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Theorem gsumzsplit 19712
Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzsplit.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumzsplit.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
gsumzsplit.p + = (+gβ€˜πΊ)
gsumzsplit.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
gsumzsplit.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzsplit.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzsplit.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
gsumzsplit.c (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
gsumzsplit.w (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
gsumzsplit.i (πœ‘ β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) = βˆ…)
gsumzsplit.u (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝐢 βˆͺ 𝐷))
Assertion
Ref Expression
gsumzsplit (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) + (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐷))))

Proof of Theorem gsumzsplit
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzsplit.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 gsumzsplit.0 . . 3 0 = (0gβ€˜πΊ)
3 gsumzsplit.p . . 3 + = (+gβ€˜πΊ)
4 gsumzsplit.z . . 3 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
5 gsumzsplit.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
6 gsumzsplit.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
7 gsumzsplit.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
82fvexi 6860 . . . . 5 0 ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
10 gsumzsplit.w . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
117, 6, 9, 10fsuppmptif 9343 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) finSupp 0 )
127, 6, 9, 10fsuppmptif 9343 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) finSupp 0 )
131submacs 18645 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (SubMndβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
14 acsmre 17540 . . . . 5 ((SubMndβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅) β†’ (SubMndβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
155, 13, 143syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (SubMndβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
167frnd 6680 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
17 eqid 2733 . . . . 5 (mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ)) = (mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))
1817mrccl 17499 . . . 4 (((SubMndβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
1915, 16, 18syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
20 gsumzsplit.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
21 eqid 2733 . . . . . 6 (𝐺 β†Ύs ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) = (𝐺 β†Ύs ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
224, 17, 21cntzspan 19630 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹)) β†’ (𝐺 β†Ύs ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) ∈ CMnd)
235, 20, 22syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύs ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) ∈ CMnd)
2421, 4submcmn2 19625 . . . . 5 (((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ ((𝐺 β†Ύs ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) ∈ CMnd ↔ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) βŠ† (π‘β€˜((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))))
2519, 24syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύs ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) ∈ CMnd ↔ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) βŠ† (π‘β€˜((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))))
2623, 25mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) βŠ† (π‘β€˜((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)))
2715, 17, 16mrcssidd 17513 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
2827adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ran 𝐹 βŠ† ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
297ffnd 6673 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
30 fnfvelrn 7035 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ran 𝐹)
3129, 30sylan 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ran 𝐹)
3228, 31sseldd 3949 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
332subm0cl 18630 . . . . . . 7 (((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 0 ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
3419, 33syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
3534adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
3632, 35ifcld 4536 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
3736fmpttd 7067 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )):𝐴⟢((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
3832, 35ifcld 4536 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) ∈ ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
3938fmpttd 7067 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )):𝐴⟢((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 19, 26, 37, 39gsumzadd 19707 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) ∘f + (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )))) = ((𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))) + (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )))))
417feqmptd 6914 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
42 iftrue 4496 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝐢 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) = (πΉβ€˜π‘˜))
4342adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) = (πΉβ€˜π‘˜))
44 gsumzsplit.i . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) = βˆ…)
45 noel 4294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Β¬ π‘˜ ∈ βˆ…
46 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐢 ∩ 𝐷) = βˆ… β†’ (π‘˜ ∈ (𝐢 ∩ 𝐷) ↔ π‘˜ ∈ βˆ…))
4745, 46mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐢 ∩ 𝐷) = βˆ… β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (𝐢 ∩ 𝐷))
4844, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (𝐢 ∩ 𝐷))
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (𝐢 ∩ 𝐷))
50 elin 3930 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (𝐢 ∩ 𝐷) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐢 ∧ π‘˜ ∈ 𝐷))
5149, 50sylnib 328 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐢 ∧ π‘˜ ∈ 𝐷))
52 imnan 401 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ 𝐢 β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐷) ↔ Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐢 ∧ π‘˜ ∈ 𝐷))
5351, 52sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐢 β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐷))
5453imp 408 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐷)
5554iffalsed 4501 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) = 0 )
5643, 55oveq12d 7379 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) + if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) = ((πΉβ€˜π‘˜) + 0 ))
577ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐡)
581, 3, 2mndrid 18585 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) + 0 ) = (πΉβ€˜π‘˜))
595, 57, 58syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) + 0 ) = (πΉβ€˜π‘˜))
6059adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) + 0 ) = (πΉβ€˜π‘˜))
6156, 60eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) + if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) = (πΉβ€˜π‘˜))
6253con2d 134 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐢))
6362imp 408 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐢)
6463iffalsed 4501 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) = 0 )
65 iftrue 4496 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝐷 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) = (πΉβ€˜π‘˜))
6665adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) = (πΉβ€˜π‘˜))
6764, 66oveq12d 7379 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) + if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) = ( 0 + (πΉβ€˜π‘˜)))
681, 3, 2mndlid 18584 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 + (πΉβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘˜))
695, 57, 68syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ( 0 + (πΉβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘˜))
