Theorem cntzidss 19286

Description: If the elements of 𝑆 commute, the elements of a subset 𝑇 also commute. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntzmhm.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cntzidss	⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑇))

Proof of Theorem cntzidss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		cntzmhm.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5	3, 4	cntzssv 19274	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
6	2, 5	sstrdi 3948	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
7	3, 4	cntz2ss 19281	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘𝑇))
8	6, 7	sylancom 589	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘𝑇))
9	2, 8	sstrd 3946	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
10	1, 9	sstrd 3946	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6502  Basecbs 17150  Cntzccntz 19261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-cntz 19263

This theorem is referenced by:  gsumzres  19855  gsumzf1o  19858  gsumzaddlem  19867  gsumzadd  19868  gsumzsplit  19873  gsumconst  19880  gsumpt  19908  dprdfadd  19968