MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  comffval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem comffval 17539
Description: Value of the functionalized composition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
comfffval.o ๐‘‚ = (compfโ€˜๐ถ)
comfffval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
comfffval.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
comfffval.x ยท = (compโ€˜๐ถ)
comffval.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
comffval.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
comffval.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
comffval (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘) = (๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘), ๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘)๐‘“)))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘”,๐ถ   ๐œ‘,๐‘“,๐‘”   ยท ,๐‘“,๐‘”   ๐‘“,๐‘‹,๐‘”   ๐‘“,๐‘Œ,๐‘”   ๐‘“,๐‘,๐‘”   ๐‘“,๐ป,๐‘”
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘“,๐‘”)   ๐‘‚(๐‘“,๐‘”)

Proof of Theorem comffval
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 comfffval.o . . . 4 ๐‘‚ = (compfโ€˜๐ถ)
2 comfffval.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
3 comfffval.h . . . 4 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
4 comfffval.x . . . 4 ยท = (compโ€˜๐ถ)
51, 2, 3, 4comfffval 17538 . . 3 ๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ง)๐‘“)))
65a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ง)๐‘“))))
7 simprl 769 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ง = ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ)
87fveq2d 6843 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ง = ๐‘)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ))
9 comffval.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
10 comffval.y . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
11 op2ndg 7926 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐‘Œ)
129, 10, 11syl2anc 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐‘Œ)
1312adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ง = ๐‘)) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐‘Œ)
148, 13eqtrd 2777 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ง = ๐‘)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘Œ)
15 simprr 771 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ง = ๐‘)) โ†’ ๐‘ง = ๐‘)
1614, 15oveq12d 7369 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ง = ๐‘)) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ง) = (๐‘Œ๐ป๐‘))
177fveq2d 6843 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ง = ๐‘)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) = (๐ปโ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ))
18 df-ov 7354 . . . 4 (๐‘‹๐ป๐‘Œ) = (๐ปโ€˜โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ)
1917, 18eqtr4di 2795 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ง = ๐‘)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
207, 15oveq12d 7369 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ง = ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) = (โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘))
2120oveqd 7368 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ง = ๐‘)) โ†’ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘)๐‘“))
2216, 19, 21mpoeq123dv 7426 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆง ๐‘ง = ๐‘)) โ†’ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ง)๐‘“)) = (๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘), ๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘)๐‘“)))
239, 10opelxpd 5669 . 2 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต))
24 comffval.z . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
25 ovex 7384 . . . 4 (๐‘Œ๐ป๐‘) โˆˆ V
26 ovex 7384 . . . 4 (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆˆ V
2725, 26mpoex 8004 . . 3 (๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘), ๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘)๐‘“)) โˆˆ V
2827a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘), ๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘)๐‘“)) โˆˆ V)
296, 22, 23, 24, 28ovmpod 7501 1 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ๐‘‚๐‘) = (๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘), ๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โ†ฆ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘)๐‘“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3443  โŸจcop 4590   ร— cxp 5629  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   โˆˆ cmpo 7353  2nd c2nd 7912  Basecbs 17043  Hom chom 17104  compcco 17105  compfccomf 17507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-comf 17511
This theorem is referenced by:  comfval  17540  comffval2  17542  comffn  17545
  Copyright terms: Public domain W3C validator