Theorem cntzidss 19254

Description: If the elements of 𝑆 commute, the elements of a subset 𝑇 also commute. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntzmhm.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cntzidss	⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑇))

Proof of Theorem cntzidss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
3		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		cntzmhm.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5	3, 4	cntzssv 19242	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
6	2, 5	sstrdi 3956	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
7	3, 4	cntz2ss 19249	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘𝑇))
8	6, 7	sylancom 588	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘𝑇))
9	2, 8	sstrd 3954	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
10	1, 9	sstrd 3954	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  Cntzccntz 19229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-cntz 19231

This theorem is referenced by:  gsumzres  19823  gsumzf1o  19826  gsumzaddlem  19835  gsumzadd  19836  gsumzsplit  19841  gsumconst  19848  gsumpt  19876  dprdfadd  19936