![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cantnfdm | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The domain of the Cantor normal form function (in later lemmas we will use dom (๐ด CNF ๐ต) to abbreviate "the set of finitely supported functions from ๐ต to ๐ด"). (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
cantnffval.s | โข ๐ = {๐ โ (๐ด โm ๐ต) โฃ ๐ finSupp โ } |
cantnffval.a | โข (๐ โ ๐ด โ On) |
cantnffval.b | โข (๐ โ ๐ต โ On) |
Ref | Expression |
---|---|
cantnfdm | โข (๐ โ dom (๐ด CNF ๐ต) = ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cantnffval.s | . . . 4 โข ๐ = {๐ โ (๐ด โm ๐ต) โฃ ๐ finSupp โ } | |
2 | cantnffval.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ On) | |
3 | cantnffval.b | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ On) | |
4 | 1, 2, 3 | cantnffval 9694 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด CNF ๐ต) = (๐ โ ๐ โฆ โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ))) |
5 | 4 | dmeqd 5912 | . 2 โข (๐ โ dom (๐ด CNF ๐ต) = dom (๐ โ ๐ โฆ โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ))) |
6 | fvex 6915 | . . . . 5 โข (seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ) โ V | |
7 | 6 | csbex 5315 | . . . 4 โข โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ) โ V |
8 | 7 | rgenw 3062 | . . 3 โข โ๐ โ ๐ โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ) โ V |
9 | dmmptg 6251 | . . 3 โข (โ๐ โ ๐ โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ) โ V โ dom (๐ โ ๐ โฆ โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ)) = ๐) | |
10 | 8, 9 | ax-mp 5 | . 2 โข dom (๐ โ ๐ โฆ โฆOrdIso( E , (๐ supp โ )) / โโฆ(seqฯ((๐ โ V, ๐ง โ V โฆ (((๐ด โo (โโ๐)) ยทo (๐โ(โโ๐))) +o ๐ง)), โ )โdom โ)) = ๐ |
11 | 5, 10 | eqtrdi 2784 | 1 โข (๐ โ dom (๐ด CNF ๐ต) = ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwral 3058 {crab 3430 Vcvv 3473 โฆcsb 3894 โ c0 4326 class class class wbr 5152 โฆ cmpt 5235 E cep 5585 dom cdm 5682 Oncon0 6374 โcfv 6553 (class class class)co 7426 โ cmpo 7428 supp csupp 8171 seqฯcseqom 8474 +o coa 8490 ยทo comu 8491 โo coe 8492 โm cmap 8851 finSupp cfsupp 9393 OrdIsocoi 9540 CNF ccnf 9692 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pr 5433 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4327 df-if 4533 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-id 5580 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-seqom 8475 df-cnf 9693 |
This theorem is referenced by: cantnfs 9697 cantnfval 9699 cantnff 9705 oemapso 9713 wemapwe 9728 oef1o 9729 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |