Theorem cofucla 49726

Description: The composition of two functors is a functor. Proposition 3.23 of [Adamek] p. 33. (Contributed by Zhi Wang, 16-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofucla.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
cofucla.k	⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)

Assertion

Ref	Expression
cofucla	⊢ (𝜑 → (⟨𝐾, 𝐿⟩ ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩) ∈ (𝐶 Func 𝐸))

Proof of Theorem cofucla

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofucla.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
2		df-br 5105	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4		cofucla.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
5		df-br 5105	. . 3 ⊢ (𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿 ↔ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
6	4, 5	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
7	3, 6	cofucl 17933	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐾, 𝐿⟩ ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩) ∈ (𝐶 Func 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4591   class class class wbr 5104  (class class class)co 7400   Func cfunc 17899   ∘_func ccofu 17901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8814  df-ixp 8884  df-cat 17712  df-cid 17713  df-func 17903  df-cofu 17905

This theorem is referenced by:  uptrlem3  49842  uptr2  49851