MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfval 9663
Description: The value of the Cantor normal form function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
cantnfs.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cantnfs.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
cantnfcl.g ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
cantnfcl.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
cantnfval.h ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
Assertion
Ref Expression
cantnfval (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐‘˜,๐ต   ๐ด,๐‘˜,๐‘ง   ๐‘˜,๐น,๐‘ง   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ง   ๐‘˜,๐บ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐ป(๐‘ง,๐‘˜)

Proof of Theorem cantnfval
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…}
2 cantnfs.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
3 cantnfs.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
41, 2, 3cantnffval 9658 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด CNF ๐ต) = (๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
54fveq1d 6894 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = ((๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž))โ€˜๐น))
6 cantnfcl.f . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
7 cantnfs.s . . . . 5 ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
81, 2, 3cantnfdm 9659 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ dom (๐ด CNF ๐ต) = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…})
97, 8eqtrid 2785 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…})
106, 9eleqtrd 2836 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…})
11 ovex 7442 . . . . . 6 (๐‘“ supp โˆ…) โˆˆ V
12 eqid 2733 . . . . . . 7 OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))
1312oiexg 9530 . . . . . 6 ((๐‘“ supp โˆ…) โˆˆ V โ†’ OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) โˆˆ V)
1411, 13mp1i 13 . . . . 5 (๐‘“ = ๐น โ†’ OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) โˆˆ V)
15 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)))
16 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘“ supp โˆ…) = (๐น supp โˆ…))
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (๐‘“ supp โˆ…) = (๐น supp โˆ…))
18 oieq2 9508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘“ supp โˆ…) = (๐น supp โˆ…) โ†’ OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)))
2015, 19eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ โ„Ž = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)))
21 cantnfcl.g . . . . . . . . . . . . . 14 ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
2220, 21eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ โ„Ž = ๐บ)
2322fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘˜) = (๐บโ€˜๐‘˜))
2423oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) = (๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)))
25 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ ๐‘“ = ๐น)
2625, 23fveq12d 6899 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜)) = (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
2724, 26oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ ((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) = ((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))))
2827oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง))
2928mpoeq3dv 7488 . . . . . . . 8 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) = (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)))
30 eqid 2733 . . . . . . . 8 โˆ… = โˆ…
31 seqomeq12 8454 . . . . . . . 8 (((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) = (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) โˆง โˆ… = โˆ…) โ†’ seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…))
3229, 30, 31sylancl 587 . . . . . . 7 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…))
33 cantnfval.h . . . . . . 7 ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
3432, 33eqtr4di 2791 . . . . . 6 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = ๐ป)
3522dmeqd 5906 . . . . . 6 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ dom โ„Ž = dom ๐บ)
3634, 35fveq12d 6899 . . . . 5 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
3714, 36csbied 3932 . . . 4 (๐‘“ = ๐น โ†’ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
38 eqid 2733 . . . 4 (๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)) = (๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž))
39 fvex 6905 . . . 4 (๐ปโ€˜dom ๐บ) โˆˆ V
4037, 38, 39fvmpt 6999 . . 3 (๐น โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†’ ((๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž))โ€˜๐น) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
4110, 40syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž))โ€˜๐น) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
425, 41eqtrd 2773 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475  โฆ‹csb 3894  โˆ…c0 4323   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232   E cep 5580  dom cdm 5677  Oncon0 6365  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆˆ cmpo 7411   supp csupp 8146  seqฯ‰cseqom 8447   +o coa 8463   ยทo comu 8464   โ†‘o coe 8465   โ†‘m cmap 8820   finSupp cfsupp 9361  OrdIsocoi 9504   CNF ccnf 9656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-seqom 8448  df-oi 9505  df-cnf 9657
This theorem is referenced by:  cantnfval2  9664  cantnfle  9666  cantnflt2  9668  cantnff  9669  cantnf0  9670  cantnfp1lem3  9675  cantnflem1  9684  cantnf  9688  cnfcom2  9697
  Copyright terms: Public domain W3C validator