MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfval 9662
Description: The value of the Cantor normal form function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
cantnfs.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cantnfs.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
cantnfcl.g ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
cantnfcl.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
cantnfval.h ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
Assertion
Ref Expression
cantnfval (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐‘˜,๐ต   ๐ด,๐‘˜,๐‘ง   ๐‘˜,๐น,๐‘ง   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ง   ๐‘˜,๐บ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐ป(๐‘ง,๐‘˜)

Proof of Theorem cantnfval
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . 4 {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…}
2 cantnfs.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
3 cantnfs.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
41, 2, 3cantnffval 9657 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด CNF ๐ต) = (๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
54fveq1d 6893 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = ((๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž))โ€˜๐น))
6 cantnfcl.f . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
7 cantnfs.s . . . . 5 ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
81, 2, 3cantnfdm 9658 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ dom (๐ด CNF ๐ต) = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…})
97, 8eqtrid 2784 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…})
106, 9eleqtrd 2835 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…})
11 ovex 7441 . . . . . 6 (๐‘“ supp โˆ…) โˆˆ V
12 eqid 2732 . . . . . . 7 OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))
1312oiexg 9529 . . . . . 6 ((๐‘“ supp โˆ…) โˆˆ V โ†’ OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) โˆˆ V)
1411, 13mp1i 13 . . . . 5 (๐‘“ = ๐น โ†’ OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) โˆˆ V)
15 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)))
16 oveq1 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘“ supp โˆ…) = (๐น supp โˆ…))
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (๐‘“ supp โˆ…) = (๐น supp โˆ…))
18 oieq2 9507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘“ supp โˆ…) = (๐น supp โˆ…) โ†’ OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)))
2015, 19eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ โ„Ž = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)))
21 cantnfcl.g . . . . . . . . . . . . . 14 ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
2220, 21eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ โ„Ž = ๐บ)
2322fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘˜) = (๐บโ€˜๐‘˜))
2423oveq2d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) = (๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)))
25 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ ๐‘“ = ๐น)
2625, 23fveq12d 6898 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜)) = (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
2724, 26oveq12d 7426 . . . . . . . . . 10 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ ((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) = ((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))))
2827oveq1d 7423 . . . . . . . . 9 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง))
2928mpoeq3dv 7487 . . . . . . . 8 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) = (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)))
30 eqid 2732 . . . . . . . 8 โˆ… = โˆ…
31 seqomeq12 8453 . . . . . . . 8 (((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) = (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) โˆง โˆ… = โˆ…) โ†’ seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…))
3229, 30, 31sylancl 586 . . . . . . 7 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…))
33 cantnfval.h . . . . . . 7 ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
3432, 33eqtr4di 2790 . . . . . 6 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = ๐ป)
3522dmeqd 5905 . . . . . 6 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ dom โ„Ž = dom ๐บ)
3634, 35fveq12d 6898 . . . . 5 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
3714, 36csbied 3931 . . . 4 (๐‘“ = ๐น โ†’ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
38 eqid 2732 . . . 4 (๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)) = (๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž))
39 fvex 6904 . . . 4 (๐ปโ€˜dom ๐บ) โˆˆ V
4037, 38, 39fvmpt 6998 . . 3 (๐น โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†’ ((๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž))โ€˜๐น) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
4110, 40syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž))โ€˜๐น) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
425, 41eqtrd 2772 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474  โฆ‹csb 3893  โˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231   E cep 5579  dom cdm 5676  Oncon0 6364  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โˆˆ cmpo 7410   supp csupp 8145  seqฯ‰cseqom 8446   +o coa 8462   ยทo comu 8463   โ†‘o coe 8464   โ†‘m cmap 8819   finSupp cfsupp 9360  OrdIsocoi 9503   CNF ccnf 9655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-seqom 8447  df-oi 9504  df-cnf 9656
This theorem is referenced by:  cantnfval2  9663  cantnfle  9665  cantnflt2  9667  cantnff  9668  cantnf0  9669  cantnfp1lem3  9674  cantnflem1  9683  cantnf  9687  cnfcom2  9696
  Copyright terms: Public domain W3C validator