7069adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ( 0 + (πΉβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘˜))
7167, 70eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) + if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) = (πΉβ€˜π‘˜))
72 gsumzsplit.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝐢 βˆͺ 𝐷))
7372eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ 𝐷)))
74 elun 4112 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ 𝐷) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐢 ∨ π‘˜ ∈ 𝐷))
7573, 74bitrdi 287 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ (π‘˜ ∈ 𝐢 ∨ π‘˜ ∈ 𝐷)))
7675biimpa 478 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐢 ∨ π‘˜ ∈ 𝐷))
7761, 71, 76mpjaodan 958 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) + if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) = (πΉβ€˜π‘˜))
7877mpteq2dva 5209 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) + if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
7941, 78eqtr4d 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) + if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
801, 2mndidcl 18579 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Mnd β†’ 0 ∈ 𝐡)
815, 80syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
8281adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ 𝐡)
8357, 82ifcld 4536 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) ∈ 𝐡)
8457, 82ifcld 4536 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) ∈ 𝐡)
85 eqidd 2734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )))
86 eqidd 2734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )))
876, 83, 84, 85, 86offval2 7641 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) ∘f + (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) + if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
8879, 87eqtr4d 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) ∘f + (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
8988oveq2d 7377 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) ∘f + (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )))))
9041reseq1d 5940 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β†Ύ 𝐢))
91 ssun1 4136 . . . . . . . 8 𝐢 βŠ† (𝐢 βˆͺ 𝐷)
9291, 72sseqtrrid 4001 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
9342mpteq2ia 5212 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))
94 resmpt 5995 . . . . . . . 8 (𝐢 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )))
95 resmpt 5995 . . . . . . . 8 (𝐢 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β†Ύ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
9693, 94, 953eqtr4a 2799 . . . . . . 7 (𝐢 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐢) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β†Ύ 𝐢))
9792, 96syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐢) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β†Ύ 𝐢))
9890, 97eqtr4d 2776 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐢))
9998oveq2d 7377 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) = (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐢)))
10083fmpttd 7067 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )):𝐴⟢𝐡)
10137frnd 6680 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) βŠ† ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
1024cntzidss 19126 . . . . . 6 ((((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) βŠ† (π‘β€˜((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) ∧ ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) βŠ† ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) βŠ† (π‘β€˜ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
10326, 101, 102syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) βŠ† (π‘β€˜ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
104 eldifn 4091 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– 𝐢) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐢)
105104adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– 𝐢)) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐢)
106105iffalsed 4501 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– 𝐢)) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) = 0 )
107106, 6suppss2 8135 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) supp 0 ) βŠ† 𝐢)
1081, 2, 4, 5, 6, 100, 103, 107, 11gsumzres 19694 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐢)) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
10999, 108eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
11041reseq1d 5940 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐷) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β†Ύ 𝐷))
111 ssun2 4137 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† (𝐢 βˆͺ 𝐷)
112111, 72sseqtrrid 4001 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† 𝐴)
11365mpteq2ia 5212 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))
114 resmpt 5995 . . . . . . . 8 (𝐷 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐷) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )))
115 resmpt 5995 . . . . . . . 8 (𝐷 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β†Ύ 𝐷) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
116113, 114, 1153eqtr4a 2799 . . . . . . 7 (𝐷 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐷) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β†Ύ 𝐷))
117112, 116syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐷) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β†Ύ 𝐷))
118110, 117eqtr4d 2776 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐷) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐷))
119118oveq2d 7377 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐷)) = (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐷)))
12084fmpttd 7067 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )):𝐴⟢𝐡)
12139frnd 6680 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) βŠ† ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹))
1224cntzidss 19126 . . . . . 6 ((((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹) βŠ† (π‘β€˜((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) ∧ ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) βŠ† ((mrClsβ€˜(SubMndβ€˜πΊ))β€˜ran 𝐹)) β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) βŠ† (π‘β€˜ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
12326, 121, 122syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) βŠ† (π‘β€˜ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
124 eldifn 4091 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– 𝐷) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐷)
125124adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– 𝐷)) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐷)
126125iffalsed 4501 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– 𝐷)) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ) = 0 )
127126, 6suppss2 8135 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) supp 0 ) βŠ† 𝐷)
1281, 2, 4, 5, 6, 120, 123, 127, 12gsumzres 19694 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )) β†Ύ 𝐷)) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
129119, 128eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐷)) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))))
130109, 129oveq12d 7379 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) + (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐷))) = ((𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐢, (πΉβ€˜π‘˜), 0 ))) + (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘˜), 0 )))))
13140, 89, 1303eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) + (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βˆͺ cun 3912   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619   finSupp cfsupp 9311  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  +gcplusg 17141  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330  Moorecmre 17470  mrClscmrc 17471  ACScacs 17473  Mndcmnd 18564  SubMndcsubmnd 18608  Cntzccntz 19103  CMndccmn 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-cntz 19105  df-cmn 19572
This theorem is referenced by:  gsumsplit  19713  gsumzunsnd  19741  dpjidcl  19845
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