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Theorem gsumzsplit 19794
Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzsplit.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumzsplit.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
gsumzsplit.p + = (+gβ€˜πΊ)
gsumzsplit.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
gsumzsplit.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzsplit.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzsplit.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
gsumzsplit.c (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
gsumzsplit.w (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
gsumzsplit.i (πœ‘ β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) = βˆ…)
gsumzsplit.u (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝐢 βˆͺ 𝐷))
Assertion
Ref Expression
gsumzsplit (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) + (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐷))))

Proof of Theorem gsumzsplit
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzsplit.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 gsumzsplit.0 . . 3 0 = (0gβ€˜πΊ)
3 gsumzsplit.p . . 3 + = (+gβ€˜πΊ)
4 gsumzsplit.z . . 3 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
5 gsumzsplit.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
6 gsumzsplit.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
7 gsumzsplit.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
82fvexi 6905 . . . . 5 0 ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
10 gsumzsplit.w . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
117, 6, 9, 10fsuppmptif 9393 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) finSupp 0 )
127, 6, 9, 10fsuppmptif 9393 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) finSupp 0 )
131submacs 18707 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (SubMndβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
14 acsmre 17595 . . . . 5 ((SubMndβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅) β†’ (SubMndβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
155, 13, 143syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (SubMndβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
167frnd 6725 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
17 eqid 2732 . . . . 5 (mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ)) = (mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))
1817mrccl 17554 . . . 4 (((SubMndβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
1915, 16, 18syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
20 gsumzsplit.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
21 eqid 2732 . . . . . 6 (𝐺 β†Ύs ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) = (𝐺 β†Ύs ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
224, 17, 21cntzspan 19711 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹)) β†’ (𝐺 β†Ύs ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) ∈ CMnd)
235, 20, 22syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύs ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) ∈ CMnd)
2421, 4submcmn2 19706 . . . . 5 (((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ ((𝐺 β†Ύs ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) ∈ CMnd ↔ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) βŠ† (π‘β€˜((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))))
2519, 24syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύs ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) ∈ CMnd ↔ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) βŠ† (π‘β€˜((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))))
2623, 25mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) βŠ† (π‘β€˜((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)))
2715, 17, 16mrcssidd 17568 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
2827adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ran 𝐹 βŠ† ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
297ffnd 6718 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
30 fnfvelrn 7082 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ran 𝐹)
3129, 30sylan 580 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ran 𝐹)
3228, 31sseldd 3983 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
332subm0cl 18691 . . . . . . 7 (((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 0 ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
3419, 33syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
3534adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
3632, 35ifcld 4574 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
3736fmpttd 7114 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )):𝐴⟢((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
3832, 35ifcld 4574 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
3938fmpttd 7114 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )):𝐴⟢((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 19, 26, 37, 39gsumzadd 19789 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) ∘f + (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )))) = ((𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))) + (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )))))
417feqmptd 6960 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
42 iftrue 4534 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝐢 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) = (πΉβ€˜π‘˜))
4342adantl 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) = (πΉβ€˜π‘˜))
44 gsumzsplit.i . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) = βˆ…)
45 noel 4330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Β¬ π‘˜ ∈ βˆ…
46 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐢 ∩ 𝐷) = βˆ… β†’ (π‘˜ ∈ (𝐢 ∩ 𝐷) ↔ π‘˜ ∈ βˆ…))
4745, 46mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐢 ∩ 𝐷) = βˆ… β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (𝐢 ∩ 𝐷))
4844, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (𝐢 ∩ 𝐷))
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (𝐢 ∩ 𝐷))
50 elin 3964 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (𝐢 ∩ 𝐷) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐢 ∧ π‘˜ ∈ 𝐷))
5149, 50sylnib 327 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐢 ∧ π‘˜ ∈ 𝐷))
52 imnan 400 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ 𝐢 β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐷) ↔ Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐢 ∧ π‘˜ ∈ 𝐷))
5351, 52sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐢 β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐷))
5453imp 407 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐷)
5554iffalsed 4539 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) = 0 )
5643, 55oveq12d 7426 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) + if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) = ((πΉβ€˜π‘˜) + 0 ))
577ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐡)
581, 3, 2mndrid 18645 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) + 0 ) = (πΉβ€˜π‘˜))
595, 57, 58syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) + 0 ) = (πΉβ€˜π‘˜))
6059adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) + 0 ) = (πΉβ€˜π‘˜))
6156, 60eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) + if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) = (πΉβ€˜π‘˜))
6253con2d 134 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐢))
6362imp 407 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐢)
6463iffalsed 4539 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) = 0 )
65 iftrue 4534 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝐷 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) = (πΉβ€˜π‘˜))
6665adantl 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) = (πΉβ€˜π‘˜))
6764, 66oveq12d 7426 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) + if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) = ( 0 + (πΉβ€˜π‘˜)))
681, 3, 2mndlid 18644 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 + (πΉβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘˜))
