MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  comfffval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem comfffval 17642
Description: Value of the functionalized composition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 1-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
comfffval.o ๐‘‚ = (compfโ€˜๐ถ)
comfffval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
comfffval.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
comfffval.x ยท = (compโ€˜๐ถ)
Assertion
Ref Expression
comfffval ๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ต   ๐‘“,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ถ   ยท ,๐‘“,๐‘”,๐‘ฅ   ๐‘“,๐ป,๐‘”,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘“,๐‘”)   ยท (๐‘ฆ)   ๐ป(๐‘ฆ)   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“,๐‘”)

Proof of Theorem comfffval
Dummy variable ๐‘ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 comfffval.o . 2 ๐‘‚ = (compfโ€˜๐ถ)
2 fveq2 6892 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = (Baseโ€˜๐ถ))
3 comfffval.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
42, 3eqtr4di 2791 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = ๐ต)
54sqxpeqd 5709 . . . . 5 (๐‘ = ๐ถ โ†’ ((Baseโ€˜๐‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) = (๐ต ร— ๐ต))
6 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (Hom โ€˜๐‘) = (Hom โ€˜๐ถ))
7 comfffval.h . . . . . . . 8 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
86, 7eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (Hom โ€˜๐‘) = ๐ป)
98oveqd 7426 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ถ โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)๐‘ฆ) = ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ))
108fveq1d 6894 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ถ โ†’ ((Hom โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ปโ€˜๐‘ฅ))
11 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (compโ€˜๐‘) = (compโ€˜๐ถ))
12 comfffval.x . . . . . . . . 9 ยท = (compโ€˜๐ถ)
1311, 12eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (compโ€˜๐‘) = ยท )
1413oveqd 7426 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (๐‘ฅ(compโ€˜๐‘)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
1514oveqd 7426 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (๐‘”(๐‘ฅ(compโ€˜๐‘)๐‘ฆ)๐‘“) = (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“))
169, 10, 15mpoeq123dv 7484 . . . . 5 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ ((Hom โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ(compโ€˜๐‘)๐‘ฆ)๐‘“)) = (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“)))
175, 4, 16mpoeq123dv 7484 . . . 4 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ ((Hom โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ(compโ€˜๐‘)๐‘ฆ)๐‘“))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“))))
18 df-comf 17615 . . . 4 compf = (๐‘ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ ((Hom โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ(compโ€˜๐‘)๐‘ฆ)๐‘“))))
193fvexi 6906 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ V
2019, 19xpex 7740 . . . . 5 (๐ต ร— ๐ต) โˆˆ V
2120, 19mpoex 8066 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“))) โˆˆ V
2217, 18, 21fvmpt 6999 . . 3 (๐ถ โˆˆ V โ†’ (compfโ€˜๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“))))
23 fvprc 6884 . . . 4 (ยฌ ๐ถ โˆˆ V โ†’ (compfโ€˜๐ถ) = โˆ…)
24 fvprc 6884 . . . . . . 7 (ยฌ ๐ถ โˆˆ V โ†’ (Baseโ€˜๐ถ) = โˆ…)
253, 24eqtrid 2785 . . . . . 6 (ยฌ ๐ถ โˆˆ V โ†’ ๐ต = โˆ…)
2625olcd 873 . . . . 5 (ยฌ ๐ถ โˆˆ V โ†’ ((๐ต ร— ๐ต) = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…))
27 0mpo0 7492 . . . . 5 (((๐ต ร— ๐ต) = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“))) = โˆ…)
2826, 27syl 17 . . . 4 (ยฌ ๐ถ โˆˆ V โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“))) = โˆ…)
2923, 28eqtr4d 2776 . . 3 (ยฌ ๐ถ โˆˆ V โ†’ (compfโ€˜๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“))))
3022, 29pm2.61i 182 . 2 (compfโ€˜๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“)))
311, 30eqtri 2761 1 ๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3475  โˆ…c0 4323   ร— cxp 5675  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆˆ cmpo 7411  2nd c2nd 7974  Basecbs 17144  Hom chom 17208  compcco 17209  compfccomf 17611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-comf 17615
This theorem is referenced by:  comffval  17643  comfffval2  17645  comfffn  17648  comfeq  17650
  Copyright terms: Public domain W3C validator