Theorem cntzidss 19554

Description: If the elements of 𝑆 commute, the elements of a subset 𝑇 also commute. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntzmhm.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cntzidss	⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑇))

Proof of Theorem cntzidss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
2		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
3		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		cntzmhm.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5	3, 4	cntzssv 19542	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
6	2, 5	sstrdi 3920	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
7	3, 4	cntz2ss 19549	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘𝑇))
8	6, 7	sylancom 600	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘𝑇))
9	2, 8	sstrd 3918	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
10	1, 9	sstrd 3918	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  Cntzccntz 19529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-cntz 19531

This theorem is used by:  gsumzres  20123  gsumzf1o  20126  gsumzaddlem  20135  gsumzadd  20136  gsumzsplit  20141  gsumconst  20148  gsumpt  20176  dprdfadd  20236