695, 57, 68syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ( 0 + (πΉβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘˜))
7069adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ( 0 + (πΉβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘˜))
7167, 70eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) + if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) = (πΉβ€˜π‘˜))
72 gsumzsplit.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝐢 βˆͺ 𝐷))
7372eleq2d 2819 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ 𝐷)))
74 elun 4148 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ 𝐷) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐢 ∨ π‘˜ ∈ 𝐷))
7573, 74bitrdi 286 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ (π‘˜ ∈ 𝐢 ∨ π‘˜ ∈ 𝐷)))
7675biimpa 477 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐢 ∨ π‘˜ ∈ 𝐷))
7761, 71, 76mpjaodan 957 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) + if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) = (πΉβ€˜π‘˜))
7877mpteq2dva 5248 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) + if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
7941, 78eqtr4d 2775 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) + if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
801, 2mndidcl 18639 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Mnd β†’ 0 ∈ 𝐡)
815, 80syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
8281adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ 𝐡)
8357, 82ifcld 4574 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) ∈ 𝐡)
8457, 82ifcld 4574 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) ∈ 𝐡)
85 eqidd 2733 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )))
86 eqidd 2733 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )))
876, 83, 84, 85, 86offval2 7689 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) ∘f + (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) + if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
8879, 87eqtr4d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) ∘f + (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
8988oveq2d 7424 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) ∘f + (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )))))
9041reseq1d 5980 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β†Ύ 𝐢))
91 ssun1 4172 . . . . . . . 8 𝐢 βŠ† (𝐢 βˆͺ 𝐷)
9291, 72sseqtrrid 4035 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
9342mpteq2ia 5251 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))
94 resmpt 6037 . . . . . . . 8 (𝐢 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )))
95 resmpt 6037 . . . . . . . 8 (𝐢 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β†Ύ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
9693, 94, 953eqtr4a 2798 . . . . . . 7 (𝐢 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐢) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β†Ύ 𝐢))
9792, 96syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐢) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β†Ύ 𝐢))
9890, 97eqtr4d 2775 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐢))
9998oveq2d 7424 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) = (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐢)))
10083fmpttd 7114 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )):𝐴⟢𝐡)
10137frnd 6725 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) βŠ† ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
1024cntzidss 19203 . . . . . 6 ((((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) βŠ† (π‘β€˜((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) ∧ ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) βŠ† ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) βŠ† (π‘β€˜ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
10326, 101, 102syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) βŠ† (π‘β€˜ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
104 eldifn 4127 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– 𝐢) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐢)
105104adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– 𝐢)) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐢)
106105iffalsed 4539 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– 𝐢)) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) = 0 )
107106, 6suppss2 8184 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) supp 0 ) βŠ† 𝐢)
1081, 2, 4, 5, 6, 100, 103, 107, 11gsumzres 19776 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐢)) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
10999, 108eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
11041reseq1d 5980 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐷) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β†Ύ 𝐷))
111 ssun2 4173 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† (𝐢 βˆͺ 𝐷)
112111, 72sseqtrrid 4035 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† 𝐴)
11365mpteq2ia 5251 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))
114 resmpt 6037 . . . . . . . 8 (𝐷 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐷) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )))
115 resmpt 6037 . . . . . . . 8 (𝐷 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β†Ύ 𝐷) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
116113, 114, 1153eqtr4a 2798 . . . . . . 7 (𝐷 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐷) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β†Ύ 𝐷))
117112, 116syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐷) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β†Ύ 𝐷))
118110, 117eqtr4d 2775 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐷) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐷))
119118oveq2d 7424 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐷)) = (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐷)))
12084fmpttd 7114 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )):𝐴⟢𝐡)
12139frnd 6725 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) βŠ† ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
1224cntzidss 19203 . . . . . 6 ((((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) βŠ† (π‘β€˜((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) ∧ ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) βŠ† ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) βŠ† (π‘β€˜ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
12326, 121, 122syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) βŠ† (π‘β€˜ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
124 eldifn 4127 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– 𝐷) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐷)
125124adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– 𝐷)) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐷)
126125iffalsed 4539 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– 𝐷)) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) = 0 )
127126, 6suppss2 8184 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) supp 0 ) βŠ† 𝐷)
1281, 2, 4, 5, 6, 120, 123, 127, 12gsumzres 19776 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐷)) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
129119, 128eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐷)) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
130109, 129oveq12d 7426 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) + (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐷))) = ((𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))) + (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )))))
13140, 89, 1303eqtr4d 2782 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) + (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667   finSupp cfsupp 9360  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  +gcplusg 17196  0gc0g 17384   Ξ£g cgsu 17385  Moorecmre 17525  mrClscmrc 17526  ACScacs 17528  Mndcmnd 18624  SubMndcsubmnd 18669  Cntzccntz 19178  CMndccmn 19647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-cntz 19180  df-cmn 19649
This theorem is referenced by:  gsumsplit  19795  gsumzunsnd  19823  dpjidcl  19927
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