MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfval 9612
Description: The value of the Cantor normal form function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
cantnfs.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cantnfs.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
cantnfcl.g ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
cantnfcl.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
cantnfval.h ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
Assertion
Ref Expression
cantnfval (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐‘˜,๐ต   ๐ด,๐‘˜,๐‘ง   ๐‘˜,๐น,๐‘ง   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ง   ๐‘˜,๐บ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐ป(๐‘ง,๐‘˜)

Proof of Theorem cantnfval
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…}
2 cantnfs.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
3 cantnfs.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
41, 2, 3cantnffval 9607 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด CNF ๐ต) = (๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)))
54fveq1d 6848 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = ((๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž))โ€˜๐น))
6 cantnfcl.f . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
7 cantnfs.s . . . . 5 ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
81, 2, 3cantnfdm 9608 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ dom (๐ด CNF ๐ต) = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…})
97, 8eqtrid 2785 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† = {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…})
106, 9eleqtrd 2836 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…})
11 ovex 7394 . . . . . 6 (๐‘“ supp โˆ…) โˆˆ V
12 eqid 2733 . . . . . . 7 OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))
1312oiexg 9479 . . . . . 6 ((๐‘“ supp โˆ…) โˆˆ V โ†’ OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) โˆˆ V)
1411, 13mp1i 13 . . . . 5 (๐‘“ = ๐น โ†’ OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) โˆˆ V)
15 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)))
16 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘“ supp โˆ…) = (๐น supp โˆ…))
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (๐‘“ supp โˆ…) = (๐น supp โˆ…))
18 oieq2 9457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘“ supp โˆ…) = (๐น supp โˆ…) โ†’ OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)))
2015, 19eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ โ„Ž = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)))
21 cantnfcl.g . . . . . . . . . . . . . 14 ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
2220, 21eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ โ„Ž = ๐บ)
2322fveq1d 6848 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘˜) = (๐บโ€˜๐‘˜))
2423oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) = (๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)))
25 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ ๐‘“ = ๐น)
2625, 23fveq12d 6853 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜)) = (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
2724, 26oveq12d 7379 . . . . . . . . . 10 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ ((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) = ((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))))
2827oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง))
2928mpoeq3dv 7440 . . . . . . . 8 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) = (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)))
30 eqid 2733 . . . . . . . 8 โˆ… = โˆ…
31 seqomeq12 8404 . . . . . . . 8 (((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) = (๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) โˆง โˆ… = โˆ…) โ†’ seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…))
3229, 30, 31sylancl 587 . . . . . . 7 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…))
33 cantnfval.h . . . . . . 7 ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
3432, 33eqtr4di 2791 . . . . . 6 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = ๐ป)
3522dmeqd 5865 . . . . . 6 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ dom โ„Ž = dom ๐บ)
3634, 35fveq12d 6853 . . . . 5 ((๐‘“ = ๐น โˆง โ„Ž = OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…))) โ†’ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
3714, 36csbied 3897 . . . 4 (๐‘“ = ๐น โ†’ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
38 eqid 2733 . . . 4 (๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž)) = (๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž))
39 fvex 6859 . . . 4 (๐ปโ€˜dom ๐บ) โˆˆ V
4037, 38, 39fvmpt 6952 . . 3 (๐น โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†’ ((๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž))โ€˜๐น) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
4110, 40syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘“ โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐ด โ†‘m ๐ต) โˆฃ ๐‘” finSupp โˆ…} โ†ฆ โฆ‹OrdIso( E , (๐‘“ supp โˆ…)) / โ„ŽโฆŒ(seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (โ„Žโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐‘“โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom โ„Ž))โ€˜๐น) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
425, 41eqtrd 2773 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3447  โฆ‹csb 3859  โˆ…c0 4286   class class class wbr 5109   โ†ฆ cmpt 5192   E cep 5540  dom cdm 5637  Oncon0 6321  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363   supp csupp 8096  seqฯ‰cseqom 8397   +o coa 8413   ยทo comu 8414   โ†‘o coe 8415   โ†‘m cmap 8771   finSupp cfsupp 9311  OrdIsocoi 9453   CNF ccnf 9605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-seqom 8398  df-oi 9454  df-cnf 9606
This theorem is referenced by:  cantnfval2  9613  cantnfle  9615  cantnflt2  9617  cantnff  9618  cantnf0  9619  cantnfp1lem3  9624  cantnflem1  9633  cantnf  9637  cnfcom2  9646
  Copyright terms: Public domain W3C validator