Theorem cntzidss 18859

Description: If the elements of 𝑆 commute, the elements of a subset 𝑇 also commute. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntzmhm.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cntzidss	⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑇))

Proof of Theorem cntzidss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		cntzmhm.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5	3, 4	cntzssv 18849	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
6	2, 5	sstrdi 3929	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
7	3, 4	cntz2ss 18854	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘𝑇))
8	6, 7	sylancom 587	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘𝑇))
9	2, 8	sstrd 3927	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
10	1, 9	sstrd 3927	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  Cntzccntz 18836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-cntz 18838

This theorem is referenced by:  gsumzres  19425  gsumzf1o  19428  gsumzaddlem  19437  gsumzadd  19438  gsumzsplit  19443  gsumconst  19450  gsumpt  19478  dprdfadd  19538