MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzmhm 19246
Description: Centralizers in a monoid are preserved by monoid homomorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzmhm.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
cntzmhm.y ๐‘Œ = (Cntzโ€˜๐ป)
Assertion
Ref Expression
cntzmhm ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ (๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (๐‘Œโ€˜(๐น โ€œ ๐‘†)))

Proof of Theorem cntzmhm
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . . 4 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
2 eqid 2730 . . . 4 (Baseโ€˜๐ป) = (Baseโ€˜๐ป)
31, 2mhmf 18711 . . 3 (๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐บ)โŸถ(Baseโ€˜๐ป))
4 cntzmhm.z . . . . 5 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
51, 4cntzssv 19233 . . . 4 (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† (Baseโ€˜๐บ)
65sseli 3977 . . 3 (๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
7 ffvelcdm 7082 . . 3 ((๐น:(Baseโ€˜๐บ)โŸถ(Baseโ€˜๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (Baseโ€˜๐ป))
83, 6, 7syl2an 594 . 2 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ (๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (Baseโ€˜๐ป))
9 eqid 2730 . . . . . . . 8 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
109, 4cntzi 19234 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ด(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐ด))
1110adantll 710 . . . . . 6 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ด(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐ด))
1211fveq2d 6894 . . . . 5 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐นโ€˜(๐ด(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐ด)))
13 simpll 763 . . . . . 6 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป))
146ad2antlr 723 . . . . . 6 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
151, 4cntzrcl 19232 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐บ โˆˆ V โˆง ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ)))
1615adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ (๐บ โˆˆ V โˆง ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ)))
1716simprd 494 . . . . . . 7 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
1817sselda 3981 . . . . . 6 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
19 eqid 2730 . . . . . . 7 (+gโ€˜๐ป) = (+gโ€˜๐ป)
201, 9, 19mhmlin 18715 . . . . . 6 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐นโ€˜(๐ด(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
2113, 14, 18, 20syl3anc 1369 . . . . 5 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐นโ€˜(๐ด(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
221, 9, 19mhmlin 18715 . . . . . 6 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐ด)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)))
2313, 18, 14, 22syl3anc 1369 . . . . 5 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐ด)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)))
2412, 21, 233eqtr3d 2778 . . . 4 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)))
2524ralrimiva 3144 . . 3 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)))
263adantr 479 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐บ)โŸถ(Baseโ€˜๐ป))
2726ffnd 6717 . . . 4 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ๐น Fn (Baseโ€˜๐บ))
28 oveq2 7419 . . . . . 6 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = ((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
29 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)))
3028, 29eqeq12d 2746 . . . . 5 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†’ (((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)) โ†” ((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด))))
3130ralima 7241 . . . 4 ((๐น Fn (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐น โ€œ ๐‘†)((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด))))
3227, 17, 31syl2anc 582 . . 3 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐น โ€œ ๐‘†)((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด))))
3325, 32mpbird 256 . 2 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐น โ€œ ๐‘†)((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)))
34 imassrn 6069 . . . 4 (๐น โ€œ ๐‘†) โŠ† ran ๐น
3526frnd 6724 . . . 4 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ran ๐น โŠ† (Baseโ€˜๐ป))
3634, 35sstrid 3992 . . 3 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ (๐น โ€œ ๐‘†) โŠ† (Baseโ€˜๐ป))
37 cntzmhm.y . . . 4 ๐‘Œ = (Cntzโ€˜๐ป)
382, 19, 37elcntz 19227 . . 3 ((๐น โ€œ ๐‘†) โŠ† (Baseโ€˜๐ป) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (๐‘Œโ€˜(๐น โ€œ ๐‘†)) โ†” ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐น โ€œ ๐‘†)((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)))))
3936, 38syl 17 . 2 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (๐‘Œโ€˜(๐น โ€œ ๐‘†)) โ†” ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐น โ€œ ๐‘†)((๐นโ€˜๐ด)(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐ด)))))
408, 33, 39mpbir2and 709 1 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ (๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (๐‘Œโ€˜(๐น โ€œ ๐‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  Vcvv 3472   โŠ† wss 3947  ran crn 5676   โ€œ cima 5678   Fn wfn 6537  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201   MndHom cmhm 18703  Cntzccntz 19220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-mhm 18705  df-cntz 19222
This theorem is referenced by:  cntzmhm2  19247
  Copyright terms: Public domain W3C validator