MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzidss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzidss 18406
Description: If the elements of 𝑆 commute, the elements of a subset 𝑇 also commute. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cntzmhm.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cntzidss ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑍𝑇))

Proof of Theorem cntzidss
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . 2 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇𝑆)
2 simpl 483 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ 𝑇𝑆) → 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆))
3 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4 cntzmhm.z . . . . . 6 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
53, 4cntzssv 18396 . . . . 5 (𝑍𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
62, 5sstrdi 3976 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ 𝑇𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
73, 4cntz2ss 18401 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆) → (𝑍𝑆) ⊆ (𝑍𝑇))
86, 7sylancom 588 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ 𝑇𝑆) → (𝑍𝑆) ⊆ (𝑍𝑇))
92, 8sstrd 3974 . 2 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ 𝑇𝑆) → 𝑆 ⊆ (𝑍𝑇))
101, 9sstrd 3974 1 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑍𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wss 3933  cfv 6348  Basecbs 16471  Cntzccntz 18383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-cntz 18385
This theorem is referenced by:  gsumzres  18958  gsumzf1o  18961  gsumzaddlem  18970  gsumzadd  18971  gsumzsplit  18976  gsumconst  18983  gsumpt  19011  dprdfadd  19071
  Copyright terms: Public domain W3C validator