MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzidss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cntzidss 19245
Description: If the elements of ๐‘† commute, the elements of a subset ๐‘‡ also commute. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cntzmhm.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
cntzidss ((๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐‘†) โ†’ ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡))
Proof of Theorem cntzidss
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . 2 ((๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐‘†) โ†’ ๐‘‡ โŠ† ๐‘†)
2 simpl 483 . . 3 ((๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐‘†) โ†’ ๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘†))
3 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
4 cntzmhm.z . . . . . 6 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
53, 4cntzssv 19233 . . . . 5 (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† (Baseโ€˜๐บ)
62, 5sstrdi 3994 . . . 4 ((๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐‘†) โ†’ ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
73, 4cntz2ss 19240 . . . 4 ((๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐‘†) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡))
86, 7sylancom 588 . . 3 ((๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐‘†) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡))
92, 8sstrd 3992 . 2 ((๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐‘†) โ†’ ๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡))
101, 9sstrd 3992 1 ((๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐‘†) โ†’ ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โŠ† wss 3948  โ€˜cfv 6543  Basecbs 17148  Cntzccntz 19220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-cntz 19222
This theorem is referenced by:  gsumzres  19818  gsumzf1o  19821  gsumzaddlem  19830  gsumzadd  19831  gsumzsplit  19836  gsumconst  19843  gsumpt  19871  dprdfadd  19931
  Copyright terms: Public domain W3C validator