 seqฯcseqom 8445 +o coa 8461 ยทo comu 8462 โo coe 8463 โm cmap 8819 finSupp cfsupp 9360 OrdIsocoi 9503 CNF ccnf 9655 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pr 5420 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-seqom 8446 df-cnf 9656 |
This theorem is referenced by: cantnfs 9660 cantnfval 9662 cantnff 9668 oemapso 9676 wemapwe 9691 oef1o 9692 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |