Theorem cofucla 49085

Description: The composition of two functors is a functor. Proposition 3.23 of [Adamek] p. 33. (Contributed by Zhi Wang, 16-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofucla.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
cofucla.k	⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)

Assertion

Ref	Expression
cofucla	⊢ (𝜑 → (⟨𝐾, 𝐿⟩ ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩) ∈ (𝐶 Func 𝐸))

Proof of Theorem cofucla

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofucla.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
2		df-br 5108	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4		cofucla.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
5		df-br 5108	. . 3 ⊢ (𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿 ↔ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
6	4, 5	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
7	3, 6	cofucl 17850	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐾, 𝐿⟩ ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩) ∈ (𝐶 Func 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387   Func cfunc 17816   ∘_func ccofu 17818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-map 8801  df-ixp 8871  df-cat 17629  df-cid 17630  df-func 17820  df-cofu 17822

This theorem is referenced by:  uptrlem3  49201  uptr2  49210