MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  comfffval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem comfffval 17669
Description: Value of the functionalized composition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 1-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
comfffval.o ๐‘‚ = (compfโ€˜๐ถ)
comfffval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
comfffval.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
comfffval.x ยท = (compโ€˜๐ถ)
Assertion
Ref Expression
comfffval ๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ต   ๐‘“,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ถ   ยท ,๐‘“,๐‘”,๐‘ฅ   ๐‘“,๐ป,๐‘”,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘“,๐‘”)   ยท (๐‘ฆ)   ๐ป(๐‘ฆ)   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“,๐‘”)

Proof of Theorem comfffval
Dummy variable ๐‘ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 comfffval.o . 2 ๐‘‚ = (compfโ€˜๐ถ)
2 fveq2 6891 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = (Baseโ€˜๐ถ))
3 comfffval.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
42, 3eqtr4di 2785 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = ๐ต)
54sqxpeqd 5704 . . . . 5 (๐‘ = ๐ถ โ†’ ((Baseโ€˜๐‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) = (๐ต ร— ๐ต))
6 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (Hom โ€˜๐‘) = (Hom โ€˜๐ถ))
7 comfffval.h . . . . . . . 8 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
86, 7eqtr4di 2785 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (Hom โ€˜๐‘) = ๐ป)
98oveqd 7431 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ถ โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)๐‘ฆ) = ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ))
108fveq1d 6893 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ถ โ†’ ((Hom โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ปโ€˜๐‘ฅ))
11 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (compโ€˜๐‘) = (compโ€˜๐ถ))
12 comfffval.x . . . . . . . . 9 ยท = (compโ€˜๐ถ)
1311, 12eqtr4di 2785 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (compโ€˜๐‘) = ยท )
1413oveqd 7431 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (๐‘ฅ(compโ€˜๐‘)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
1514oveqd 7431 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (๐‘”(๐‘ฅ(compโ€˜๐‘)๐‘ฆ)๐‘“) = (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“))
169, 10, 15mpoeq123dv 7489 . . . . 5 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ ((Hom โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ(compโ€˜๐‘)๐‘ฆ)๐‘“)) = (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“)))
175, 4, 16mpoeq123dv 7489 . . . 4 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ ((Hom โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ(compโ€˜๐‘)๐‘ฆ)๐‘“))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“))))
18 df-comf 17642 . . . 4 compf = (๐‘ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ ((Hom โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ(compโ€˜๐‘)๐‘ฆ)๐‘“))))
193fvexi 6905 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ V
2019, 19xpex 7749 . . . . 5 (๐ต ร— ๐ต) โˆˆ V
2120, 19mpoex 8078 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“))) โˆˆ V
2217, 18, 21fvmpt 6999 . . 3 (๐ถ โˆˆ V โ†’ (compfโ€˜๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“))))
23 fvprc 6883 . . . 4 (ยฌ ๐ถ โˆˆ V โ†’ (compfโ€˜๐ถ) = โˆ…)
24 fvprc 6883 . . . . . . 7 (ยฌ ๐ถ โˆˆ V โ†’ (Baseโ€˜๐ถ) = โˆ…)
253, 24eqtrid 2779 . . . . . 6 (ยฌ ๐ถ โˆˆ V โ†’ ๐ต = โˆ…)
2625olcd 873 . . . . 5 (ยฌ ๐ถ โˆˆ V โ†’ ((๐ต ร— ๐ต) = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…))
27 0mpo0 7497 . . . . 5 (((๐ต ร— ๐ต) = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“))) = โˆ…)
2826, 27syl 17 . . . 4 (ยฌ ๐ถ โˆˆ V โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“))) = โˆ…)
2923, 28eqtr4d 2770 . . 3 (ยฌ ๐ถ โˆˆ V โ†’ (compfโ€˜๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“))))
3022, 29pm2.61i 182 . 2 (compfโ€˜๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“)))
311, 30eqtri 2755 1 ๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆจ wo 846   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3469  โˆ…c0 4318   ร— cxp 5670  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โˆˆ cmpo 7416  2nd c2nd 7986  Basecbs 17171  Hom chom 17235  compcco 17236  compfccomf 17638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-comf 17642
This theorem is referenced by:  comffval  17670  comfffval2  17672  comfffn  17675  comfeq  17677
  Copyright terms: Public domain W3C validator