MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzmhm 19204
Description: Centralizers in a monoid are preserved by monoid homomorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzmhm.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
cntzmhm.y ๐‘Œ = (Cntzโ€˜๐ป)
Assertion
Ref Expression
cntzmhm ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ (๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (๐‘Œโ€˜(๐น โ€œ ๐‘†)))

Proof of Theorem cntzmhm
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . 4 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
2 eqid 2732 . . . 4 (Baseโ€˜๐ป) = (Baseโ€˜๐ป)
31, 2mhmf 18676 . . 3 (๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐บ)โŸถ(Baseโ€˜๐ป))
4 cntzmhm.z . . . . 5 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
51, 4cntzssv 19191 . . . 4 (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† (Baseโ€˜๐บ)
65sseli 3978 . . 3 (๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
7 ffvelcdm 7083 . . 3 ((๐น:(Baseโ€˜๐บ)โŸถ(Baseโ€˜๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (Baseโ€˜๐ป))
83, 6, 7syl2an 596 . 2 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ (๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (Baseโ€˜๐ป))
9 eqid 2732 . . . . . . . 8 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
109, 4cntzi 19192 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ด(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐ด))
1110adantll 712 . . . . . 6 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ด(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐ด))
1211fveq2d 6895 . . . . 5 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐นโ€˜(๐ด(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐ด)))
13 simpll 765 . . . . . 6 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป))
146ad2antlr 725 . . . . . 6 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
151, 4cntzrcl 19190 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐บ โˆˆ V โˆง ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ)))
1615adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ (๐บ โˆˆ V โˆง ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ)))
1716simprd 496 . . . . . . 7 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
1817sselda 3982 . . . . . 6 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
19 eqid 2732 . . . . . . 7 (+gโ€˜๐ป) = (+gโ€˜๐ป)
201, 9, 19mhmlin 18678 . . . . . 6 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐นโ€˜(๐ด(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
2113, 14, 18, 20syl3anc 1371 . . . . 5 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐นโ€˜(๐ด(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
221, 9, 19mhmlin 18678 . . . . . 6 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐ด)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)))
2313, 18, 14, 22syl3anc 1371 . . . . 5 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐ด)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)))
2412, 21, 233eqtr3d 2780 . . . 4 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)))
2524ralrimiva 3146 . . 3 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)))
263adantr 481 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐บ)โŸถ(Baseโ€˜๐ป))
2726ffnd 6718 . . . 4 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ๐น Fn (Baseโ€˜๐บ))
28 oveq2 7416 . . . . . 6 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = ((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
29 oveq1 7415 . . . . . 6 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)))
3028, 29eqeq12d 2748 . . . . 5 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†’ (((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)) โ†” ((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด))))
3130ralima 7239 . . . 4 ((๐น Fn (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐น โ€œ ๐‘†)((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด))))
3227, 17, 31syl2anc 584 . . 3 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐น โ€œ ๐‘†)((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด))))
3325, 32mpbird 256 . 2 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐น โ€œ ๐‘†)((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)))
34 imassrn 6070 . . . 4 (๐น โ€œ ๐‘†) โŠ† ran ๐น
3526frnd 6725 . . . 4 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ran ๐น โŠ† (Baseโ€˜๐ป))
3634, 35sstrid 3993 . . 3 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ (๐น โ€œ ๐‘†) โŠ† (Baseโ€˜๐ป))
37 cntzmhm.y . . . 4 ๐‘Œ = (Cntzโ€˜๐ป)
382, 19, 37elcntz 19185 . . 3 ((๐น โ€œ ๐‘†) โŠ† (Baseโ€˜๐ป) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (๐‘Œโ€˜(๐น โ€œ ๐‘†)) โ†” ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐น โ€œ ๐‘†)((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)))))
3936, 38syl 17 . 2 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (๐‘Œโ€˜(๐น โ€œ ๐‘†)) โ†” ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐น โ€œ ๐‘†)((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)))))
408, 33, 39mpbir2and 711 1 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ (๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (๐‘Œโ€˜(๐น โ€œ ๐‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474   โŠ† wss 3948  ran crn 5677   โ€œ cima 5679   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +gcplusg 17196   MndHom cmhm 18668  Cntzccntz 19178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8821  df-mhm 18670  df-cntz 19180
This theorem is referenced by:  cntzmhm2  19205
  Copyright terms: Public domain W3C validator